常見空間距離的求解策略

■山東省嘉祥縣第一中學 韓 陽

空間距離是立體幾何研究的一類重要問題，也是高考的重點內容，主要包括點點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離、面面距離。其中以點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離為基礎，線面距離、面面距離都可以轉化為點到面的距離。

一、定義法

根據已知條件，利用幾何體的特征，結合空間距離的定義和立體幾何的知識先證明某線段為所求的距離，然后再通過解三角形求出空間距離。

例1某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的最大棱長為（ ）。

圖1

解析：由題意可知該幾何體的直觀圖是長方體的一部分，如圖2 所示，所以該幾何體的最大棱長為

圖2

點評：利用棱錐的定義，由三視圖作出四棱錐的直觀圖，結合直觀圖利用勻股定理求相關幾何量的數量，進而求出結果，解決此類問題的關鍵是由三視圖還原出原來的幾何體。

二、公式法

利用幾何體的體積公式或表面積公式，直接計算出所求距離或線段的長度。

例2若正三棱柱的所有棱長均為a，其體積為16，則a=___。

解析：由題意得16，解得a=4。

點評：正三棱柱的底面為正三角形，側棱垂直于底面，柱體的體積等于底面積乘以高，邊長為a 的正三角形的面積為

三、等體積法

當點到平面的距離不易求時，可先構造一個三棱錐，若此三棱錐的底面積比較好求，且通過轉化頂點，求出三棱錐的體積，再利用三棱錐體積的不變性，求出點到平面的距離。

例3邊長為2的正方形ABCD 沿對角線AC折疊，使得△ACD 垂直于底面ABC，如圖3所示，則點C 到平面ABD 的距離為（ ）。

圖3

解析：如圖4，取AC的中點O，連接DO 和BO，則DO⊥AC，BO⊥AC。

由于四邊形ABCD 是邊長為2 的正方形，所以AD=CD=AB=BC=2，則

圖4

由題知，平面ACD⊥平面ABC，且交線為AC，而DO ?平面ACD，則DO ⊥平面ABC。

又BO?平面ABC，所以DO⊥BO，所以在Rt△BOD 中

所以△ABD 是等邊三角形，則S△ABD=

點評：本題利用等體積法求出點到平面的距離，避免了從點C 作平面ABD 的垂線，體現了轉化與化歸的思想，起到了化繁為簡的效果。

四、向量法

如果由題意可以比較容易地建立空間直角坐標系，則可以使用向量法處理空間距離問題，關鍵是坐標要正確，運算的過程要準確。如果是不易直接建系，當知道長度與角度時，可以考慮使用非坐標形式下的向量運算進行求解。

例4如圖5，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是一個直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥平面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，M 和N 分別為PA 和PC 的中點。

（1）求點P 到平面DBN的距離；

（2）設點N 在平面BDM內的射影為點H，求線段HA 的長。

解析：（1）在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 是一個直角梯形，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD。

圖5

所以以A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系，如圖6，則D（0，2，0），M（0，0，1），P（0，0，2），B（2，0，0），

圖6

設平面BDN 的法向量為m=（x1，y1，z1），則取x1=1，得

設平面BDM 的法向量為n= （x2，y2，z2），則取x2=1，得n=（1，1，2）。

（2）設點N 在平面BDM 內的射影為點H（a，b，c），則所以點N 到平面BDM 的距離為d2=

點評：利用向量法解決空間距離問題常用到下面兩個結論：（1）點到直線的距離：設過點P 的直線l的方向向量為單位向量n，A為直線l外一點，點A 到直線l 的距離d=（2）點到平面的距離：設P 為平面α 內的一點，n 為平面α 的法向量，A 為平面α 外一點，點A 到平面α 的距離