糧倉效應的底部與側壁壓力的實驗驗證

韓志強，沈仲馳，唐明君

(四川師范大學 物理與電子工程學院，四川 成都 610101)

顆粒物質是指直徑大于1 μm的大量離散的固體顆粒相互作用而組成的復雜體系，是常見的物態形式，也是地球上存在最多且最為人們熟悉的物質類型之一.由于顆粒物質體系處于靜止堆積時，具有典型的非線性、自組織和能量耗散等特征，會產生諸如成拱、崩塌、糧倉效應等許多奇特的現象，這些現象的產生與日常生活生產息息相關.比如，當糧食堆積高度約大于2倍底面直徑后，糧倉底面所受的壓強不隨糧食的增加而增加，而是趨于飽和值，這就是糧倉效應.糧倉效應由英國科學家Isaac Roberts在研究糧倉底面的壓強時發現[1]，直到1895年，德國學者Janssen提出的連續介質模型巧妙地將顆粒物質空間應力求解的問題進行了簡化, 很好地解釋了“糧倉系統”中底部壓力隨填充高度的增加而逐漸趨于飽和的現象[2].直到如今，許多國家仍然采用Janssen的連續介質模型作為糧倉設計規范[3-5]的主要計算思想.

為了探究顆粒物質的糧倉效應和驗證Janssen模型的正確性，有很多研究小組采用不同的測量方法測量了糧倉底部壓力和側壁壓力.比如，早期采用的敲擊法[6]，但由于敲擊容器的力度很難控制，實驗數據可重復性低.后來，王晶等采用間歇沉降法與連續沉降法對容器底部壓力進行了測量[7]，該方法彌補了敲擊法的不足，具有一定優勢.但王晶等沒有對側壁壓力進行探究，同時，顆粒與器壁的摩擦力未達到最大，導致所測的底部壓力數據偏大.本實驗通過間歇沉降法測量糧倉的底部壓力，在此基礎上，設計出了能連續測量側壁壓力的實驗裝置，并且保證了測量值在誤差允許范圍內具有可重復性.

1 理論計算

下面計算底面邊長為a的正方形的立方體糧倉中的顆粒堆積情況，在Janssen模型中，假設顆粒在同一高度處的橫向應力強度相等，且正比于縱向應力強度.

如圖1所示，建立坐標系，水平方向為x軸、豎直方向為z軸方向.顆粒物質受力情況如圖2所示，則在面積為S、厚度為dz的體積元上，力平衡的條件為

圖1 坐標軸建立示意圖

圖2 顆粒物質受力示意圖

-ρSgdz+Sdp=-τ,

(1)

其中，ρ為堆積密度，p為深度為z處的壓強，τ為糧倉壁與顆粒物質間的摩擦力.由于縱向應力和橫向應力是正比關系，摩擦力為

τ=4κμfpagdz，

(2)

κ為轉換系數[8-10]，在實驗中使用沉降法顆粒與容器壁之間的摩擦達到最大靜摩擦力，所以μf為顆粒與容器壁摩擦系數.對上式進行積分可得深度為z處的壓強為

(3)

又根據Janssen模型假設，側向應力正比于正向應力

(4)

則用側壁半徑為R的圓來測量力面上的壓力為

(5)

2 實驗裝置設計

實驗器材：亞克力板、升降平臺、壓力傳感器及顯示屏、PVC板、鋼尺、3 mm和5 mm陶碳粒.

本實驗的實驗裝置設計如圖3所示，由以下實驗操作系統組成：

(a)正視圖

a.糧倉主體部分，具體尺寸如圖4所示，正方體糧倉的底邊邊長均為4 cm，高為30 cm，活板的長度長于其他3個面的高度.底部設置為邊長略小于糧倉邊長的方形活塞，這樣可以使活塞上下移動時不會觸碰容器的內壁，也避免顆粒掉落；

圖4 方筒糧倉四壁設計圖

b.升降支架部分，調節升降臺的旋鈕控制糧倉的底板和側面的活動板的移動，用以測量不同高度和深度時，糧倉的底板正壓力和側壁壓力的大小變化；

c.壓力傳感器部分，使用精度為0.01 g，量程為0～500 g的力傳感器，將2個壓力傳感器的一端分別與側壁上的小圓片和底部的方形活塞相連，另一端再與升降臺上的固定裝置相連，這樣力傳感器就能測量到小圓片和方形活塞所受到的力的大小.實驗裝置的實物圖如圖5所示.

圖5 實驗裝置實物圖

1)底部壓力測量

由于在理論中假設側面所受靜摩擦力為最大靜摩擦力，而將顆粒注入方筒中后，側面對顆粒的摩擦力不是最大靜摩擦力，故直接測量的底面壓力并不滿足此模型，所以本文采用沉降法測量底部的壓力.如圖3所示，在固定主體部分的位置時，通過緩慢調節升降臺，使底面支撐體下降，即側面靜摩擦力達到最大靜摩擦力.然后使支撐體下降很小的高度，此時堆積的顆粒將有下降的趨勢，故此時產生的摩擦力接近于最大靜摩擦力，在整體堆積處于Janssen模型的狀態后，使用壓力傳感器測量顆粒對糧倉產生的底部壓力.

2)側壁壓力測量

在研究糧倉效應時，側壁壓力的精確測量是整個實驗和驗證模型的正確性的關鍵.已有采用在側壁的不同高度上放置不同的壓力測量裝置，測量側壁的壓力[8]，這種測量方式的缺點在于，只能測量固定高度點的側壁壓強，不能連續測量.為了測量更多高度的側壁壓力，本文設計了能連續測量不同高度側壁壓力的實驗裝置.如圖3所示，在裝置的側面，糧倉的側壁和測力裝置作為整體.具體做法是在側壁中切割出圓形區域，在此圓形區域，制作不與側壁接觸的圓片，將圓片與測力裝置相連.調整該組件的高度，可以連續測量出不同深度時糧倉的側壁壓力值.該實驗裝置不僅能夠實現沉降法測量底部顆粒壓力，還能夠連續地測量側壁壓力.

3 實驗數據采集

3.1 不同堆積高度下的底部壓力測量

實驗測量時，將壓力傳感器與數碼顯示器連接.顆粒半徑分別為3 mm和5 mm的均勻球形陶粒，成分主要為高嶺土、長石和黏土，密度為1.22 g/cm3.將陶粒注入方筒中，達到實驗所需高度，將底部支撐升降臺旋轉固定小角度，顆粒達到極限應力狀態時，測量出陶粒的堆積高度和糧倉底部正壓力的對應關系.

如圖6所示，測量出當陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時，陶粒的堆積高度和糧倉底面所受壓力大小的關系，圖中實心圓點表示在同一位置進行10多次實驗測量的底部壓力的平均值，實線表示的是式(3)使用Matlab軟件計算模擬出的理論曲線.其中3 mm陶粒的κ為0.41，5 mm陶粒的κ為0.56，在彈性理論計算的范圍(0.33～2.50)內[11]，且與其粒徑變化的規律相同[8].從圖6中可以看出，隨著陶粒高度的增加，糧倉的底部壓力增大，當高度增加到一定值時候，底部壓力的大小趨于平穩.從圖6(a)中可以看出，半徑為3 mm的陶粒高度達到大約12 cm后，糧倉底部壓力趨于平穩，達到定值.如圖6(b)中所示，當半徑為5 mm的陶粒高度達到大約10 cm后，糧倉底部壓力趨于平穩.即，當堆積高度達到方倉底邊邊長(4 cm)約2倍以上以后，糧倉的底部壓力達到飽和.從圖6的測量結果可以看出，對于不同粒徑的陶粒，糧倉的底部壓力達到飽和的陶粒高度不同，這是由于2種半徑不同的陶粒具有不同的轉向系數和堆積密度，所以，造成了同樣深度下的底部壓力不同.從圖6中還可以看出，實驗測量值與理論計算模擬值存在偏差，這是由于每次測量時，難以形成完全相同的極限應力狀態造成的，但是，理論曲線和實驗測量值的變化趨勢都相同.

(a)3 mm

3.2 不同高度的側壁壓力測量

實驗測量糧倉側壁壓力時，先將測力面置于裝置能達到的最低處，在保持底部正壓力為Janssen模型的狀態下，旋轉控制側壁升降臺的旋鈕，使側壁裝置整體上升，通過壓力傳感器測量，讀出相同堆積高度的情況下，不同測量深度處的側壁壓力大小，2種不同的陶粒不同深度的實驗測量結果如圖7所示.

圖7測量出了當陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時，陶粒在相同堆積高度16.1 cm下不同深度的側壁壓力傳感器所受壓力的大小.圖7中的實心圓點表示在多次側壁整體上升過程中不同深度的測量值的平均值，雖然圓片有一定的面積，但仍能代表這個深度的側壁壓力.圖7中實線表示的是根據式(5)，用Matlab積分計算模擬的理論曲線.從圖7中可以看出，在相同堆積高度的糧倉中，隨著測量深度的增加，側壁壓力逐漸增大，隨著深度的繼續增加，側壁壓力的增長趨勢越來越緩，最后趨于定值.理論模擬值和實驗測量值符合得比較好.

(a)3 mm

4 結論與討論

通過本文的討論得出：隨著方形糧倉中倒入顆粒的高度的增加，糧倉底部的壓力會逐步增大，最后會趨于某定值；當陶粒的堆積高度一定時，隨著測量深度的增加，方形糧倉的側壁壓力逐漸增加，且會趨于定值，出現糧倉效應.

實驗使用自制的實驗裝置能明顯地演示出糧倉效應，并能較精確地測量底部正壓力和側壁壓力，驗證了Janssen模型的正確性.同時，該實驗裝置能夠連續測量側壁壓力，能較好地反映側壁壓力變化的趨勢，驗證了產生糧倉效應的原因，即，由于顆粒物質間的相互作用，重力方向的力被分解到了水平方向，糧倉的側壁支撐了顆粒的部分重力，使得糧倉的底部壓力趨于飽和.但由于在改變側壁裝置整體高度時裝置的晃動很容易改變原本的堆積應力狀態，所以側壁壓力的測量誤差偏大，但并不影響對整個趨勢變化的判斷.