創新視角下的立體幾何最值問題

■江蘇省錫山高級中學 包東妹

立體幾何是高中數學的重要知識模塊之一，歷年來的全國高考卷在解答題中必考查一道立幾題，常規的考查方式是第一問考查平行或垂直的證明，多為用綜合法直接證明，第二問求線線角、線面角或面面角，可以通過建系用空間向量求解，也可以用綜合法求解，屬中檔題。2020 年的全國新高考卷（供山東、海南等地使用）考查了立體幾何中的最值問題，體現了立體幾何命題的一個趨向，值得重視。本文對立體幾何中這類求最值問題的創新題進行解析，為2021屆高三數學立體幾何備考提供一個參考。

創新1:知識交匯處的立幾最值問題，注重綜合所以AD∥平面PBC。

又因為AD ?平面PAD，平面PAD ∩平面PBC=l，所以AD∥l。

在四棱錐P-ABCD 中，因為底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC。

因為PD ⊥平面ABCD，所以AD ⊥PD，所以l⊥PD。

因為CD∩PD=D，所以l⊥平面PDC。

在函數、三角、數列、解析幾何等章節中，經常會遇到求最大、最小值的計算問題，我們最常用的方法就是建立目標函數，利用圖像、單調性、導數、不等式等工具進行求解。而立體幾何中“點”的運動常常使得角的大小、距離的長短等出現“不確定性”，從而產生了最值問題，考點出現在幾何和代數的交匯處，提示我們要注重知識間的綜合和相互轉化，化空間為平面，搭建溝通幾何與代數的橋梁。

例1（2020 年 新 高考全國Ⅰ卷）如圖1，四棱錐P-ABCD 的底面為正方形，PD ⊥底面ABCD。設平面PAD 與平面PBC的交線為l。

（1）證明：l ⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q 為l上的點，求PB 與平面QCD 所成角的正弦值的最大值。

解析：（1）在正方形ABCD 中，AD∥BC。

圖1

（2）如圖2，建立空間直角坐標系D-xyz。

因為PD=AD=1，所 以D （0，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0）。

圖2

設直線PB 與平面QCD 所成角為θ，根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB 與平面QCD 所成角的正弦值當且僅當m=1時取等號。

點評：本題涉及的知識點有線面平行的判定和性質，線面垂直的判定和性質，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，也可以對根號下的部分構造函數求導求最值，這是將幾何與代數進行融合的一類題型，求解策略是建立目標函數，利用函數思想或不等式的方法求解。

創新2:數學文化背景下的立幾最值問題，注重情境

數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及數學的概念和思想方法在形成和發展中所體現的文化特征與文化價值。教育部考試中心下發《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》，增加了數學文化的要求，明確提出在高考數學考題中要體現數學文化。近幾年的全國高考命題及各地模擬卷，在這方面做了一些積極的探索，出現了一些經典試題。歸納發現，數學文化主要考查我國古代優秀數學成果和數學史的內容，通過命題滲透數學史、數學美和數學理性精神，提高人文素養，傳承民族精神，樹立同學們的民族自信心和自豪感。

例2（2020 年山東青島模擬）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑。如圖3，在塹堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC。

（1） 求證： 四棱錐B-A1ACC1為陽馬；

（2）若C1C=BC=2，當鱉臑C1-ABC 的體積最大時，求銳二面角C-A1B-C1的余弦值。

解析：（1）因為A1A⊥底面ABC，AB?面ABC，所以A1A⊥AB。

圖3

又AB⊥AC，A1A∩AC=A，所以AB⊥面ACC1A1。

又四邊形ACC1A1為矩形，所以四棱錐B-A1ACC1為陽馬。

（2）因為AB⊥AC，BC=2，所以AB2+AC2=4。

又因為A1A⊥底面ABC，所以VC1-ABC=當且僅當AB=AC=時，VC1-ABC取得最大值

因為AB⊥AC，A1A⊥底面ABC，所以以A 為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線為x 軸，y軸，z 軸，建立如圖4 所示的空間直角坐標系A-xyz。

圖4

設平面A1BC 的一個法向量為n1=（x1，y1，z1），由

令z1=1，得所以平面A1BC的一個法向量為

設平面A1BC1的一個法向量為n2=（x2，y2，z2），同理可得

點評：本題以中國古代發明和創造為素材，結合數學知識和原理編擬試題，體現古代勞動人民的智慧和成果。突破此類試題的關鍵是讀懂題意，理解文化背景中的塹堵、陽馬、鱉臑其實是長方體的一部分或可以由它變形得到，從而進一步抽象出空間位置關系。涉及體積的最值位置的尋找倒是不困難，利用不等式可以迅速找到，從而第（2）問是在“靜態”下求解角的大小，屬于常規問題。

創新3:動態生成下的立幾最值問題，注重聯系

除了“點”的運動會產生“不確定性”，圖形的翻折、拼接、旋轉等也會改變空間點、線、面的位置關系，從而形成動態生成下的立體幾何最值問題，解決此類問題，需要關注運動前和運動后的變量和不變量，注重前后聯系。

例3（2020年山東德州模擬）如圖5，在邊長為2的正方形ABEF 中，D，C 分別為EF，AF 上的點，且ED=CF，現沿DC 把△CDF 剪切，拼接成如圖6 所示的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD 沿BC，CD，BD折起，使E，F，A 三點重合于點A′，如圖7。

圖5

圖6

（1）求證：BA′⊥CD；

（2） 求二面角B-CD-A′最小時的余弦值。

解析：（1）折疊前BE⊥EC，BA ⊥AD，折疊后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，又A′C∩A′D=A′，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥CD。

圖7

（2）由（1）及題意知A′C⊥A′D，因此以A′為原點，A′C，A′D，A′B所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系，如圖8所示。

令A′C=a，A′D=b，則a+b=2，C（a，0，0），D（0，b，0），B（0，0，2）。

圖8

點評：此題是一個由平面到空間的翻折、拼接問題，求解此題的關鍵有三個：①注意折疊前后的變量和不變量。這里折疊前后的三個直角是不變的，得到空間中的三個線線垂直關系，為第二問建立空間直角坐標系埋下伏筆；變化的是翻折前ED 的長度，導致了拼接后A′C，A′D 的不確定，而A′C 和A′D 的和又是不變的。②注意拼接的順序。這里將△CDF 中C 和D 的順序進行了交換。③利用不等式求最值是一個難點。用好a+b=2這個條件，將4 代換成（a+b）2是構造出一次倒數型的關鍵。總而言之，要順利求解此類問題，必須要關注翻折前后的聯系，關注交叉知識之間的聯系。

立體幾何是高考高頻考點，通過問題的解決，可以提升同學們的直觀想象、數學抽象和邏輯推理等素養。而立體幾何的最值問題，又將幾何和代數糅合在一起，考查同學們將幾何問題代數化的能力，遇到復雜的數學文化情境或翻折、拼接等動態生成的最值問題，要耐心審題，大膽轉化，細心求解。