對于漏斗拾起乒乓球現象的受力及運動研究

許英特，王心華，李可意，趙瑞豐

(蘭州大學 a.萃英學院；b.物理學國家級實驗教學示范中心，甘肅 蘭州 730000)

漏斗拾起乒乓球現象在物理教學中經常被提及，并用來解釋伯努利方程[1].相似的現象已經在漏斗中流體是水的情況下有過研究[2]，結論是當水流量大于40 L/s、漏斗開口角度在30°～45°時，現象較明顯.由伯努利方程解釋升力的工作已經有很多[3-5].隨著計算流體力學的發展，也可以用數值模擬進行仿真計算[6-7].本文探究了漏斗與漏斗中球的受力情況、運動情況，建立了相關定量唯象理論[8].對現象進行建模并用COMSOL Multiphysics進行數值模擬.

1 變量說明及研究思路

1.1 實驗裝置及變量說明

向開口向下放置的漏斗中快速“吹”入空氣，放在漏斗口附近的乒乓球在適當的區域會被“吸入”漏斗內部，乒乓球不斷碰撞漏斗壁.

關于流體在空間中的運動，可用納維-斯托克斯方程對流場的體積元進行解釋[9]，但無法描述漏斗內氣體整體流動的宏觀狀態.

通過預實驗發現影響小球被拾起的主要因素有：漏斗半頂角α、氣體初始流量Q0、導管半徑r.其他的因素(如小球半徑R，質量m，空氣的各項參數等)也會產生影響，但由于流體的標度相似律，可以利用量綱分析法構造無量綱量，直接探究無量綱量對現象的影響，減少變量個數.實驗裝置及相關研究參量如圖1所示.

圖1 實驗裝置及參量示意圖

由于旋轉對稱性，小球在漏斗中的位置只需要x，y坐標描述.建立的坐標系為x軸向下為正，球的位置x表示球與漏斗相切的位置向遠離漏斗方向移動的距離.

1.2 研究思路與方法

本論文主要研究小球能否被拾起和小球被拾起后在漏斗中的運動情況(包括振幅、振動周期的大小).研究過程始終側重于實驗觀測，輔以數值模擬結果，對現象進行總結，最終形成關于該問題的唯象理論.

為研究系統動力學行為，探究小球在漏斗中不同位置所受氣流作用力F=f(r,v)，也就是小球受周圍氣流施加的附加壓強在表面上的積分.自變量表示，合力至少依賴于小球位置、速度.然而運動小球的受力測定困難，所以假設f(r,v)≈f(r,0)，即運動時小球受力可用靜止時測定的受力代替.后續實驗將表明這一假設是合理的.

本研究中，應用流體的標度相似率，一方面可以減少研究參量的個數，另一方面更接近流體問題的本質.針對此題，當小球滿足v=0，希望得出的氣流作用力公式為

F=f(α,Q0,r,x,y,R,μ,ρ),

(1)

利用量綱分析，根據Buckingham Pi定理[1]，以小球半徑R，空氣黏度μ，空氣密度ρ為基本量，可以等價地將氣流作用力的關系式轉換為無量綱量的關系式:

(2)

可以發現，需要探究的變量個數減少了.關于基本量的選擇：由于涉及到MLT三個量綱，所以基本量的個數應是3個.其中，R是衡量尺寸的特征長度.其余2個基本量選擇μ和ρ，是因為這兩者在此問題中會產生主要的影響[10].同時，R，μ，ρ在量綱上是線性無關的，構成MLT量綱的一組完備基，可以無量綱化任意相關參量.

2 實驗裝置及相關物理量測量

2.1 實驗裝置

如圖2所示，實驗裝置主要由氣泵、導管、節流閥、流量計、測力計、漏斗及球、高度游標卡尺組成.為了保證流入漏斗氣流的對稱性，氣流流經的導管豎直布置，并且內徑統一，以使氣流在進入漏斗前經歷長距離的直線運動.相應地，進入漏斗的氣流沿徑向的流速分布滿足泊肅葉分布.

圖2 實驗裝置整體圖

漏斗為3D打印制作，材質為樹脂，半頂角取值為20°，40°，50°，60°，導管半徑r=7.18 mm，壁厚度2 mm.為了拍攝運動視頻需要，特制作了透明漏斗，材質為可彎折塑料板.

受力測定采用斯巴拓(煙臺)精密機械零部件有限公司生產的SBT970型手持式傳感器，配套對應的壓力傳感器和計算機軟件(最小分度可達0.1 gf, 1 gf=9.8×10-3N)來進行受力測定.裝置如圖3所示，乒乓球通過剛性細桿固連在力傳感器上，剛性桿保持豎直，并調整乒乓球靜止時力傳感器的示數為零.這樣設置，乒乓球所受的x軸方向力即為傳感器示數值.為了使小球位置穩定，減弱小球振動，小球內填充了沙子以增大慣性.通過這樣的結構可以測定小球處于漏斗內某一特定位置時的受力.經過數值模擬分析，細桿對氣流影響較小，支撐點球表面的壓強也近似為參考壓強，因此細桿的影響可以忽略.

圖3 測力裝置圖

2.2 錄制小球在漏斗內運動的視頻

使用高速攝像機以水平視角對準透明漏斗，由于幀率提高后曝光時間降低，影像亮度降低，所以需要汞燈對小球進行補光.為了便于觀察在乒乓球表面做了記號，并且高速攝像機的鏡頭方向是調節水平的，這樣球沿軸線方向的上下運動就對應于影像中的上下運動.

3 實驗探究及結果驗證

3.1 實驗探究

3.1.1 小球靜止時的受力分析

先研究小球靜止在漏斗中固定位置時，流場達到穩定后，小球受力與位置、各個參量的關系.也就是探究F=f(r,v)在v=0時的情況.為了簡單起見，假設球沿軸線運動，即y=0.對于單次受力測定，將小球位置固定，在氣流穩定后，使用計算機在一段時間內對傳感器受力進行采樣，可以得出受力的平均值和標準差，如圖4是對受力進行采樣的示例.

圖4 單次受力測定采樣結果

可以觀察到，在流場達到穩態后，力傳感器顯示小球受力在38～39 gf.受力的漲落是由湍流引起.仍可以發現受力在不斷變大，這是因為固連的小球在氣流作用下位置逐漸有微小的偏移.

3.1.2 受力曲線

再以一定步長改變x值(小球在漏斗中的位置)，測定一定范圍內的F-x關系，如圖5是某一特定情況下測定的受力曲線.

圖5 受力曲線示例

觀察該受力曲線可以發現，小球的受力分為3個階段.

第一階段：小球離漏斗較近(x<1.5 mm)，小球受氣流作用力的值為正，即氣流的合力向下，且隨距離增大而迅速減小，這與常識相符.

第二階段：小球離漏斗一定距離(1.5 mm

第三階段：小球離漏斗較遠(x>10 mm)，氣流作用力逐漸穩定在某正的值，合力向下.

3.1.3 受力曲面

(a)α=40°

3.2 COMSOL Multiphysics數值模擬及實驗結果的驗證與分析

3.2.1 受力曲線的數值模擬驗證

在COMSOL中建立與實驗條件對應的模型，使用數值模擬的方法輔助分析小球靜止時流場的情況.數值模擬設置如下：

a.物理場模型：方程使用RANS方程(雷諾數平均納維-斯托克斯方程)的k-ω模型

b.計算流場達到穩態的情況

c.入口處采用流速的泊肅葉分布

d.參考壓強采用實際實驗室氣壓81.28 kPa

幾何建模及邊界條件如圖7所示.

在拓展課的總結與展望部分，學生提出了如下問題：本實驗中檢測的微生物類型有限，不能說明鐵皮石斛具有廣譜的抗菌功能，被檢微生物的類型有待增加；鐵皮石斛中的抗菌的有效成分有待明確，有條件的情況下可以把多糖、生物堿和氨基酸類物質分離，分別進行抑菌實驗。后續研究中，可以嘗試將鐵皮石斛勻漿液添加到相應免疫細胞的培養基中，觀察其對免疫細胞數量及活性的影響。從本案例中，可發現，高中生已經具備質疑、查閱資料、設計實施實驗、思考與總結的能力，教師應根據學生的發展特征與需求提供支持與條件，助力學生核心素養的發展。

圖7 COMSOL幾何建模及邊界條件

由于旋轉對稱性，建模時采用二維旋轉對稱的結構.其中漏斗內部除去小球占據的空間，即為求解流場的空間.

對COMSOL模擬的參量值進行設置，使模型與實驗時一致.將相同參量下模擬與實驗得到的受力曲線進行比對，如圖8所示，通過比對發現，COMSOL數值模擬的結果與實驗雖有定量有差別，但定性是一致的[11].定量差別的原因在于在建模時，存在一些未被考慮的因素.

圖8 實驗結果與模擬結果比較圖

對半頂角為不同值時進行建模、計算，仔細觀察在不同半頂角下，小球處于不同位置時(流場達到穩態)的流線圖，可以發現流場狀態分為不同階段.當小球離漏斗較近，氣流沿著小球與漏斗相切的狹縫高速射出，形成射流.隨著距離增加，流場開始向繞過小球流動的情況過渡.最終，吹入的氣流全部繞過小球流動.

由圖9可知，流線的不同階段對應了受力曲線的不同階段.比如當小球離漏斗較遠時，吹入氣流全部繞過小球流動.因此，小球附近流場與小球位置無關，趨于穩定，對應了受力曲線第3階段時氣流作用力穩定在某正值.

圖9 半頂角α分別為20°，30°，40°，50°時，小球穩定在不同位置的氣流流線圖

3.2.2 小球被拾起的原理解釋

模擬結果驗證了實驗結論是正確的，所以利用COMSOL模擬給出的流線圖(如圖10所示)，可以從宏觀上描述小球被拾起的原理.在一段流管中存在關系[12-13]：

p靜+p動=p總

其中p靜為流體靜止時內部的壓強，p動與動能相關，p總與總能量相關.對于理想流體的情況，p總為恒定值，則該式實際上就是伯努利方程.在實際情況下，由于液體黏滯阻力的存在，則總壓沿路程減小.

在此問題中，氣流作用力主要由正壓區、負壓區2部分組成.被吹入漏斗的高速氣流在小球上方被阻擋，動壓轉化為靜壓，形成正壓區，對小球施加向下的力.氣流在小球與漏斗相切處又高速射出，動壓變大，靜壓變小，以至于表壓為負(表壓=靜壓-參考壓)，形成負壓區.

在圖10(a)的情況中，正壓區占主導，合力向下，F>0，對應受力曲線第一階段.在圖10(b)的情況中，負壓區占主導，合力向上，F<0，對應受力曲線第二階段，這是使小球被拾起的原因.在圖10(c)、(d)情況中，小球附近流場趨于穩定，受力穩定在一個正值.其中圖10(d)對應的流線情況是流線不再貼著漏斗壁、再形成大的渦流，而是貼著乒乓球表面.這種流線貼近于凸起表面的現象是很明顯的科恩達效應.

圖10 COMSOL模擬流線圖

總的來說，小球被拾起的原因，可以解釋為流速大，壓強小的負壓區占據主導的伯努利效應.

3.3 變量對氣流作用力的影響

實驗室環境下ρ =1.045 kg/m3，μ =1.81×10-5Pa·s，乒乓球半徑測量為R=2.00 cm.

3.3.1 半頂角α的影響

經過實驗發現，半頂角較小時，拾起小球的x范圍較大，但氣流作用力的絕對值較小.半頂角較大時則相反，將小球拾起的x范圍較小，但氣流作用力的絕對值較大.實驗結果如圖11所示.

圖11 半頂角對小球受力的影響

3.3.2 初始流量Q0

實驗發現，初始流量Q0只影響氣流作用力的絕對值大小，并不改變受力曲線形態.當初始流量越大，小球受氣流作用力的向上、向下的力都會變大.值得注意，氣流作用力為零的點是與初始流量無關的.實驗結果如圖12所示.

圖12 初始氣體流量對小球受力的影響

3.3.3 導管半徑r

與的影響類似，在實驗探究范圍內導管半徑的大小只影響氣流作用力絕對值的大小.導管半徑越小，氣流作用力的絕對值越大.數值模擬結果如圖13所示.

圖13 導管半徑對小球受力的影響

3.4 拾起后小球運動的研究

對小球被拾起后的特定情況(α=40°，Q0=140 L/min，r=7.18 mm)使用高速攝像機拍攝視頻，幀率為1 000 s-1.將視頻導入Tracker軟件內描點，得到一段時間內小球位置(x,y)隨時間的變化關系，如圖14所示.

圖14 Tracker描點圖

在運動過程中，小球在漏斗內沿軸向、垂直軸向振動.由于實驗的偶然因素(如氣泵不穩定等)，小球有時會受到擾動.圖14采用的數據中，在0.20 s0.35 s時，小球距漏斗距離增大，小球橫向振動地幅度也一致地增加.因此，中間一段穩定振動的數據較有參考價值，下面也用來與理論計算作比較.

3.4.1 對小球運動的解釋

為解釋小球的振動，假設小球在運動時的受力等于靜止在相同位置、流場穩定時的受力，且小球受x軸方向作用力與在軸線上的情況相同，即

F(r,v)=F(x,0),

(3)

因為假設氣流作用力只與位置x有關，則該力可以視為保守力，對特定情況的受力曲線進行數值積分，求解出其勢能，發現在氣流作用力為零的第一個點存在一個勢阱，當小球總能量低于勢阱，就被限制在一定區域上下振動,如圖15所示.

圖15 小球受力曲線、勢能曲線示例

根據相同參數下的靜止時受力，及上述假設，可以根據插值法，得到小球在漏斗內不同位置運動時受力的結果.根據不同位置受力，結合牛頓第二定律，就可以運用數值方法求解出小球沿軸向運動的情況.在圖16(a)中，上圖灰色部分即數值模擬時設置的振動區域(由于假設氣流作用力為保守力，這個振動區域是由初始釋放位置的設置決定的).在圖16(b)中，黑色部分為數值模擬推演的結果，紅色部分為實驗測定結果.

圖16 小球振動的理論計算與實驗結果對比

在保守力場中，振幅、周期與初態有關.保守力場平衡點，即對應勢能的極小值點.物體在其附近振動，則越遠離勢能極小值點，勢能越大.顯然物體在不同位置釋放，其初態具有的機械能不同，運動到另一端勢能相等的位置，距離不同，振幅也相應改變.關于周期，受簡諧力的物體周期不隨初態改變，但受一般的保守力而振動的物體，在振幅較大時，周期也依賴于初態.

通過以上研究發現，根據靜止時的受力推演出的小球運動，與實驗測定符合較好.振動的幅度和頻率是符合的，部分波形重合，并且當t>0.2 s時不重合的部分實際上是2者存在一個相位差.所以用靜止時受力，近似認為是小球運動時受力的假設是合理的.

3.4.2 振動狀態與初態無關的解釋

如果假設氣流作用力為保守力，小球的運動與初態有關.而實驗顯示，小球的運動會很快達到一個與初態無關的穩態.這是因為氣流作用力并非完全是保守力，小球的振動狀態存在一個穩定平衡(這一平衡狀態是指小球能量損益的平衡，即在小球上下振動一次的過程中，會因為與漏斗壁碰撞而損失能量，因為氣流作用力做功而獲得能量.小球會穩定在損失和獲得能量平衡的振動狀態)，偏離平衡的振動狀態時，運動會向平衡狀態遷移.圖17是對氣流力做功原理的猜想.

圖17 小球運動時能量損益理論示意圖

通過Tracker處理后的運動數據，結合插值代替導數的近似，可以得到小球運動過程中在不同位置的加速度的散點圖，其中向下運動(x增大)的情況點為綠色，向上運動(x減小)的情況點為藍色，如圖18所示.統計2種情況下加速度的分布，做出箱線圖，發現實驗結果與球靜止時測定的受力曲線相符，且與氣流做功的猜想一致.

圖18 不同方向運動的受力情況統計

4 結 論

通過實驗、理論、數值模擬結合的方法，建立了唯象理論對漏斗拾起乒乓球現象進行解釋.利用流體標度相似律，探究了不同參數對小球靜止受力、能否被拾起的影響，使研究具有一定普適性.使用受力曲線、受力曲面對將小球靜止時受力進行分析，按照小球從靠近到遠離漏斗，將受力分為3個階段，并將被拾起的原因解釋為伯努利效應.唯象理論也成功地描述了小球的運動，證實小球在運動時受氣流的作用可以近似按靜止在同一位置，流場穩定時的受力來計算.解釋了振動存在唯一穩態的原因是能量損益平衡.