利用Mathematica改進懸絲耦合彎曲共振法測量彈性模量實驗

秦月婷，張貴清，明成國

(天津科技大學 理學院 物理系，天津 300457)

懸絲耦合彎曲共振法測量彈性模量[1]，因其共振易判別，支撐的影響易排除，實驗結果穩定，且有較寬的溫度適用范圍，而成為世界各國廣泛采用的測量方法，也是我國推薦的動態法測量金屬材料彈性模量的測定方法[2]，該實驗項目在各高?；A物理實驗中廣泛開設.由于大學物理實驗的教學對象是本科低年級的學生，因此在實際教學中，通常有2方面的原因使學生無法深刻理解和把握該實驗原理而產生困惑，一是不清楚實驗中所提及的基本概念；二是在實驗理論中涉及梁的橫向彎曲振動的動力學方程、微分方程求解及超越方程等復雜的數學計算.為了幫助學生更好地理解基本概念和數學計算，本文對實驗中的基本概念進行了詳盡闡述，將解析計算和圖形演示相結合，并利用Mathematica求解微分方程數值解.在教學中降低學生學習的難度，有效地增加對該實驗的實驗原理的理解，同時提供了可以利用數學軟件解決物理問題的直觀方法和手段.

1 實驗理論中的基本概念

1.1 梁的概念和分類

梁是一種承受垂直于軸線的橫向載荷的桿件.將彎曲變形時的梁的軸線，即各截面形心連線取做x軸；垂直于梁的方向取做y軸.若梁在對稱平面內做彎曲振動時，梁的軸線只有橫向位移η(x,t)，這種模型的梁稱作歐拉-伯努利梁，也稱細梁;如果與梁的長度相比，橫截面的尺寸并不很小，則需要考慮轉動慣量和剪切形變的影響，這種梁稱為鐵木辛柯梁，也稱粗梁[3].本實驗中采用的試樣為細直圓桿，為細梁.

1.2 梁的橫向彎曲振動的動力學方程

對于連續介質的細梁，根據微元的受力分析，利用牛頓第二定律推導梁的橫向振動的微分方程.這部分雖有些復雜，但只要清楚細梁橫向彎曲時應力和應變發生的位置及其關系，即可明晰其動力學方程的來由.梁的橫向彎曲振動的示意圖如圖1所示.圖1中，虛線部分表示中性層L，半徑為ρ，梁的彎曲橫振動時，其線應變εx和正應力σx均為零，這意味著在中性層上根本不存在拉伸或壓縮，而在中性層的兩邊，形變具有相反的符號；彎曲層L′，其半徑為r.圖2中O點稱為形心，即截面圖形的幾何中心,z軸為中性軸.由圖1可知

圖1 梁的橫向彎曲自由振動示意圖

L=ρθ,L′=rθ=(ρ-y)θ,

其彎曲層的形變量δ為

δ=L′-L=-yθ,

其縱向線應變εx為

(1)

當梁的形變在彈性限度內，根據胡克定律[4]有

(2)

其中E為彈性模量，即待測物理量.

圖2 圖1的右視圖

(3)

其中“-”表示與M正方向相反，M正方向為z軸正方向，M稱為彎矩，表示作用在梁的給定截面上的內應力之力矩.將式(2)代入式(3)中，得

(4)

(5)

其中η稱為撓度，表示中性層上一點的垂直位移(如圖3所示).由式(5)可寫出彈性曲線控制微分方程為[3]

圖3 圖1正視圖

(6)

圖4中f(x,t)表示單位長度上微元所受的作用力，V為微元所受的剪切力，剪切力的定義如圖5所示.因為

圖4 微元的受力分析圖

圖5 微元的切應力分析圖

(7)

微元中各力對過C點在軸方向上的力矩

∑Mz=0,

(8)

根據式(7)列微分方程有

(9)

其中，ρ為密度，A為梁的橫截面積.根據式(8)，得

(10)

將式(10)展開后，略去高階小項，得：

(11)

將式(11)和(6)代入式(9)中，得動力學方程：

(12)

當梁自由振動時f(x,t)=0，動力學方程為

(13)

1.3 梁的橫截面慣性矩的概念

截面所在平面上關于z軸的截面慣性矩的積分為

這個概念與轉動慣量類似，二者的區別僅在于用面元dA代替質量元[5].這里計算慣性矩的方法像力學中用到的垂直軸定理，即

Iz+Iy=Ix,

(14)

坐標軸方向如圖5所示.

2 運用Mathematica求解兩端自由的橫向彎曲振動梁的動力學方程及相關的數值計算

2.1 運用Mathematica求解橫向彎曲振動的動力學方程

把計算機輔助手段引入物理學各科教學之中，已成為提升物理教學水平的新增長點.Mathematica既能進行符號運算，又能進行數值求解，有豐富的矢量運算函數、統計運算函數、表型數據處理函數和作圖函數，功能非常強大[6]，因此選用該數學軟件進行數值計算.

梁的彎曲振動的動力學方程(13)中，令η(x,t)=X(x)T(t)，分離變量[2,6]得

(15)

其中，K為待定常數.由此得

(16)

(17)

式(16)的解為梁彎曲振動的模態方程.根據式(17)，得梁的彎曲振動的固有角頻率為

(18)

式(18)對處于各種邊界條件下的任意形狀截面的試樣都成立[7-8].只要根據特定的邊界條件定出常數K，代入特定截面的慣性矩I，即可得到具體條件下的頻率計算公式，其中求解常數K是關鍵，這也是實驗教學中學生理解困難的主要方面.

現在利用Mathematica 軟件對(15)式進行微分方程求解和數值計算，進而得出常數K.具體計算過程及命令語句如下：

In：=ExpToTrig[DSolve[{X''''[x]-K4X[x]==0},

X[x],x]]/.Rule→Equal

Out：=X[x]==C[1]Cos[Kx]+C[2]Cosh[Kx]+C[4] Cosh[Kx]+C[3]Sin[Kx]-C[2]Sinh[Kx]+C[4]Sinh [Kx]

In：=%/.{C[1]→c1,C[2]+C[4]→c2,C[3]→c3,-C

[2]+C[4]→c4}

Out：=X[x]==c1Cos[Kx]+c2Cosh[Kx]+c3Sin[Kx]

+c4Sinh[Kx]

(19)

式(19)為式(16)的通解，也是梁彎曲振動的模態方程.

兩端自由的梁懸掛在試樣的節點處，則相應的邊界條件為：橫向作用力V為零，彎矩M為零，即

輸入邊界條件：

In：=MatrixForm[Flatten[{{Solve[?{x,2}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,2}%==0]/.x→l},{Solve[?{x,3}}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,3}%==0]/.x→l}}]]

Out：=Cos[Kl]Cosh[Kl]==1

Cos[Kl]Cosh[Kl]-1=0,

(20)

此式即為通解式(19)加入邊界條件后的特解，也稱為兩端自由梁的頻率方程.

2.2 運用Mathematica對動力學方程特解求根

利用Mathematica尋找滿足式(20)的Kl值的方法.首先，利用圖像法判斷根的范圍.

In：=Show[Plot[Cos[Kl]*Cosh[Kl]-1,{Kl,0,10}]

Out：=

由圖6可知，第1個根和第2個根分別在4.7和7.8附近.依此方式，尋找到一系列滿足方程(20)的根.

圖6 cos(Kl)·cosh(Kl)-1隨Kl的變化曲線

In：=FindRoot[-1+Cos[Kl]*Cosh[Kl]==

0,{x,{4.7,7.8,11.0,14.1,17.3,20.4,23.5,26.7,29.8,33.0,36.2,39.2,42.4,45.5,48.7,51.8,54.97,58.1,61.2,64.4,67.5,70.5,73.8,77.2,80.0,83.2,86.4,89.2,92.6,95.5,99.2,102.0,105.5,108.4,111.7,114.7}},WorkingPrecision→7]

Out：=Kl->{ 4.730041, 7.853205, 10.99561,

14.13717, 17.27876, 20.42035, 23.56194, 6.70354,

29.84513, 32.98672, 36.12832, 39.26991, 42.41150,

45.55309, 48.69469, 51.83628, 54.97787, 58.11946,

61.26106, 64.40265, 67.54424, 70.68583, 73.82743,

76.96902, 80.11061, 83.25221, 86.39380, 89.53539,

92.67698, 95.81858，98.96017, 102.1018, 105.2434,

108.3849, 111.5265, 114.6681}}

然后進行擬合Kl與正整數n的函數關系，并繪圖(見圖7).

In：=FindFit[{4.730041, 7.853205, ……,114.6681},

a+bn,{a,b},n]

Out: =Kl=1.572678+3.141516n

Kl值與正整數n之間關系的擬合方程為Kl=3.141 516n+1.572 678，擬合方程近似為

(21)

這一結論與文獻[9]一致.表1給出Knl的數值解和擬合解的數值及相對偏差.

表1 Knl數值解和擬合解的數值對比表

2.3 兩端自由梁的彎曲振動的角頻率公式及模態函數

根據(20)式可知，兩端自由的梁的彎曲振動的各階固有角頻率公式可寫為

(22)

代入(14)式，得出細直圓桿的彈性模量公式為

n=1，2，3…

(23)

表2 數值解和擬合解下的值對比

+c4[sin(Knx)+sinh(Knx)]，n=1，2，3…

2.4 兩端自由梁在基頻振動時的節點位置計算和振形圖

兩端自由梁在基頻振動K1l=4.730 041時，節點處X(x)=0，得

[sin(K1x)+sinh(K1x)]=0,

(24)

In：=Plot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

Sinh[4.730041y],{y,0,1},Epilog→

{PointSize[Medium],Point[{{0.224,0},{0.7758,0}}]}

Out：=

由圖8可知，y值在0.2和0.8附近，因此利用數值計算尋找滿足式(24)的數值解為

圖8 當K1l=4.730 04時試樣彎曲基頻振動的振形圖

In：=FindRoot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

Sinh[4.730041y]==0,{y,{0.2,0.7}},

WorkingPrecision->7]

Out：={y→{0.2241575,0.7758425}}

求出y值的數值解.

當K1=4.730 041/l時，節點位置為x=0.224 137 5l和0.775 842 5l.依此方式，可計算出一系列Kl值相對應的節點位置x/l及其振形圖,如圖9所示.

(a)Knl=4.730 041

3 結束語

綜上，對懸絲耦合彎曲共振測量彈性模量的實驗原理，從基本理論出發詳細地推導出梁的橫向彎曲振動的動力學方程.利用Mathematica對微分方程求解兩端自由梁的橫向彎曲振動動力學方程中頻率方程的根和相應的節點位置，并擬合了節點位置及其變化規律，得出新的固有圓頻率公式和模態函數；詳細地給出彎曲振動的基振振形求解過程及二階、三階振形圖.為更好地理解本實驗，這部分理論內容可以在實驗內容中給以補充和豐富.

在大學物理實驗的教學中，面對一些較復雜的數學計算的時候，引導學生借助計算軟件化解知識難點，可使物理實驗原理的闡述更加明晰，物理概念得到深化，同時拓寬了物理實驗課程的內容，也促使物理實驗課程的進一步改進和拓展.對于學生而言，學懂弄通是提高學生學習興趣的關鍵，引入計算恰恰是使學生對實驗原理理解更加透徹的一種有效途徑，且培養了學生利用現代化手段解決問題的能力.因此，這種教學模式的改進在進一步提升物理實驗課程的學術水平和教學水平，提升學生學習的興趣方面，起到了極大地促進作用.