基于最小能耗的海洋浮式平臺位置軌跡優化

靳其寶，李英華

（1.廣東海洋大學機械與動力工程學院，廣東 湛江 524088；2.廣東海洋大學數學與計算機學院，廣東 湛江 524088）

深海浮式張力腿平臺（Tension Leg Platform，TLP）是一個復雜的流固耦合體系，受到波浪、海流、地震和風激等多種外部激勵的作用，具有大慣性、大遲滯特征。解決復雜環境下外載荷引發的系統振動沖擊問題，可以提高平臺工作穩定性，而位置軌跡優化是有效緩解系統內部振動的有效手段之一。浮動平臺繞X、Y、Z三定軸角度轉動問題可視為以各自軸所形成的關節的角位置優化問題。在機構關節轉動的角軌跡規劃研究中，Liu 等[1]對一種空間三轉動關節（3-RRC）并聯機械手進行運動學和動力學分析并聯機器人進行了最優軌跡；Vittek等[2]基于驅動機構摩擦損失，采用歐拉-拉格朗日最小化法和對稱梯度速度描述法，表達和驗證在考慮常數和線性摩擦及力矩載荷情況下的電機能量-位置控制最優問題；Ma 等[3]利用分段五階多項式對車門的旋轉運動進行參數化對執行開門任務的機器人的能量消耗進行了優化研究，提出一種以關節力矩二次項為目標函數的兩步法求解優化算法，解決了機械手的最優基座位置和關節運動軌跡最優問題；Izumi 等[4]提出一種基于最小關節耗散能的最優路徑規劃方法，用以解決垂直鉸接機械手的節能問題。盡管基于最小能耗原理優化方法在某種意義上能夠用來獲得最優的運動規劃，但由于系統的運動方程通常具有高度非線性的特點，難以采用極大值原理去計算最優能量下的軌跡參數變量，因而通常采用曲線構造的方法以獲得新的優化控制軌跡。為此，Behroo 等[5]提出一種無碰撞軌跡的次優規劃方法，采用B 樣條插值方法逼近規劃的理想軌跡，并采用遺傳算法搜索出包絡該動態軌跡的三條外圍軌跡，最后得出軌跡的次優解；Gasparetto[6]采用五次樣條曲線算法實現系統運動軌跡的模擬方法，同時又基于最小能量原理獲得約束條件下的最優軌跡。

深海浮式平臺定軸轉動原理形同關節機器人的關節形成的轉動副，但由于其具備大質量、大慣性的特征，故其與普通關節軌跡位置優化研究存在不同之處。為此，本研究采用曲線分段插值的曲線軌跡構造方法[7-11]，即通過高次樣條曲線插值逼近原始位置曲線從而獲得新的軌跡控制曲線，并基于關節分段運動能耗構造多目標優化模型，以速度、加速度為約束條件，通過粒子群搜索算法得到平臺回轉的位置軌跡優化曲線。

1 方法

1.1 構造位置插值曲線

海上浮式TLP平臺存在6 個自由度的運動，即X、Y、Z軸向的平動（橫蕩、縱蕩、垂蕩）及小范圍定軸回轉。為使控制輸入能耗盡可能小、運行盡可能平緩，需綜合考慮平臺位置轉動與能量綜合最優控制問題以實現系統的可控性，進而減緩整體結構的面內穩定性。

圖1 張力腿平臺轉動自由度示意圖Fig.1 Diagram of rotational degrees of freedom of platform with tension cables

圖1 為坐標系{O-XYZ}中的海上浮式張力腿平臺回轉機構示意圖，圖中平臺在外力作用下產生繞X、Y、Z三軸的轉動。本研究從運動角度對輸入軌跡進行優化，分析理想條件下能耗與位置間的關系，通過合理的優化算法得到最小能耗的位置軌跡。

為便于分析，忽略環境載荷對系統的影響，分別進行如下定義：虛關節1，為TLP與X軸構成的轉動副；虛關節2，為TLP與Y軸構成的轉動副；虛關節 3，為 TLP與Z軸構成的轉動副；Δq1、Δq2、Δq3，為平臺在某個時間間隔內分別繞X、Y、Z三軸產生的小幅轉角。

與關節i（i=1,2,3）的相關變量定義為：角位置矢量q=[q1q2q3]和角速度矢量，其中，qi為關節i的絕對關節角，為關節i的角速度分量。忽略系統的外界攝動因素影響，則系統保持動量矩守恒，其動量矩守恒方程如下：

式中，Pi（i=1,2,3）為對應的慣性參數qi的非線性函數。

式(1)代表的系統不可積分，屬于典型的受非完整約束的系統[12]。在速度空間中和時間周期t∈[0,T]內選取某個優化指標u(t)，t∈[0,T/4]為控制輸入，可最終確定系統狀態轉移過程中關節的優化軌跡?；谧钚∧芰靠刂圃?，選關節耗散能為最優控制指標之一，構造如下目標函數作為能耗函數：

顯然，由于系統可控，式(2)必存在最優解u*∈L2，其中，L2表示Hilbert 空間可測向量函數?？刂戚斎氡硎緸椋?/p>

式中，非線性函數qi(i=1,2,3)為t的函數，可通過構造如下“4-3-3-4”插值函數逼近q1、q2、q3：

式中，i（i=1,2,3）表示第i個關節，j（j=0,1,2,3,4）表示關節i的第j段曲線。對式(4)求導，得到

將式(5)代入式(3)，得

式(6)即建立了關節總能耗J與各關節角位置q1、q2、q3間的數值關系，由此，關節位置的最優問題可轉化為能耗J的最優控制問題。

1.2 構造多目標優化模型

優化目標為θ1、θ2、θ3、θ4，其中θ1、θ2分別對應繞橫蕩X軸轉動軌跡曲線產生的位置軌跡最高、最低兩個控制點；θ3、θ4則分別對應繞縱蕩Y軸轉動軌跡曲線產生的位置軌跡最高、中間兩個控制點。為實現基于能耗最低輸入條件下的多個目標的優化求解，最終通過插值算法得到優化路徑及新的位置曲線。構造如下多目標優化算法模型，將以上數值優化問題轉化為以下非線性規劃求解問題：

式中，θ1、θ2、θ3、θ4，為優化變量；，分別為關節i 的原始速率和加速率極值；w1、w2，分別為節約能量和效率之間的線性遞減慣性權值，且w1+w2=1；，為關節i 的第j 段曲線的角速度值；，為關節i 的第j 段曲線的角加速度值；，為優化效率，實際工程要求給出具體指標；ηmin，為可接受的最小效率；Jmax，為優化前最大功耗。

1.3 軌跡優化搜索算法PSO

以原始規劃下的關節i（i=1,2,3）角位置、角速度及角加速度曲線的極值點為約束條件，采用基于位置最優的粒子群搜索算法以得到新軌跡曲線的關鍵控制點。

圖2 為PSO 算法流程圖。PSO 算法基本思想：一個由M 個粒子組成的群體在D 維空間中以一定速度飛行，則粒子在t+1 時刻的位置為

式(10)中，t、tmax，分別為當前迭代次數、最大迭代次數；wstart、wend，分別為慣性權重初始值、終止值。

考慮慣性權重w，則式(8)變為：

圖2 軌跡優化PSO 流程圖Fig.2 Flow diagram of PSO algorithm based on location optimization

2 仿真與分析

2.1 關節軌跡優化仿真與分析

為驗證筆者提出的基于最小能耗的位置優化算法，以平臺在面內繞X、Y軸兩自由度轉動的位置參數q1、q2為角位置軌跡優化目標。為驗證算法的有效性，任意給出繞X、Y軸轉動的角位置、角速度、角加速度的曲線轉動路徑（圖3），以此作為目標優化對象，并考慮圖中位置、速度及加速度的上、下界極值點，將其作為本優化目標的約束條件。

取學習因子c1＝c2＝2 及慣性權重w＝0.4～ 0.9，以關鍵角位置θ（即控制節點）作為待尋優量，采用粒子群算法在變量θ空間中實現位置迭代最優搜索，最終確定轉動關節的優化軌跡。表1 為關節i(i=1,2)角度隨時間的插值點，其中，(T/4,θ1)、(3T/4,θ2)為關節1 的兩個位置曲線路徑點；(T/2,θ4)為關節2 曲線經過的一個極值點，(T/4,θ3)、(3T/4,θ3)為關節2 經過兩側過渡點。

圖3 關節i 原始軌跡規劃Fig.3 Original trajectory planning of joint i

表1 關節i (i =1,2)在單個周期內的控制點Table 1 Key control points of interpolation curves

在PSO 算法中，角位置θi(i=1,2,3,4)作為待優化量，在不同位置、速度及加速度約束下，用PSO求解最優位置點，通過跟蹤群體最好位置在每次迭代過程中的位置變化，得到圖4 和圖5 所示的關節1 和關節2 對應的最優粒子的位置進化值s1、s2。由圖4、圖5 可知，平臺繞X、Y軸轉動角在約束條件（表2）下，關節1 和關節2 的最優粒子分別最多經過25 次和35 次迭代快速收斂于表3 所示的角位置優化收斂值。

表2 關節i (i =1,2)約束條件Table 2 Constraint condition of interpolation curves

圖4 關節1 位置最優迭代值1sFig.4 Optimal location iterative value1s of joint 1

圖5 關節2 位置最優迭代值2sFig.5 Optimal location iterative value2s of joint 2

表3 優化后的最優位置量Table 3 Optimized control points after optimization

由表3 得知，θ1＝10.62°，θ2＝-9.81°，θ3＝23.75°，θ4＝8.35°，即為關節1 和關節2 采用4-3-3-4 多項式插值下的優化位置控制點，改成弧度制后代入式(2)－(5)，可分別得到關節1 和關節2 的優化位置、速度等曲線（圖6、7）。

圖6、7 仿真結果表明，優化后的關節軌跡在位置、速度、加速度、加加速度都有明顯改善，各條曲線的曲率更趨于平緩。其中，反映關節轉動急動度指標的加加速率曲線經優化后變得平緩，顯示系統平滑性好，表明所采取的優化策略能明顯降低回轉機構的沖擊與振動對系統造成的影響程度。

圖6 關節1 軌跡優化仿真（X 軸）Fig.6 Optimized trajectory of joint 1 (X axis)

圖7 關節2 的優化軌跡優化（Y 軸）Fig.7 Optimized trajectory of joint 2 (Y axis)

2.2 關節能耗分析

平臺基本參數見表4。

表4 基本參數Table 4 Basic parameters

參照表2，同時考慮公式(2)－(6)及關節1、關節2 的優化路徑，分別對其進行能耗計算以考查位置優化前后關節能耗的對比關系，得出各個關節的最低能耗（表5）。

表5 關節能耗優化對比Table 5 Joint energy consumption comparison

表5 中，Ja，Jb，Jc，Jd分別表示平臺繞X軸和Y軸的角位置分段插值曲線a,b,c,d部分的相應能耗積分之和，優化后的路徑使得輸入能耗顯著降低，并在給定效率下達到最優。

3 結論

為增強深海浮式平臺穩定調控時的平滑性，減小振動沖擊，對平臺定軸轉動的角位置進行優化研究，提出一種基于角關節位置最優的關節位置曲線優化方法。首先，通過采用分段插值法構造關節位置曲線，并以角位置的關鍵路徑點為優化變量，建立以關節耗散能為優化目標的動態規劃，給出優化的數學模型；其次，采用粒子群搜索算法搜索各個角位置優化變量的最優值，得出關節最低能耗下的關節角位置優化軌跡。仿真結果驗證該優化策略能有效緩解關節運動的變化幅度，減小主動調控下產生的振動與沖擊，為解決深海浮式平臺因面內軸向轉動帶來的不穩定問題、提高平臺的可控性及位后續控制策略的研究提供必要的理論借鑒。

當然，實際海況下的TLP平臺面內轉動軌跡的控制幅度取決于環境載荷影響及所采取的主動控制策略。后續在平臺位置軌跡控制方面的工作擬采取電液驅動、柔索牽引并行協同調節策略，通過對系統耦合動力響應分析、柔索索力協同優化進行研究，以實現對平臺的回穩控制。