用空間向量解決立體幾何問題的建系策略

■四川省綿陽實驗高級中學(xué) 黃 芹

立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識體系中的重要知識模塊，也是高考重點考查的核心內(nèi)容之一。空間向量是求解立體幾何問題的一個重要工具，利用空間向量解答立體幾何問題，主要突破“四關(guān)”：第一關(guān)，建系；第二關(guān)，求點的坐標(biāo)；第三關(guān)，求法向量；第四關(guān)，應(yīng)用公式。然而如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求出點的坐標(biāo)是用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵所在。下面以典型的幾何體：棱柱、棱錐、多面體為載體，以典型的問題情境設(shè)計：求線面角、求二面角、探索性問題、翻折問題為背景，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的常用途徑。

途徑一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

例1如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，AA1=2，D 是側(cè)棱AA1上的一點。

（1）證明：當(dāng)D 是側(cè)棱AA1的中點時，DC1⊥平面BCD。

圖1

（2）側(cè)棱AA1上是否存在一點D，使二面角D-BC1-C 的余弦值為若存在，請求出AD 的長度；若不存在，請說明理由。

分析：（1）幾何體中有三條直線兩兩垂直，直接建系。（2）空間向量非常適合于解決立體幾何中的探索性問題，只需要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算把“是否存在”的問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解”的問題。

解：（1）證法一：由題意BC⊥AC 且BC⊥CC1，AC ∩CC1=C，所以BC ⊥平面ACC1A1。

又因為DC1?平面ACC1A，所以BC⊥DC1。

又因為D 是AA1的中點，AC=AD，且∠CAD=90°，所以∠ADC=45°。

同理，∠A1DC1=45°。

所以∠C1DC=90°，則DC1⊥DC。

又因為DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BCD。

證法二：如圖2，以C為坐 標(biāo) 原 點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。

由題意知C（0，0，0），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以

圖2

所以DC1⊥CD，DC1⊥CB。

又CD∩CB=C，所以DC1⊥平面BCD。

（2）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點D 滿足題意。

設(shè)AD=h（0＜h＜2），則D（1，0，h），B（0，1，0），C1（0，0，2）。

由條件易知CA⊥平面BC1C，故取m==（1，0，0）為平面BC1C 的法向量。

設(shè)平面DBC1的法向量為n=（x，y，z），所以

途徑二、利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

例2如圖3 所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為 等邊三角形，∠BAB1=∠BB1A，AB1∩A1B=O，CO⊥平 面ABB1A1，D是線段A1C1上靠近A1的三等分點。

圖3

（1）求證：AB⊥AA1；

（2）求直線OD 與平面A1ACC1所成角的正弦值。

分析：三棱柱放倒，但仍有使用向量法的明顯特征，由條件可得四邊形A1ABB1為菱形，菱形的對角線互相垂直，結(jié)合已知條件中的線面垂直關(guān)系：CO⊥平面ABB1A1，所以可以以O(shè) 為坐標(biāo)原點建系。由第（1）問的結(jié)論也可以B 為坐標(biāo)原點，z 軸與OC 平行（z 軸懸空）建系，如圖4所示。求點C的坐標(biāo)可以利用求 點D的坐標(biāo)可以利用本題第（2）問的解答以O(shè) 為坐標(biāo)原點建系為例。

圖4

解：（1）因為∠BAB1= ∠BB1A，所以AB=BB1，所以四邊形A1ABB1為菱形。

因為CO⊥平面ABB1A1，故∠COA=∠COB=90°。

因為CO=CO，CA=CB，所以△COA≌△COB，所以AO=BO，即四邊形ABB1A1為正方形。

所以AB⊥AA1。

（2）依題意，CO⊥OA，CO⊥OA1。

在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA。

所以以O(shè) 為坐標(biāo)原 點，OA1，OA，OC 所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖5 所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz。

圖5

不妨設(shè)AB=2，則O（0，0，0），A1（，0，0），A（0，，0），

設(shè)平面A1ACC1的法向量為m=（x，y，z），所 以令x=1，得y=1，z=1，所以m=（1，1，1）。

所以直線OD 與平面A1ACC1所成角的正弦值為

總結(jié)：建系的關(guān)鍵是找到垂直關(guān)系。判斷線線垂直的常用結(jié)論：正方形、矩形、直角梯形；等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直；菱形的對角線相互垂直；勾股定理逆定理；線面垂直性質(zhì)定理等。

途徑三、利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

例3如圖6，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 為直角梯形，BC∥AD，AD ⊥DC，BC=CD=1，AD=2，PA=PD，E 為PC 的中點，平面PAD ⊥平面ABCD，F(xiàn) 為AD 上一點，PA∥平面BEF。

（1）求證：平面BEF⊥平面PAD；

（2）若PC 與底面ABCD 所成的角為60°，求二面角E-BF-A 的余弦值。

圖6

分析：（1）連接AC 交BF 于點G，連接EG，結(jié)合線面平行的性質(zhì)可得PA∥EG，再由E 為PC 的中點，得G 為AC 的 中點，則△AFG≌△CBG，得到AF=BC=AD=1，即F 為AD 的中點，可得四邊形DCBF 為平行四邊形，再由AD⊥DC，得BF⊥AD，可得BF⊥平面PAD，進一步得到平面BEF⊥平面PAD。（2）由面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，結(jié)合底面是直角梯形，可以以D 為坐標(biāo)原點建系。分析得到F 為AD 的中點，也可以以F 為坐標(biāo)原點建系。P 點坐標(biāo)未知，需要先設(shè)坐標(biāo)，比如設(shè)P（0，0，t），由PC 與底面ABCD 所成的角為60°可求解t。

解：（1）連接AC 交BF 于點G，連接EG。

因為PA∥平面BEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF=EG，所以PA∥EG。

又E 為PC 的中點，所以G 為AC 的中點，則△AFG≌△CBG，得AF=BC=AD=1，所以F 為AD 的中點。

因為BC∥FD，且BC=FD，所以四邊形DCBF 為平行四邊形。

因為DC⊥AD，所以BF⊥AD。

又BF?平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。

又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD。

（2）連接PF，因為PA=PD，F(xiàn) 為AD的中點，所以PF⊥AD。

又PF?平面PAD，平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PF⊥底面ABCD。

又BF ⊥AD，所以以F 為坐標(biāo)原點，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)P 所在直線分別 為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，如圖7所示。

設(shè)P （0，0，t），則F（0，0，0），C（-1，1，0），

圖7

取平面ABCD 的法向量為n1=（0，0，1），所以

設(shè)平面EBF 的法向量為n2=（x，y，z），所 以令z=1，得x=，所以n2=（，0，1）。

總結(jié)：先由面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系。建系時讓一些點、線段盡量與坐標(biāo)軸重合。在利用法向量解決線面角及二面角大小時，一定要注意正確運用公式，并判斷所求二面角是鈍角還是銳角。

立體幾何解答題通常分步設(shè)問，既考查同學(xué)們的空間想象能力與邏輯推理能力，也考查運算求解能力。問題情境千變?nèi)f化，但萬變不離其宗的是：立體幾何解答題的考查歸結(jié)為點、線、面的位置關(guān)系，以及角度、距離的求解。空間向量工具是解決立體幾何問題的“尚方寶劍”，空間直角坐標(biāo)系是“定海神針”，三種建系途徑若能熟練掌握，定能提高分析問題的能力和解題速度。