聚焦思維，整體構建

錢建兵

筆者聽了特級教師許衛兵的“用字母表示數”一課后，受益匪淺。為什么要由具體的數走向概括的字母表示？大家進行不斷探索的動機是什么？筆者認為，一個重要的原因就是人類與生俱來的求簡思維。也正是如此，教學中，許老師充分利用了這一點，激發學生不斷求簡的欲望，思維從具體向抽象跨越。從開始的字母表示概括的數，到著力體現數量關系，到最后的簡寫規則的學習以及用字母表示公式，一脈相承，體現了整體建構的教學魅力。

【片段一】聚焦概括，思維由具體走向抽象

教師用小棒在黑板上擺三角形，邊擺邊讓學生觀察三角形的個數和小棒的根數，擺好4個三角形后——

師：擺不完，怎么辦？

生：用省略號。

師：一個省略號就把所有沒擺出來的情況都包括進去了。

教師出示：擺（ ? ）個三角形用（ ? ）根小棒。

展示1：擺（1）個三角形用（3）根小棒。

擺（5）個三角形用（15）根小棒。

師：同意嗎？評價一下他們的水平。

生：我同意他們的填法，數字大了，水平高了。

師：哦，你的想法是，誰寫的數字大，誰的水平就高。

展示2：擺（n）個三角形用（n×3）根小棒。

師：這個同學用了英文字母n，請說一說你這個n想表示誰？

生（上臺指著1、2、3、4……）：n表示這里所有的數。

師：你的意思是說，寫這么多數，還要加省略號才能把它們寫全，太麻煩了，我直接寫個n不就好了嗎？

生：是的。

師：同學們，這種想法有沒有道理啊？

生：有。

師：那你們想想看，他后面寫的是什么？

生：n×3。

師：n×3啥意思？有人看懂了嗎？

生：因為1個三角形要用3根小棒來擺，所以n個三角形就要用n×3根小棒來擺。

師：你是這么想的嗎？

生：是的。

師：請問怎么知道是乘3的？剛才咱們碰到乘3了嗎？

生：碰到了。

師：哪里用上了？比如6是怎么來的？

生：2×3。

師：請問，n×3代表哪些數呢？

生：3、6、9、12……

師：俗話說，千金難買回頭看。我們回過頭來看看，一開始解決這個問題的時候，大家腦子里總是先想到什么呢？

師：跟一個個具體情況相比，這個同學的寫法最大的不同是什么？

生：這個n和n×3把所有的情況都包括進來了。

師：一網打盡了是吧。

……

【賞析】字母表示數是系統學習抽象形式的代數的開端。在此之前，學生習慣于具體的數、具體的運算，雖然代數思維也有一些初步的萌芽，但具體算術思維根深蒂固。教學中，許老師能充分抓住學生這一思維特點，或者說思維習慣、思維水平，讓學生在具體的表達中實現思維向抽象躍升。當學生意識到再多的具體數字也沒有必要全部寫下來，用字母表示數就呼之欲出。沒有反思，就沒有思維的提升。當學生用字母表示了數之后，許老師通過引導學生對比，讓學生充分體會字母表示數的價值與背后蘊藏著的數量關系。這個反思包括兩個方面：不僅僅停留在由具體走向概括的單向的比較上，而是讓學生的思維行走于具體與概括之間的雙向通道上，由“一個個具體的數，最終一個字母、一個字母式就一網打盡”到“由這個字母、這個字母式還可以代表誰”。學生的思維在具體與抽象之間自由切換，并充分地體驗著、感悟著。學生的思維只有在兩者之間自由行走，才能得到充分發展，否則還是無法抹去教師牽引的痕跡，也無法見證學生思維的發展。

【片段二】著力關系，思維由表象走向深入

教師拿出一瓶飲料問：這瓶飲料有300毫升，如果我們喝掉一部分，就會剩下一部分。我們什么時候遇到過這樣的問題呢？

板書：300毫升飲料，喝掉（ ? ? ）毫升，還剩（ ? ?）毫升。

咱們一年級就學啦，比如，我有5個餅，吃掉2個餅，還?！?/p>

（教師擰開瓶蓋，請一個學生上臺喝了一口）

師：好喝嗎？

生：好喝。

師：哈哈，那可不能白喝，請問：你喝掉（ ? ?）毫升，還剩（ ? ）毫升。

生：我用x表示，我喝掉x毫升，因為我們沒有測量到底喝了多少。

師：剩下的誰來填？

生：喝掉x毫升，還剩x毫升。

生：應該是其他的一個字母，用y表示。

生：我認為應該是300-x。

師：哪個答案更好？

生：300-x。

師：為什么？我覺得y也蠻好的。

生：因為y沒能表示它們之間的關系。

師：是的，同學們。數學很奇妙——

生：關系最重要。

【賞析】在回顧、反思中品味具體與抽象的過程時，許老師迅速將學生的思維聚焦于字母式背后的數量關系。無論是一個個具體的算式，或是概括的字母式，只要引導學生進行比較，就不難發現變化中不變的數量關系?？梢哉f，許老師的教學觸及教學難點，時機掌握得恰如其分?！皵祵W很奇妙，關系最重要?！闭缭S老師所預設的那樣，學生很自然地將思維聚焦于數量關系，這也是學生初次發現字母式背后的數量關系。用其他字母表示三角形的個數，那么怎么表示小棒的根數？在對比中，學生又一次發現，在表達時要將關系說清楚，數量關系再一次被推到前臺。

許老師創設教學情境——300毫升的飲料，當一個學生喝掉一口后，用字母表示喝掉的飲料與剩下的飲料時，有的學生用“喝掉x毫升，還剩x毫升”表示，有的學生用其他字母表示，還有的學生用“300-x”表示……在學生的爭辯中，數量關系再一次被推上前臺。因此也有了學生再一次的深刻感悟：數學很奇妙，關系最重要。在此過程中，學生由追求結果走向追求過程，逐步由算術思維走向代數思維。

【片段三】著眼整體，思維貫穿知識結構

師：在以前的數學學習中，咱們有沒有碰到過用字母表示數的情況呢？

生：我們學過加法交換律，a+b=b+a。

生：還有加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律，都可以用字母表示。

（教師出示字母表示的運算定律）

生：計算長方形周長和面積的時候，也用過。

（教師出示：長方形、正方形面積的文字公式和字母公式，由文字公式變成字母公式就變簡單了）

師：用今天所學的方法，我們還可以把這幾個字母公式寫得再簡單一點：S=ab，S=a2。如果不這么寫行不行？

師：既然面積公式可以這樣寫，你們就想到了什么？

……

【賞析】無論是引導學生的思維由具體走向抽象，還是聚焦關系用字母式表示數，或是字母簡寫規則的學習，許老師都是將其置于“人類思維總是求簡”這種思維方式之中的，數學學習順應了“把復雜的問題變得簡單，把簡單的問題變得更簡單”的需求，數學能將這一需求、這一理想變成現實，并趨于完美，因而學習變得如此自然。這也體現了教者整體構建的數學教學思想。

當教學的立意達到更高層次時，學生就有了領略更高遠風景的視角，一種內在的學習力自然得到激活與喚醒。把簡單的事做得更簡單，尋求更簡單的表達，成為學生內在的需求，成為有意義的事情。用字母表示公式這些知識也能很自然地融入學生的知識結構中。

總之，這節課的教學因求簡的思維而生，也因求簡的思維成為整體，在整體構建中實現思維的跨越。在反思中對具體與概括進行比較，在反思中不斷體會概括中關系的重要性，體會字母表示數的價值，在此過程中也形成了凸顯整體性的板書設計，脈絡清晰，一目了然，整體感強，彰顯了結構化教學的魅力。

（作者單位：江蘇省南通市通州區西亭小學）