創(chuàng)新視角下的立體幾何最值問題

■江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 包東妹

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊之一，歷年來的全國高考卷在解答題中必考查一道立幾題，常規(guī)的考查方式是第一問考查平行或垂直的證明，多為用綜合法直接證明，第二問求線線角、線面角或面面角，可以通過建系用空間向量求解，也可以用綜合法求解，屬中檔題。2020 年的全國新高考卷（供山東、海南等地使用）考查了立體幾何中的最值問題，體現(xiàn)了立體幾何命題的一個(gè)趨向，值得重視。本文對(duì)立體幾何中這類求最值問題的創(chuàng)新題進(jìn)行解析，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何備考提供一個(gè)參考。

創(chuàng)新1:知識(shí)交匯處的立幾最值問題，注重綜合所以AD∥平面PBC。

又因?yàn)锳D ?平面PAD，平面PAD ∩平面PBC=l，所以AD∥l。

在四棱錐P-ABCD 中，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC。

因?yàn)镻D ⊥平面ABCD，所以AD ⊥PD，所以l⊥PD。

因?yàn)镃D∩PD=D，所以l⊥平面PDC。

在函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何等章節(jié)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大、最小值的計(jì)算問題，我們最常用的方法就是建立目標(biāo)函數(shù)，利用圖像、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、不等式等工具進(jìn)行求解。而立體幾何中“點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)常常使得角的大小、距離的長短等出現(xiàn)“不確定性”，從而產(chǎn)生了最值問題，考點(diǎn)出現(xiàn)在幾何和代數(shù)的交匯處，提示我們要注重知識(shí)間的綜合和相互轉(zhuǎn)化，化空間為平面，搭建溝通幾何與代數(shù)的橋梁。

例1（2020 年 新 高考全國Ⅰ卷）如圖1，四棱錐P-ABCD 的底面為正方形，PD ⊥底面ABCD。設(shè)平面PAD 與平面PBC的交線為l。

（1）證明：l ⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q 為l上的點(diǎn)，求PB 與平面QCD 所成角的正弦值的最大值。

解析：（1）在正方形ABCD 中，AD∥BC。

圖1

（2）如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。

因?yàn)镻D=AD=1，所 以D （0，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0）。

圖2

設(shè)直線PB 與平面QCD 所成角為θ，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB 與平面QCD 所成角的正弦值當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，也可以對(duì)根號(hào)下的部分構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值，這是將幾何與代數(shù)進(jìn)行融合的一類題型，求解策略是建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)思想或不等式的方法求解。

創(chuàng)新2:數(shù)學(xué)文化背景下的立幾最值問題，注重情境

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及數(shù)學(xué)的概念和思想方法在形成和發(fā)展中所體現(xiàn)的文化特征與文化價(jià)值。教育部考試中心下發(fā)《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，增加了數(shù)學(xué)文化的要求，明確提出在高考數(shù)學(xué)考題中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。近幾年的全國高考命題及各地模擬卷，在這方面做了一些積極的探索，出現(xiàn)了一些經(jīng)典試題。歸納發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化主要考查我國古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果和數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，通過命題滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)理性精神，提高人文素養(yǎng)，傳承民族精神，樹立同學(xué)們的民族自信心和自豪感。

例2（2020 年山東青島模擬）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑。如圖3，在塹堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC。

（1） 求證： 四棱錐B-A1ACC1為陽馬；

（2）若C1C=BC=2，當(dāng)鱉臑C1-ABC 的體積最大時(shí)，求銳二面角C-A1B-C1的余弦值。

解析：（1）因?yàn)锳1A⊥底面ABC，AB?面ABC，所以A1A⊥AB。

圖3

又AB⊥AC，A1A∩AC=A，所以AB⊥面ACC1A1。

又四邊形ACC1A1為矩形，所以四棱錐B-A1ACC1為陽馬。

（2）因?yàn)锳B⊥AC，BC=2，所以AB2+AC2=4。

又因?yàn)锳1A⊥底面ABC，所以VC1-ABC=當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=時(shí)，VC1-ABC取得最大值

因?yàn)锳B⊥AC，A1A⊥底面ABC，所以以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線為x 軸，y軸，z 軸，建立如圖4 所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。

圖4

設(shè)平面A1BC 的一個(gè)法向量為n1=（x1，y1，z1），由

令z1=1，得所以平面A1BC的一個(gè)法向量為

設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為n2=（x2，y2，z2），同理可得

點(diǎn)評(píng)：本題以中國古代發(fā)明和創(chuàng)造為素材，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和原理編擬試題，體現(xiàn)古代勞動(dòng)人民的智慧和成果。突破此類試題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解文化背景中的塹堵、陽馬、鱉臑其實(shí)是長方體的一部分或可以由它變形得到，從而進(jìn)一步抽象出空間位置關(guān)系。涉及體積的最值位置的尋找倒是不困難，利用不等式可以迅速找到，從而第（2）問是在“靜態(tài)”下求解角的大小，屬于常規(guī)問題。

創(chuàng)新3:動(dòng)態(tài)生成下的立幾最值問題，注重聯(lián)系

除了“點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生“不確定性”，圖形的翻折、拼接、旋轉(zhuǎn)等也會(huì)改變空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，從而形成動(dòng)態(tài)生成下的立體幾何最值問題，解決此類問題，需要關(guān)注運(yùn)動(dòng)前和運(yùn)動(dòng)后的變量和不變量，注重前后聯(lián)系。

例3（2020年山東德州模擬）如圖5，在邊長為2的正方形ABEF 中，D，C 分別為EF，AF 上的點(diǎn)，且ED=CF，現(xiàn)沿DC 把△CDF 剪切，拼接成如圖6 所示的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD 沿BC，CD，BD折起，使E，F(xiàn)，A 三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，如圖7。

圖5

圖6

（1）求證：BA′⊥CD；

（2） 求二面角B-CD-A′最小時(shí)的余弦值。

解析：（1）折疊前BE⊥EC，BA ⊥AD，折疊后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，又A′C∩A′D=A′，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥CD。

圖7

（2）由（1）及題意知A′C⊥A′D，因此以A′為原點(diǎn)，A′C，A′D，A′B所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8所示。

令A(yù)′C=a，A′D=b，則a+b=2，C（a，0，0），D（0，b，0），B（0，0，2）。

圖8

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)由平面到空間的翻折、拼接問題，求解此題的關(guān)鍵有三個(gè)：①注意折疊前后的變量和不變量。這里折疊前后的三個(gè)直角是不變的，得到空間中的三個(gè)線線垂直關(guān)系，為第二問建立空間直角坐標(biāo)系埋下伏筆；變化的是翻折前ED 的長度，導(dǎo)致了拼接后A′C，A′D 的不確定，而A′C 和A′D 的和又是不變的。②注意拼接的順序。這里將△CDF 中C 和D 的順序進(jìn)行了交換。③利用不等式求最值是一個(gè)難點(diǎn)。用好a+b=2這個(gè)條件，將4 代換成（a+b）2是構(gòu)造出一次倒數(shù)型的關(guān)鍵。總而言之，要順利求解此類問題，必須要關(guān)注翻折前后的聯(lián)系，關(guān)注交叉知識(shí)之間的聯(lián)系。

立體幾何是高考高頻考點(diǎn)，通過問題的解決，可以提升同學(xué)們的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng)。而立體幾何的最值問題，又將幾何和代數(shù)糅合在一起，考查同學(xué)們將幾何問題代數(shù)化的能力，遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)文化情境或翻折、拼接等動(dòng)態(tài)生成的最值問題，要耐心審題，大膽轉(zhuǎn)化，細(xì)心求解。