基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析

黃 楊 王林軍 杜義賢 彭云龍 廖 瑋

（1.三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室, 湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 機械與動力學院, 湖北 宜昌 443002）

結構在規定時間和規定條件內完成規定任務的能力稱為結構可靠性.機械結構可靠性是工程設計及應用中重要的約束條件之一,是評估結構的安全性、維持機構的功能要求.由于受到產品的材料屬性、加工精度以及裝配誤差等影響,在進行結構可靠性分析和設計時,存在著諸多不確定性.這種影響結構可靠性的不確定性又可分為隨機性、模糊性和知識的不完善性.

目前,研究可靠性時通常考慮的是隨機不確定性下的可靠度.近年來,研究者為了解決實際工程問題,提出了許多新的計算方法[1-5],尤其是結構可靠性分析領域.Ashok Bakkiyaraj[6]等針對復合電力系統可靠指標分析,提出了二進制差分進化算法(BDE),將此搜索方法應用于RBTS和IEEE-RTS測試系統,可分析較少數目系統狀態的可靠性；謝少軍等[7]針對耦合區間造成的可靠性分析計算效率低的問題,采用了序列迭代分析方法來解決這一問題；Zadeh[8]等提出了一種基于元模型的優化結構設計方法,來求解多學科多目標的優化設計問題,通過引入SQP法和元模型,來做出位于Pareto解處的模糊邏輯決策；游令非等[9]針對目前結構普遍存在模糊變量和隨機變量混合的情況,通過改進包絡函數來計算機構運動時變可靠度；王元帥[10]提出了一種基于蒙特卡洛法的可靠性分析,用來確定各參數的隨機性對結構可靠性分析的影響；姜潮等[11]通過結合兩種概率模型來研究可靠性指標與變量之間的關系,來分析區間變量與概率變量對可靠度指標的影響；邱濤等[12]針對結構中既含有區間變量又含有隨機變量提出了一種二參數尋優設計點的混合可靠性分析方法,對于非線性程度較高的目標函數有較高的計算精度；孟增等[13]針對功能函數非線性程度較高時,HL-RF算法會出現混沌、震蕩和周期解現象,提出了一種新的修正控制理論算法來解決迭代過程中的震蕩問題,該法效率較高,且較為穩定.

如今可靠度計算方法多是建立在假設影響結構的隨機變量都是相互獨立的基礎上的,很少考慮隨機變量的相關性對可靠指標的影響,且系統可靠性問題通常存在大量的不確定參數,若忽略了參數不確定性和變量間的相關性就會給可靠指標的計算帶來誤差.在進行可靠性分析時,傳統的一次二階矩法、二次二階矩法都需要求解結構極限狀態方程對隨機變量的偏導數,Monte Carlo法則需要模擬多次才能得到精確解.人群搜索算法在求解可靠度指標時,則不需要求解結構極限狀態方程對隨機變量偏導數,且尋優能力較強.

鑒于此,本文提出一種基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析方法.該方法以可靠指標最小為目標函數,以影響結構可靠指標的隨機變量構成的極限狀態方程為約束條件建立數學模型,進行結構可靠性分析,為存在復雜參數相關性的結構可靠性優化問題提供了有效工具.

1 本文算法介紹及可靠度指標的建立

1.1 人群搜索算法

人群搜索算法(SOA)是直接模擬人的隨機搜索行為,它將對人的智能搜索行為運用到對優化問題的搜索上.所謂隨機搜索行為就是指：在搜索過程中當搜尋者的位置較好時,則在其較小領域內搜索；當搜尋者的位置較差時,則擴大搜索范圍,在較大領域內搜索.SOA以搜索隊伍為種群,以每個搜尋者的位置作為候選解,以適應度值的大小來評判候選解的優劣,利用搜索步長和方向進行更新,來完成對問題的優化求解.

首先通過公式(1)來確定第i個個體在j維搜索空間上的搜索步長αij.

式中：ω為慣性權值,隨進化代數增加從0.9線性遞減至0.1；iter,itermax分別為當前迭代次數和最大迭代次數分別為當代種群中最大和最小函數值的位置；δij為隸屬度函數的參數；uij為j維搜索空間目標函數值i的隸屬度；D為搜索空間維數.

通過對人的利己行為、利他行為和預動行為分析和建模,得到任意第i個搜尋個體的利他方向利己方向和預動方向,見式(2)：

再對以上3個方向隨機加權幾何平均,確定搜索方向,可得到第i個個體在j維搜索空間上的搜索方向,見式(3)：

利用搜索步長和方向來進行位置更新,更新公式見式(4)：

人群搜索算法的流程圖如圖1所示.

圖1 人群搜索算法流程圖

1.2 等式約束增廣乘子法

在解決帶約束問題的方程時,為了將有約束問題轉換為無約束問題,通常使用的方法有拉格朗日乘子法和罰函數法.為了避免罰函數法的罰因子選取對計算精度的影響,可將拉格朗日乘子法和罰函數法相結合構造無約束目標函數,即為增廣乘子法.此方法同時結合了拉格朗日乘子法和罰函數法的優點,同時可避免初始罰因子的選取問題.

對于等式約束問題的數學模型：

則定義如下的拉格朗日增廣函數：

1.3 可靠度指標模型的建立

設X1,X2,…,Xn是影響結構功能的基本隨機變量,則可寫出結構的功能函數：

當Z＞0時,表示結構是處于可靠狀態的；Z＜0時,表示結構是處于失效狀態的；Z=0時,表示結構處于極限狀態面上.據此,可構建結構極限狀態方程：

用拉科維茨-菲斯萊法將非正態變量當量正態化,得到正態分布的均值,標準差及可靠指標β：

由于驗算點未知,故可將β看作極限狀態曲面點p(X1,X2,…,Xn)的函數,通過求解找到β的最小值,即得到可靠指標β和驗算點p*(,,…,).由上,可建立以下優化數學模型：

運用等式約束增廣乘子法將上述帶約束的數學模型化為無約束數學模型,公式為：

式中：M(X*)即為β2；右端第2項為懲罰項,其中r為罰因子；右端第3項為乘子項,λ為拉格朗日乘子.

在使用增廣乘子法時,罰因子只需取一個較大的數值即可,并不要求罰因子趨近于無窮大,這樣就避免了單純使用罰函數法罰因子的選取問題.

2 算 例

2.1 數值算例

設變量x1和x2均服從正態分布,其均值分別為0和0,標準差分別為1和1,極限狀態方程為：

分別使用本文算法、一次二階矩法(FOSM),蒙特卡羅法(MCS)求解其可靠性指標.得到的可靠性指標計算結果見表1,本文算法和FOSM法可靠指標及失效概率迭代對比圖,如圖2所示.

表1 3種方法可靠指標計算結果

通過表1可看出,本文算法計算所得的可靠指標為2.545 9；FOSM法計算所得的可靠指標為2.552 9；MCS法計算所得的可靠指標為2.624 4.這3種算法計算的可靠指標大致相同,驗證了本文算法的可行性.同時本文算法只需要迭代3次就可以得到可靠性指標,而FOSM法需要迭代9次,且由圖2可知,本文算法收斂速度更快,且較為穩定,故本文算法更優.

圖2 本文算法和FOSM法的對比

2.2 汽車正面高速碰撞

如圖3所示,考慮汽車正面耐撞的可靠性優化設計問題,研究汽車高速碰撞時對乘員的傷害.由于汽車正面高速碰撞時,要求盡可能減小乘員所受傷害,且需保證有足夠的安全空間,故可將衡量車身的安全指標定義為發動機上下兩個標記點的侵入量,且應小于給定的額定值[14].

圖3 高速正面碰撞

本文選取發動機下標記點侵入量為安全指標,且應小于給定的額定值=350 mm,變量X1～X3均為正態隨機變量,分別表示為前保險杠厚度和吸能盒內、外板厚度；Y1,Y2為區間分布變量,分別表示為前縱梁內、外板厚度.車輛有限元碰撞模型如圖4所示,隨機變量參數取值和分布類型見表2.其中對于正態隨機變量,參數1和參數2分別表示均值和標準差；對于區間變量,參數1和參數2分別表示變量的上邊界與下邊界.

圖4 高速正面碰撞的有限元模型

表2 不確定變量分布類型和參數取值情況

通過使用有限元分析軟件建立汽車碰撞模型,再對仿真模型進行采樣,來構建功能函數的二階響應面[15].其功能函數可表示為：

使用本文算法,求得其可靠指標β=4.388,失效概率Pf=5.715 7×10-6；使用MCS算法,求得其可靠指標β=4.363,失效概率Pf=6.400×10-6.兩種算法計算結果近似相同,同時可看出其失效概率接近于0,說明了該算例在本文條件下具有較高的可靠性.

在進行結構可靠性分析與設計時,由于實際情況和成本因素等限制,常缺乏足夠準確的樣本信息來描述系統,從而會產生各種不確定性因素[16].同時在計算過程中大多都假設各隨機變量彼此之間相互獨立,而忽略了參數之間相關性問題可能會對計算結果帶來的誤差.下面通過上述工程算例來討論均值和標準差不確定性以及參數之間存在相關性時,對可靠指標計算結果的影響.

1)若考慮變量均值μ不確定性,并保證標準差σ不變,應用本文方法計算所得可靠指標β變化范圍及其不確定度情況見表3.

表3 考慮均值不確定性的可靠指標

由表3可知均值不確定度與可靠指標不確定度的對應關系如圖5所示.由表3和圖5可知,隨著均值不確定度不斷變化,其可靠指標不確定度也發生了變化,且呈正相關關系.

圖5 可靠指標受均值不確定度的影響

2)若考慮標準差σ不確定性,并保證均值μ不變,應用本文方法計算所得可靠指標β變化范圍及其不確定度情況見表4.

表4 考慮標準差不確定性的可靠指標

由表4可知標準差不確定度與可靠指標不確定度的對應關系如圖6所示.

圖6 可靠指標受標準差不確定度的影響

由表4和圖6可知,隨著標準差不確定度不斷變化,其可靠指標不確定度也發生了變化,且呈正相關關系.對比均值不確定度和標準差不確定度分別對可靠指標不確定度帶來的影響,發現后者對可靠指標不確定度的影響較小.

3)考慮變量間的相關性給可靠性指標帶來的影響,設定隨機變量X1和X2存在相關性,且兩個隨機變量與X3、Y1、Y2之間均相互獨立,其中相關系數ρx1x2由-0.9到0.9,以0.3為等分點劃區間依次取值,應用本文方法所得可靠指標變化情況見表5.

由表5可知相關系數ρx1x2的取值與可靠性指標的對應關系如圖7所示.

表5 可靠指標變化情況

圖7 可靠指標受相關系數的影響

由表5和圖7可知,隨著相關系數ρx1x2增大,該結構的可靠指標也隨之增大,可靠性逐漸增強.可見,如果在結構可靠性分析中,忽略了參數的不確定性和隨機變量間的相關性,將會給計算結果帶來較大影響.

3 結 語

本文提出了一種基于人群搜索算法和增廣乘子法的混合可靠性分析方法,為求解考慮不確定性和相關性的結構可靠性優化設計問題提供了有效工具.兩個算例驗證了本文方法的有效性,結果表明：本文方法在處理具有一定非線性程度的結構功能函數時,與傳統算法相比,在保證精度的前提下,迭代次數更少；均值不確定度和標準差不確定度與可靠指標不確定度呈線性相關,且均值不確定度較標準差不確定度對可靠指標的計算有更大的影響；隨著變量間的相關系數取值不同,結構的可靠指標也會發生變化.此外,未來可引入Nataf變換的隨機響應面法對本文進行拓展,來解決隱式極限狀態函數的結構中變量間存在多維相關性的問題.