使用移測顯微鏡測量平行平板的折射率

范海英，賈小文，賀秀良，尹 霖，趙云飛

(陸軍軍事交通學院 基礎部，天津 300161)

折射率是介質的一個重要物理參量，折射率的測量是普通物理光學實驗的重要內容.普通物理實驗室常用的測量透明固體折射率的儀器有分光計、邁克耳孫干涉儀、阿貝折射儀等.常用的測量方法可分為幾何光學和波動光學.幾何光學方法主要有：折射定律、最小偏向角法、全反射法等[1-4].在分光計上用最小偏向角法進行測量時，需要將被測材料制成棱鏡且對棱鏡的加工要求較高；全反射法的典型儀器為阿貝折射儀，測量中需要用到已知折射率的標準試件，且對被測材料折射率的大小有限制.波動光學方法主要有：干涉法[5-8]、Lau效應[9]、牛頓環法[10]等，其中干涉法最常見.在邁克耳孫干涉儀上利用白光干涉現象進行測量時，要求透明薄膜或者透明介質厚度很薄，否則操作不便；在分光計上利用多光束干涉測量時，條紋清晰度不易保證[11].

本文基于折射定律，利用移測顯微鏡對光線經過平行平板之后的微小偏移量進行測量，進而獲取平行平板的折射率.該方法原理簡單，是高中階段常見實驗 “插針法測玻璃折射率”的延續[12]，實驗儀器可通過物理實驗室普通常見光學儀器組裝完成，實驗過程涉及多種實驗方法和實驗技術，在教學中可作為物理實驗自主實驗項目，亦可作為折射率測量實驗項目的拓展.

1 理論分析

假設透明平行平板介質位于絕對折射率為n0的介質中，厚度為d，絕對折射率為n1，如圖1所示.光線以入射角i入射到透明平行平板介質，在前后2個面上發生折射.由于前后2個表面平行，該光線經過后表面折射后，出射光線相對于原入射光線產生橫向偏移量L.

圖1 測量原理圖

利用求解△ACD的面積建立等式：

(1)

得到

(2)

將折射定律n0sini=n1sini′代入(2)式，得到

(3)

(4)

由式(4)可知，測出透明平行平板介質的厚度d、光線入射角i和折射光線的橫向偏移量L，即可得到折射率n.

2 實驗裝置及操作方法

實驗裝置如圖2所示，長焦距移測顯微鏡、測角盤、十字叉絲、毛玻璃屏和光源依次置于光具座上，其中測角盤的盤面水平并可繞豎直方向(z)旋轉，長焦距移測顯微鏡和十字叉絲下方的底座可以沿x，y和z方向調節.

圖2 實驗裝置圖

測量時，利用被光源照亮的十字叉絲作為物，通過定位測角盤上平行平板前后十字叉絲在移測顯微鏡中的成像位置，來確定測量入射角i時的起始位置，當平行平板轉動i時，十字叉絲在移測顯微鏡中的成像位置會產生L的微小位移量，再利用千分尺測量平行平板的厚度d，代入式(4)即可得到折射率n.

具體操作如下：

1)目測粗調移測顯微鏡、測角盤、十字叉絲、毛玻璃屏和光源共軸；

2)調節移測顯微鏡，看清顯微鏡分劃板及十字叉絲像，如圖3所示，注意消除視差；

圖3 顯微鏡內部分劃板

3)調節十字叉絲下方三維調節架，使十字叉絲的豎線與分劃板中心的分劃線(圖3中示值為“ 4”的分劃線)對齊.

4)細調時，將待測平行平板固定在測角盤中心的固定夾上，并保持兩平行面與測角盤垂直.由于待測介質的加入，改變了十字叉絲到移測顯微鏡物鏡的光程，因此會造成分劃板上十字叉絲像變模糊，這時可調節移測顯微鏡的縱向測微頭，使移測顯微鏡沿光軸靠近十字叉絲，直至十字叉絲像清晰無視差.

5)轉動測角盤帶動平行平板介質在水平面內轉動.由于折射，分劃板上十字叉絲像將做橫向水平位移，轉動測角盤，使十字叉絲仍處于原位置，此時可保證光線垂直入射到待測平行平板的平行面上，即測角盤所指示的角度值即為圖1中入射角i=0 的位置.

6)轉動移測顯微鏡鼓輪帶動圖3中豎叉絲移動，將豎叉絲與十字叉絲豎線、分劃板中心分劃線對齊，記下此時移測顯微鏡示數.

7)繼續沿同方向轉動測角盤(注意避免空程)，記錄多組測角盤示值和與之對應的十字叉絲豎線的位置.根據記錄的數據，可分別計算入射角i和橫向偏移量L.

3 誤差分析

3.1 不確定度計算公式及各參量數值分析

根據式(4)，由不確定度傳遞公式

其中φ=F(x,y,z…)，x,y,z…是直接測量結果,可以推導出待測介質折射率n的標準不確定的表達式為[13]

(5)

由(5)式可知，折射率的標準不確定度與i,L,d具有復雜的函數關系.以下先從理論上分別分析i,L,d對不確定度的貢獻，并給出計算機模擬的結果.

關于入射角i的不確定度的計算，實驗用測角盤最大允差為2′.由于各入射角均是通過i=θ-θ0計算得到，因此，ui的計算仍需進行誤差傳遞.假設測角盤儀器誤差滿足均勻分布，則ui=4.75×10-4rad.

關于偏移量L的不確定度的計算，實驗用移測顯微鏡最大允差為0.005 mm.同入射角i的不確定度計算相同，uL=4.08×10-3mm.

關于平行平板的厚度d的不確定度的計算，因是經多次重復測量得到，d的不確定度包含A類分量和B類分量，已知所用螺旋測微器最大允差為0.004 mm，這里做保守估計，令ud=1×10-2mm.

3.2 入射角i及厚度d對折射率的不確定度的影響

圖4 不同入射角下各參量對不確定度的貢獻對比(d=5 mm,n=1.5)

圖5計算了n=1.5時折射率n的標準不確定度un與入射角i和平行平板厚度d的關系.從圖5中可以看到，當厚度d一定時，un隨著入射角的增大是先減小后增大，在40°附近達到極小值；當入射角i一定時，un隨著d的增加而逐漸減小，數據分析表明，d<3 mm時un迅速減小，在d>3 mm以后減小的趨勢逐漸放緩，并且在d>10 mm以后已很不明顯.實驗中，對un的要求不同將會影響到實驗中入射角和平行平板厚度的范圍選擇.若希望得到較高的測量精度，則要選擇相對厚的平行平板.計算結果表明，un的極小值約為0.001，此時如果想進一步減小un，提高n的測量精度，則需要從改進儀器設備著手.

圖5 不同入射角時折射率的標準不確定度(n=1.5)

3.3 顯微鏡系統景深對平行平板厚度的限制

顯微鏡系統景深包含顯微鏡自身景深[14]和眼睛調節景深.由圖1可推導出介質厚度與景深應滿足：

(6)

其中l為顯微鏡自身和眼睛調節景深之和，其余參量與前面定義相同.由于景深的限制，由(6)式可知，當景深相同時，入射角i越大，對應的介質厚度就越小.對于較厚的平行平板，可以通過降低對測角范圍的要求而達到同樣精度的測量結果.例如，取l=1.5 mm(不同人眼調節能力不同，此值有差別)，n=1.5，imax=70°進行估算，計算可得d=3.5 mm，但若現有平行平板厚度d=10 mm，則入射角的測量范圍可取20°～40°.

3.4 實驗設計要求

綜合分析，在滿足以上給定條件及大學物理實驗教學要求的前提下，可按照相對偏差在1%以內對平行平板的厚度和入射角的范圍作出規定，可選擇厚度d在3～10 mm之間、入射角i在20°～70°展開測量，對應un的范圍為2×10-3～7×10-3.由于人眼調節能力的不同，入射角i=70°只是滿足精度要求的入射角的上限，實際入射角的上限應以測量過程中無視差為準.同時，通過計算還可以得出平板的折射率n越大，un越大，精度越低，如圖6所示.因此，物理實驗中還可以選擇低折射率的平行平板來開展實驗.

圖6 不同折射率時的標準不確定度

4 實驗結果分析

表1 測量數據表

由式(3)可知：

可以在Origin軟件中利用自定義公式進行非線性曲線擬合求解折射率n[16].擬合時將厚度d設定為常量代入公式，進行單參數擬合.設自變量x=sini，因變量y=L，則擬合公式可變為：

y=d*x*(1-(1-x∧2)∧0.5/(n∧2-x∧2)∧0.5)，

擬合結果如圖7.折射率n的最終結果為

圖7 擬合結果圖

n=1.520±0.006(P=0.95).

該結果與用阿貝折射儀的測量結果n=1.518 9一致.數據點與擬合曲線幾乎完全吻合，實驗方法的可靠性和入射角的測量范圍及待測介質厚度選擇范圍的合理性.

5 結束語

依據折射定律，利用移測顯微鏡對光線通過平行平板的微小偏移量進行測量，獲得平行平板的折射率.通過誤差分析，給出了光線入射角度、平行平板厚度和可測折射率的合理范圍.實驗中利用實驗室現有元器件組裝測量儀器，對微小偏移量、入射角度、平行平板厚度的測量均采用放大法，實驗操作涵蓋光路的共軸調整、對準和調焦調節、避免空程調節，數據處理利用軟件Origin.本實驗設計原理簡單，操作難易適中，滿足大學物理實驗的教學要求，是對現有折射率測量相關實驗項目的拓展，有利于培養學生的動手能力和創新能力.