立體幾何易錯點透視

■山東省沂南縣第二中學 賀小兵

本文通過對立體幾何中常見的易錯題進行歸納總結，結合立體幾何中幾類典型問題進行分析，幫助同學們糾正錯誤認識，提高正確解題能力。

考向1:線線、線面、面面關系

空間中線線、線面、面面關系是立體幾何的核心內容，其中又以線面的平行與面面的垂直問題為重點。

例1如圖1，四邊形ABCD 是平行四邊形，平面AED ⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE =，DE=3，∠BAD=60°，G 為BC 的中點。求證：平面BED⊥平面AED。

圖1

證明：在△ABD 中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理得BD =，進而可得∠ADB=90°，即BD ⊥AD。又因為平面AED⊥平面ABCD，BD?平面AED，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD ⊥平面AED。又因為BD?平面BED，所以平面BED⊥平面AED。

易錯點分析：本題易出錯的原因：一是BD⊥AD 沒有給出確切的證明過程，同學們在證明線線垂直時，易忽略利用余弦定理或勾股定理，求三角形邊長之間的關系；二是書寫格式不規范，對于線面垂直、面面垂直判定定理的使用，關鍵點不寫出，例如，本題中的平面AED∩平面ABCD=AD 沒有寫，導致過程分拿不到。

小結：同學們要掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化。熟練掌握線面平行、面面垂直的判定和性質是迅速解題的關鍵。

考向2:空間角

從近幾年高考全國Ⅰ卷理科命題趨勢來看，立體幾何解答題第一問通常考查線線、線面、面面關系，第二問通常考查空間角，即異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角。

例2如圖2，四邊形ABCD 為菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直線AE 與直線CF 所成角的余弦值。

圖2

解析：（1）如圖3，連接BD，交AC 于G，連接GE，GF。在菱形ABCD 中，有AC⊥BD。不妨設GB=1，又∠ABC=120°，可得AG。又AE ⊥EC，所以

圖3

因為BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，因為AC⊥BG，BE∩BG=B，所以AC⊥平面BEG，所以AC ⊥GE。同理可證AC ⊥GF，所以∠EGF 是二面角E-AC-F 的平面角。在直角梯形FDBE 中，EF2=BD2+所以GE⊥GF。所以二面角E-AC-F 的平面角為90°，故平面AEC⊥平面AFC。

圖4

易錯點分析：證明面面垂直可轉化為二面角E-AC-F 的平面角為直角或者是兩個平面的法向量互相垂直。本題易出錯的原因：一是利用傳統方法，找不到二面角的平面角；二是利用向量法，不能建立合適的空間直角坐標系；三是忽略兩條直線的夾角的取值范圍是

小結：掌握求二面角大小傳統方法的關鍵是作出二面角的平面角，然后構造三角形求解，即“一作二證三求”。向量法需利用空間直角坐標系，求兩個平面的法向量的夾角，再判斷其與二面角的平面角的關系。求空間線線角的傳統方法是將相關的線進行適當的平移轉化到同一個三角形中求解，關鍵在于平移空間的直線。向量法需利用空間直角坐標系，求兩直線的方向向量的夾角，再判斷其與直線夾角的關系。

考向3：空間距離的向量求法

例3如圖5，四棱錐F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其對角線AC=2，BD =，AE，CF 都與平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。求點E 到平面ABF的距離。

圖5

解析：以A 為坐標原點，的方向分別為y 軸，z 軸的正方向，建立如圖6所示的空間直角坐標系A-xyz，則F（0，2，2）。

圖6

小結：求點面距離的傳統方法是構造直角三角形求解，其關鍵又是面的垂線問題。對于圖形中含有垂直關系的點面距離問題，可通過建立空間直角坐標系，利用點到面的距離公式求解。還可以用“等體積法”求出點到面的距離。

考向4:平面圖形折成立體圖形，立體圖形展開成平面圖形

例4正△ABC 的邊長為a，將它沿平行于BC 的線段PQ 折起（其中P 在AB邊上，Q 在AC 邊上），使平面APQ ⊥平面BPQC。若折疊后，A，B 兩點間的距離為d，求d 的最小值。

解析：如圖7，作AD ⊥PQ 于D，則D 為PQ 的中點。因為平面APQ ⊥平面BPQC，則 AD ⊥ 平面PBCQ。連接BD，則d2=AD2+BD2。設AD=x，則（E 為BC 的中點），于是因此

圖7

易錯點分析：該題考查同學們的作圖能力，解題的關鍵是能根據折疊前后的位置關系與數量關系，列出AB 的表達式。希望同學們能在平時的學習中多加訓練自己的空間想象能力和運算求解能力。

小結：解決此類折疊問題，需要明確哪些量變了，哪些量不變，然后根據題目中相關的數量關系，列出表達式，同時利用函數的性質，求出最值。所以當