創新視角下的立體幾何圖形變換問題

■江蘇省無錫市洛社高級中學 翟榮俊

立體幾何是高考的重要內容，而圖形變換問題更是一類常考題型。圖形變換，使得立體幾何問題由“靜態”轉為“動態”，并在“動態”過程中生成新的問題加以考查同學們的空間想象能力和抽象思維能力，提升同學們的直觀想象的數學素養。圖形變換過程中，原圖形中的部分幾何元素的位置關系、數量關系發生了變化，因此，如何合理分析變換前后圖形的關系，特別是抓住動態變換中的幾何關系的不變性及相互關系，是解決這類問題的關鍵。近年來，立體幾何中的圖形變換問題也出現了一些新的變化。本文旨在通過對立體幾何圖形中的變換問題進行剖析，為2021 屆高三數學立體幾何復習提供一些參考。

視角一:平移無形變有形，優化運算顯本領

例1（2020年浙江模擬）如圖1，在多面體ABCDEF 中，四邊形ABCD 為菱形，且∠BAD=60°，在四邊形ADEF 中，AF∥DE，∠DAF = 90°，AD=DE=2AF=2，BE =2，M 為AB的中點。

圖1

（1）證明：直線FM∥平面EAC；

（2）求直線BF與平面EAC 所成角的正弦值。

解 析：（1）如圖2，過E 作EQ∥AD，與AF 的延長線交于點Q。因為AF∥DE，可知四邊形ADEQ 為平行四邊形，連接BD 交AC 于點S，連接DQ 交AE 于點R，連接RS，所以，MS∥AD。

圖2

（2）取DE 的中點為N，連接CN，則BF∥CN。

連接BD 交AC 于點S，連接ES，因為DE2+BD2=BE2，所以BD⊥DE。

又因為AD ⊥DE，AD ∩BD=D，所以DE⊥平面ABCD。因為AC?平面ABCD，所以AC⊥DE。又因為AC⊥DB，BD ∩DE=D，所以AC⊥平面BDE。

所以平面BDE ⊥平面ACE，作DG ⊥SE 于點G，NH ⊥SE 于點H，則NH ⊥平面EAC，所以∠NCH 為直線CN 與平面EAC所成角，等于直線BF 與平面EAC 成角θ。

點評：本題是一道有一定難度的立體幾何問題，空間向量在本題中使用并不方便，解題的關鍵在于掌握圖形中的線面關系，通過平移變換，將線段AD 平移到QE，將線段BF 平移到CN，從而使得原來無形的線面角轉化為了有形的∠NCH。可見平移變換，讓原本看似很困難的問題轉化為了同學們熟悉的考題，也將原本很難運算的空間角問題變得比較方便，優化了運算。

視角二:旋轉線動成曲面，曲直結合益解題

例2（2020年山東濟南模擬）已知直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=將直角梯形ABCD（及其內部）以AB 所在直線為軸順時針旋轉90°，形成如圖3所示的幾何體，其中M為弧的中點。

圖3

（1）求證：BM ⊥DF；

（2）求異面直線BM 與EF 所成角的大小。

解析：（1）如圖4，連接CE，與BM 交于點N。

根據題意，該幾何體為圓臺的一部分，且CD與EF 相交，故C，D，F，E 四點共面。

因為平面ADF∥平面BCE，所以CE∥DF。

圖4

又BC=BE，所以BN ⊥CE，即BM ⊥CE，所以BM ⊥DF。

（2）連接DB，DN，由（1）知，DF∥EN 且DF=EN，所以四邊形ENDF 為平行四邊形，所以EF∥DN，所以∠BND 為異面直線BM 與EF 所成的角。

點評：本題是一道通過直角梯形旋轉得到曲面，進而圍成幾何體的考題，讓同學們直觀感受圓臺（局部）的形成過程，動靜結合，考查了同學們的空間想象能力。兩個小題都是圍繞幾何體中的線線關系展開，考查同學們對于旋轉過程中不變量和不變關系的掌握，是否能熟練將空間問題轉化為平面問題加以研究和解決。

視角三:翻折化平面為立體，折前折后巧分析

例3（2020年湖北高考模擬）如圖5，在梯形ABCD 中，AB∥CD，過A，B 分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別E，F。AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，將梯形ABCD沿AE，BF 同側折起，得到如圖6 所示的空間幾何體ADE-BCF。

圖5

圖6

（1）若AF ⊥BD，證明：DE ⊥平面ABFE；

解析：（1）由已知得四邊形ABFE 是正方形，且邊長為2，在圖6中，AF⊥BE。

由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，所以AF⊥平面BDE。

又DE?平面BDE，所以AF⊥DE。

又AE⊥DE，AE∩AF=A，所以DE⊥平面ABFE。

（2）在圖6中，因為AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，所以AE⊥面DEFC。

在梯形DEFC 中，過點D 作DM ∥EF交CF 于點M，連接CE。

由題意得DM=2，CM=1，由勾股定理可得DC⊥CF，則

因為DE∥CF，則DC 與DE 垂直，所以CE=2，可得△CEF 為正三角形。

過E 作EG⊥EF 交DC 于點G，可知GE，EA，EF 兩兩垂直，以E 為坐標原點，以分別為x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立如圖7所示的空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，1，所以

圖7

點評：這道考題通過翻折完成了由平面到空間的轉化，翻折過程由“動”到“靜”，考查同學們是否能正確分析翻折過程中哪些量是不變的，哪些量是改變的。處理此類翻折問題時，通常需要對照分析折前的圖形和折后的空間圖形，抓住翻折過程中的不變量和不變關系，這樣容易對有關線段、角的數量關系及位置關系作出正確判斷。

視角四:割補解決局部問題，原有性質要用好

例4（2020年湖南長沙模擬）如圖8，多面體ABC-DB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面切除一部分所得，BC=CC1=1，D為AA1的中點。

（1）求證：BC1⊥平面B1CD；

（2）求點B1到平面BCD 的距離。

圖8

解析：（1）設BC1與B1C 交于點E，連接DE。

因為多面體ABC-DB1C1是正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，BC=CC1，所以四邊形BB1C1C 是正方形，四邊形CC1DA 和四邊形ABB1D 均為直角梯形，其中AB⊥AD，AC⊥AD。

因為D 為AA1的中點，AA1平行且等于BB1，所以

因為E 為BC1的中點，所以BC1⊥DE。

又因為B1C⊥BC1，B1C∩DE=E，所以BC1⊥平面B1CD。

（2）設點B1到平面BCD 的距離為d。

因為V三棱錐B1-BCD=V三棱錐D-BCB1，所 以點D到平面BCC1B1的距離即為△ABC 邊BC 上的高，即為

點評：本題從一個三棱柱出發，通過切除一部分，完成由“靜”到“動”的割補過程，考查同學們對幾何圖形的理解能力，抓住割補變化后的不變性質。在問題的設置上，重點考查同學們在理解原棱柱性質的基礎上，對局部圖形的研究。第（2）問的解答中，巧妙地引入了等體積法，將圖形變換中的體積轉換融入其中，再一次實現了由“靜”到“動”的靈活考查。

立體幾何中的圖形變換問題是高考考查的熱點問題，是平面幾何與空間幾何問題轉化的集中體現。縱觀近兩年的高考試題，圖形變換試題的靈活性越來越明顯，能力要求也越來越高。處理這類問題的關鍵是抓住變換前后兩圖的特征關系，特別是抓住變換過程中的不變元素。

總之，立體幾何中的圖形變換看似變化多端，實則有規律可循，解答圖形變換問題，需要同學們樹立信心，掌握解題的常用方法，積極深入地分析問題的特征，才能順利解答。