復合材料層合板疲勞載荷下固有頻率衰減預測模型

張善之，溫衛東，張宏建

(南京航空航天大學 航空發動機熱環境與熱結構工業和信息化部重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

復合材料與傳統的金屬材料相比，因其質量輕、比強度高、比剛度大及可設計性強等優勢，已被軍事及民用等行業廣泛采用[1]。隨著應用范圍的擴大，復合材料構件的疲勞問題日益受到重視，如何監測復合材料剩余疲勞壽命變得尤為重要。

目前國內外對樹脂基復合材料的剩余壽命模型進行了很多研究。徐穎[2]基于等效損傷原理，將無損單層板理論引入層合結構的材料性能漸降模型中，建立了包含基體開裂、基纖剪切、分層、纖維斷裂等復合材料層合板主要失效模式的疲勞壽命預測方法。王丹勇[3]基于Hashin失效準則，提出了以纖維斷裂損傷形式控制復合材料結構的最終失效準則，且考慮了4種損傷基本類型相互關聯作用的材料性能突降。上述研究均能有效預測層合板的剩余疲勞壽命，但在實際工程問題中，在不損傷材料結構的情況下，測量材料當前所處的壽命是比較困難的。

目前發展較為成熟的損傷檢測技術是基于加速度測量的振動分析理論，且可以分為以下3類：固有頻率法、振型法、其他模態參數法。早在1978年，ADAMS R D等[4]就提出可通過對結構兩個不同時段的固有頻率進行對比，從而檢測損傷。但目前基于模態分析的疲勞剩余壽命預測研究卻鮮有報道。本文基于對稱層合板模型與Hashin失效準則，應用逐漸損傷模型，編寫APDL參數化程序，針對T300/970復合材料層合板拉-拉疲勞載荷下的壽命循環比與固有頻率的關系展開有限元數值模擬，驗證了二者之間存在一定的數值關系。

1 復合材料層合板逐漸損傷模型

1.1 層合板損傷判據

復合材料層合板在疲勞過程中伴隨以下幾種破壞損傷：纖維拉伸斷裂、纖維壓縮斷裂、基纖剪切、基體開裂、基體擠壓及分層損傷。本文基于Hashin靜態準則，結合徐穎[2]所提出的疲勞失效準則，提出以上6種損傷的失效判據如下：

纖維拉伸斷裂判據：

(1)

纖維壓縮斷裂判據：

(2)

基纖剪切判據：

(3)

基體開裂判據：

(4)

基體擠壓判據：

(5)

分層判據：

(6)

其中σxx、σyy、σzz、σxy、σyz、σxz分別為層合板主軸方向應力及面內切應力；X(n,k,σ)、Y(n,k,σ)、Z(n,k,σ)代表各方向在疲勞載荷作用下的剩余強度，其下標T為拉伸，C為壓縮；同理Sxy(n,k,σ)、Syz(n,k,σ)、Sxz(n,k,σ)表示層合板面內的剪切剩余強度，n、k、σ分別代表循環數、載荷比、應力水平。

1.2 層合板性能退化方式

復合材料層合板性能退化的方式一般有兩種：由于結構損傷導致性能突降和隨疲勞循環次數增加而產生的性能漸降。前者只在滿足上述6種失效判據時出現，后者滿足漸降準則存在于全疲勞循環中。

本文假定滿足失效判據時性能按以下方式退化：

1) 纖維拉伸及纖維壓縮損傷：Exx、Eyy、Ezz、Gxy、Gyz、Gxz、υxy、υyz、υxz全性能退化為初始值的0.07；

2) 基纖剪切損傷：Gxy、υxy退化為0；

3) 基體開裂及基體擠壓損傷：Eyy、Gxy、Gyz、υxy、υyz退化為初始值的0.2；

4) 分層損傷：Ezz、Gxz、Gyz、υxy、υyz退化為0。

漸降準則參考SHOKRIEH M M等[5- 6]人提出的冪函數漸降模型，如下所示：

S(n,k,σ)=

(7)

E(n,k,σ)=

(8)

式中：S0、E0分別為復合材料單向板的初始強度與初始剛度；εf為材料破壞時應變；Nf為疲勞總壽命；α、β、λ、γ為擬合參數，參考文獻[2]中擬合數據，如表1所示。

本文參考BEHESHTY M H[7]提出的等壽命模型求得Nf，如下所示：

(9)

式中：a、m、c可由拉伸與壓縮強度、載荷幅值、平均疲勞載荷求得；f根據經驗取1.06；A、B為擬合參數，參考文獻[2]中擬合數據，如表2所示。

表1 單向板剩余剛度/強度模型參數

表2 單向板等壽命模型參數

2 損傷對層合板固有頻率的影響

復合材料構件在其使用過程中常伴隨著疲勞損傷，而損傷帶來的則是其結構剛度的衰減，從而導致固有頻率降低。本節結合層合板本構模型及攝動理論，將固有頻率降低率量化。

對稱鋪層層合板模型如下：

(10)

式中：εx、εy、εxy為各方向應變分量；kx、ky、kxy為層合板中性面的曲率分量；Aij為拉伸剛度系數；Bij為耦合剛度系數，對于堆成鋪層層合板為0；Dij為彎曲剛度系數。上述剛度系數與各方向彈性模量、泊松比之間具有一定的數量關系。

層合板合內力矩及動平衡方程公式如下：

(12)

(13)

將合內力矩公式代入動平衡方程可得到復合材料層合板的自由振動平衡方程：

(14)

邊界條件選取自由-自由邊界條件，結合層合板振動理論可得出自由振動的精確解如下式：

(15)

由上式可見，固有頻率精確解與彎曲剛度系數相關密切，而疲勞損傷的發生會對剛度產生影響，進而改變彎曲剛度系數，導致固有頻率發生變化。

3 固有頻率衰減模型擬合及驗證

本文采用商用有限元軟件ANSYS進行有限元分析，通過其內嵌APDL語言進行建模仿真編程，流程圖如圖1所示。

圖1 APDL流程圖

本文選用T300/970樹脂基復合材料為仿真材料，層合板模型圖如圖2所示，各層鋪層方向為[45/0/-45/0/45/0/-45/90]s對稱鋪層，共計16層，單層厚度0.155mm，總厚度約2.5mm，形狀為工字梁，總長度130mm，總寬度30mm，中間段長46mm，寬10mm，連接處為圓弧，半徑為30mm。材料性能參數參考文獻[8]，如表3所示。

圖2 材料模型示意圖

表3 T300/970復合材料性能結構參數

3.1 固有頻率模擬分析

按文中表1參數在ANSYS仿真軟件中建立試件的幾何模型，并利用有限元法對其進行固有頻率預測，邊界條件為自由-自由，預測結果與文獻[8]中的試驗數據對比如圖3所示。

圖3 固有頻率預測值與試驗值對比

對比發現，預測的固有頻率值與實際試驗結果十分相近，且略大于試驗值。原因是試驗中的振動時響應信號由加速度傳感器接收，而加速度傳感器的附加質量會影響實際試驗的頻率值，使之減小。由圖3所示與試驗數據的對比，證明了模態預測的可靠性。

3.2 固有頻率衰減模型擬合

疲勞循環模擬中仍使用上述幾何模型，對其在長度方向上施加循環載荷邊界條件。參考文獻[8]給出該種尺寸材料平均拉伸靜強度為723MPa。取載荷比為0.1，應力水平為75%，最大加載應力為542.25MPa。實際加載過程采用正弦波形如圖4所示。

對每次循環后的各個單元讀取各方向應力并按失效判據進行損傷判斷，如果出現損傷則單元性能按照退化準則進行退化，對于未出現損傷的單元性能按照冪函數漸降模型隨循環次數進行漸降。取疲勞循環過程中各壽命階段的幾何模型進行模態預測，并選取自由狀態進行預測其對應的循環比下固有頻率值。

圖4 疲勞循環載荷譜

圖5為5種不同循環比時數值模擬求得的固有頻率下降率與所對應疲勞循環比之間關系。由圖中可以看出固有頻率下降率和疲勞循環載荷比之間明顯存在一定的函數關系。本文選用對數函數模型，選取第二階模態通過遺傳算法對其進行最優化擬合。函數模型為：

g=pln(qr+1)

(16)

式中：g為固有頻率下降率；r為疲勞循環比。g、r表達式如下：

(17)

(18)

式中p、q分別為擬合參數，由材料、類型、尺寸、應力水平和選取的模態階數等參數所決定。按上述模型擬合得出的第二階模態預測模型如下式所示：

g=0.10478ln(37.92976r+1)

(19)

圖5 前4階固有頻率下降率變化圖

3.3 衰減模型驗證

將上述擬合模型與文獻[8]中的試驗數據進行對比，結果如圖6所示。由圖可見擬合模型曲線與試驗數據曲線吻合度非常高。但是在疲勞循環比0.4～0.8的過程中存在一定的誤差，其主要原因為層合板疲勞進行過程中總伴隨著邊界效應[9]，導致復合材料的自由端容易較早發生分層損傷，從而對復合材料的邊界剛度有加強作用，導致固有頻率下降率減小，使數值模擬結果與試驗結果產生一定的誤差。因此本文所參考的損傷后剛度突降模型有待進一步改進，應考慮更多的邊界效應影響因子，有助于更好地反映實際試驗中的固有頻率下降率。

圖6 T300纖維復合材料層合板數值模擬結果

4 結語

本文基于層合板逐漸損傷模型，采用率相關的硬化方程，編制了本構模型的APDL參數化程序，利用ANSYS軟件開展了T300/970樹脂基復合材料層合板在0.1載荷比、75%應力水平下的固有頻率下降率數值模擬研究，并建立了符合疲勞循環比與固有頻率下降率關系的對數函數模型。結果表明：該模型具有一定的可靠性，有效利用擬合模型，對實際工程中通過固有頻率下降率預測剩余疲勞壽命有很大的實際意義。