巧用函數的單調性比較大小

張嶺芝

(江蘇省無錫市青山高級中學 214036)

利用冪函數、指數函數、對數函數等基本初等函數比較兩個或多個函數值的大小是高一代數的一個熱點，也是一個重點，有沒有象乘法口訣“三五十五”那樣朗朗上口且通俗易懂的方法來比較函數值的大小呢？有！筆者經過多年的教學，總結出“大大大，大小小，小大小，小小大”這四句口訣.

一、同底數冪的大小比較

同底數冪的大小比較是利用指數函數y=ax(a>0且a≠1)，當a>1時，在R上單調遞增，當0

例1比較下列兩組數的大小：

二、同底數對數的大小比較

同底數對數的大小比較是利用對數函數y=logax(a>0,a≠1)當a>1時，在R*上單調遞增，當0

例2比較下列各組數的大小：

三、同指數冪的大小比較

同指數冪的比較的是通過冪函數y=xα當α>0時，在R*上單調遞增，當α<0時,在R*上單調遞減這個性質來進行比較的.

例3比較下列兩組數的大小.

注意：四句口訣中“大”的個數不是3就是1，相應的“小”的個數不是0就是2！

事實上，口訣“大大大”本應該是下面的三句：增大大(增函數+自變量大?函數值大)，大增大(自變量大+增函數?函數值大)，大大增(自變量大+函數值大?增函數，注：此處僅研究單調函數)，就是說，“大大大”中的一個“大”應該是“增”，只不過用“增”字，口訣就變成三句了.

同理對于另外三句：“大小小，小大小，小小大”，把其中的一個“大”改為“增”，或者一個“小”改為“減”，比如“減大小(減函數+自變量大?函數值小)”當然是成立的.如果這樣一改，三句口訣就變成九句了，為了簡約又朗朗上口，還是“大大大，大小小，小大小，小小大”這四句口訣比較好，實踐證明用這四句口訣比較兩個函數值的大小特別順，效果特別好.

四、應用舉例

練習1若0y>1,試比較ax,ay,xa,ya大小.

解析由“大大大”知，xa>ya>1a=1(此處用冪函數單調性比較)，由“小大小”知，ax

所以xa>ya>ay>ax.

事實上，這種情況可以推廣到更一般初等函數.

例4比較下列兩組數的大小:

口訣“大大大，大小小，小大小，小小大”沒有多少科技含量，也沒有什么噱頭，就是一個實用工具而已，學生如果能記住并用好就是作者最大的心愿.