排列組合解題策略研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

在解決排列組合問題過程中，常出現的問題是：解完題后自我感覺良好，但答案卻是錯的.這是因為此類問題比較抽象，不知從何下手；題型較多，不知用何方法；易重復，常遺漏，卻不知重漏于何處.排列組合各類型題的解題方法幾乎不通用，很有必要歸類總結，形成技能.下面依托部分高考題介紹一些常見的策略.

一、特殊元素優先

例1 從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一個人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有( ).

A.300種 B.240種 C.144種 D.96種

評注使用這個策略務必選準特殊元素，并對其利用兩大計數原理合理處理，否則，易導致重復或遺漏.

二、特殊位置優先

例2 在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有____個.

評注特殊位置是需要一定背景才能產生的，解題時需要對題意準確把握，找準特殊位置，否則易導致重復或遺漏.

三、準確分類

例3 不共面的四個點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有( ).

A.3個 B.4個 C.6個 D.7個

解析滿足條件的平面分為兩類，第一類是三棱錐的高的中垂面，有4個；第二類是三棱錐對棱的公垂線段的中垂面，有3個.故共有7個，選D.

評注類似本題的立體幾何問題難以找準分類的標準，并且分類標準受空間位置關系影響較大，特別容易遺漏，務必謹慎思考.

四、恰當分步

例4 安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ).

A．12種 B．18種 C．24種 D．36種

評注這類題容易這樣錯誤操作：先安排一項工作給某人，再給每人安排一項工作.這個分步不恰當，某人兩次接受工作，不合情理,必重復.

五、先選后排

例5 若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同工作，則選派方案共有( ).

A.180種 B.360種 C.15種 D.30種

六、正難則反

例6 在100件產品中有6件次品,現從中任取3件產品，至少有1件次品的不同取法的種數是( ).

A. 26226 B.29106 C.27656 D. 836156

評注當問題的正面情形較多，反面情形較少時，最好從反面解答，本解法又稱排除法.

七、相鄰捆綁不相鄰插空

例7 用1,2,3,4,5,6,7,8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰,3與4相鄰,5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有____個.(用數字做答)

評注當已知中有相鄰的條件或相鄰的含義時，需用捆綁策略，先處理捆綁后的整體，再處理被捆綁的元素；當已知中有不相鄰的條件或不相鄰的含義時，需用插空的策略，先把其他元素排好，再將這些元素插入.解題中貫穿分步計數的乘法原理.

八、轉行拉直

例8公交車上現有最后兩排的6個位置，剛好有6名中學生來乘車，他們有____種坐法.

評注這種題出現了干擾條件，理論上與排數，位置無關，直接視為一排，各位置一樣對待.

九、定序分類

例9 某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為( ).

A.42 B.30 C.20 D.12

十、圓排列分類

例10 4人圍坐在一張圓桌上就餐，共有____種坐法.

十一、平均分組分類

例11 四支球隊，兩強兩弱，現把他們平均分成兩組，共有____分法.

評注這類問題屬于平均分組，處理它的一般方法是：先按要求分組，再除以組數的階乘.對于部分平均分組的，第一步不變，第二步的組數為參與平均分組的組數，而不是全部組數.

十二、構造模型

例12 體育老師讓學生把10個籃球分裝到6個籃球筐內，要求每筐不空，共有____種分裝方法.

評注這種方法又稱隔板法.使用時要注意是否允許隔板相鄰，這對問題影響較大.在實際問題中，抽象出這種模型是關鍵，如下面一個例題.

例13已知集合A={a1,a2，…，a50}與集合B={b1,b2，…，b50}，則能建立多少個映射f：A→B，使得B中每個元素都有象，且滿足f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a50).

十三、對稱分類

例14 如圖1，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可以選擇，則不同的著色方法有____種.(以數字作答)

評注對于區域1而言，2與4，3與5均屬于“對稱”位置，因為前者對后者計數有制約性影響，所以務必分類研究.事實上，這種對稱位置有時也較隱蔽，需要抽象處理.

十四、定向分配

例15 現有3名醫生和6名護士被分配到3所學校去開展體檢工作，每校分配1名醫生和2名護士，共有____種分配方法.

十五、依次插入

例16 在一次文藝演出中，有3小品，2個歌舞和1個獨唱等節目，要求同類節目不排在一起，共有____種排法.

所以同類節目不相鄰的排法種數是48+72=120種.

評注本題在第二步中極易出錯，籠統地將三個節目插入，表象上滿足了條件，實際上有很多同類節目相鄰的情形.務必依次插入，步步為營.

排列組合問題多數都是應用題,多以選擇或填空形式出現,小巧靈活,有很強的獨立性、抽象性和綜合性；同時對分類討論、數形結合、等價轉化等數學思想有著較高要求,學生不易掌握,為歷年高考常考內容.因此以上思維方法和解題策略十分重要.同時靈活應用兩個原理:分類問題用加法,完成一件事的幾類方法之間是獨立的,計數時不重不漏；分步問題用乘法,完成一件事的幾步之間是連續的,計數時缺一不可.觸類弄通，各個擊破，高考時，我們就胸有成竹了.