創新引領，聚焦二面角的求法

■江蘇省錫山高級中學 戴靜君

近幾年高考的一個變化趨勢，從知識立意到能力立意，再到如今的素養立意，對同學們的素質要求日益提升。比如，以前立體幾何部分求二面角的大小是一個常見考點，考查的側重點是通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角與二面角的平面角之間的關系來求解，稱為向量法。向量法思維要求較低，但對運算素養要求較高。新高考則更關注考查同學們的邏輯思維能力和邏輯推理能力，對二面角的求法提出了新的要求，即會用幾何法求二面角的大小，突出了對同學們思維的靈活性和策略選擇的要求。在此新的背景下，本文通過對幾個例題的解析，提供多維度探究二面角的幾種求法，為2021屆高三數學立體幾何復習備考提供一個參考。

一、幾何法

幾何法一般要求添加一些輔助線，對同學們的邏輯推理能力和空間想象能力要求較高，它的優點是運算相對簡單，一旦找到二面角的平面角，往往能迅速且準確地得到結果，從而贏得時間。

1.定義法

例1（2020年全國Ⅲ卷理）如圖1，在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分別在棱DD1，BB1上，且2DE =ED1，BF =2FB1。

（1）證明：點C1在平面AEF 內；

（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值。

解析：（1）只需證四邊形AFC1E 為平行四邊形即可。過程略。

（2）如圖2，取EF 的中點為N，連接A1N。過N 作AE 的平行線交AF 于點P，連接A1P。

圖1

在長方體 ABCDA1B1C1D1中，AD ⊥平面CDD1C1， DE ? 平面CDD1C1，所以AD ⊥DE，故。同理求得，AF=，A1E=A1F=。

在直角梯形B1D1EF中，得EF =。

圖2

在△AEF 中，AF2=8=AE2+EF2，所以AE⊥EF。

又AE∥NP，所以NP⊥FE。

因為N 是EF 的中點，A1E=A1F，所以A1N ⊥EF，所以 ∠PNA1是二面角A-EF-A1的平面角。

在等腰三角形 A1EF 中，A1N =

在△AA1F 中，cos∠A1AF=cos45°=得A1P2=5。

在△A1NP 中，利用余弦定理可得

所以二面角A-EF-A1的正弦值為

點評：上述解答過程直接利用垂直關系和等腰三角形A1EF 找到二面角的棱的垂線，通過平移和二面角平面角的定義直接找到二面角的平面角，然后解三角形即可。在此過程中一般要添加輔助線，注意圖形中能產生垂直關系的條件，當線段長度關系較多時，試著用勻股定理的逆定理等進行解答。

2.垂線法

例2（2020年山東濰坊模擬）如圖3，在四棱錐P-ABCD 中，AB=3，AP =，AD∥BC，AD ⊥平面PAB，∠APB=90°，點E 滿足

圖3

（1）證明：PE⊥DC。

（2）求二面角A-PDE 的余弦值。

解析：（1）因為AD ⊥平面PAB，且PE?平面PAB，所以AD⊥PE。

因為CD?平面ABCD，所以CD⊥PE。

（2）如圖4，過E 作EF⊥AP 于F，EM ⊥PD 于M，連接FM。

圖4

因 為 AD ⊥ 平 面PAB，且EF?平面PAB，所以AD⊥EF。又EF⊥AP，所以EF⊥平面PAD。

因為PD?平面PAD，所以PD⊥EF，所以PD⊥平面EFM。

因為FM ?平面EFM，所以PD⊥FM。

所以∠EMF 是二面角A-PD-E 的平面角。

點評：上述解答過程推廣到一般，就是在二面角的一個面內找一點P，過點P 找或作另一個面的垂線PH，再過點P 作棱的垂線PM，連接MH，則可證∠PMH 就是二面角的平面角。這種解法的關鍵是找或作平面的垂線。若條件中出現面面垂直，常利用此條件轉化為線面垂直。有時線面垂直時垂足位置不好找，可以不管其具體位置，先作出二面角的平面角，然后利用體積轉化法求出高即可求出二面角的平面角。

3.射影面積法

例3（2020年武漢模擬）如圖5所示，多面體是由以四邊形ABCD 為底面的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中AB=2，CF=5，BE=1，∠BAD=60°。

（1）求BG 的長；

（2）求平面AEFG 與底面ABCD 所 成銳二面角的余弦值。

解析：（1）BG 的長為。過程略。

圖5

（2）因為多面體是由以四邊形ABCD 為底面的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到，所以GD ⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，則四邊形AEFG 在平面ABCD 上的射影就是四邊形ABCD，由直四棱柱被 截面AEFG 所截，平面AEB ∥平面CDGF，又平面AEB∩平面AEFG=AE，平面CDGF∩平面AEFG=GF，所以AE∥GF。

點評：當一個封閉圖形在另一個面上的射影易找時，可以直接利用射影面積公式求二面角的平面角的大小。特別地，當題中要求的二面角是無棱二面角時，有時棱很難找出，這時用此法顯得尤為簡單。

二、向量法

利用向量方法研究問題的途徑主要是坐標思想和基底思想，當給出圖形易于建系時，我們常常可以考慮用坐標法來求，但有時給出圖形不便建系時還可以用基底思想求解。這種方法更側重于代數運算，考查了運算基本素養。

例4（2020年山東淄博模擬）如圖6，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD 為等腰梯形，AB ∥CD，CDM，N 分別是棱AB，B1C1的中點。

圖6

（1）證明：直線MN∥平面ACC1A1；

（2）若D1C⊥平面ABCD，且求經過點A1，M，N 的平面A1MN 與平面ACC1A1所成二面角的正弦值。

解析：（1）證明略。

（2）連接CM，由已知得，MB=BC=CM，故△MBC 為等邊三角形，所以∠ABC=60°，∠BAC=30°，所 以∠ACB=90°，即BC ⊥AC，所 以

據已知可以建立如圖7 所示的空間直角坐標系C-xyz。

圖7

點評：上述解題過程首先要找到兩兩垂直的三條直線建立適當的坐標系，一般讓圖形中盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于寫出點的坐標，減少無謂的失誤。一般情況下，當條件給出的圖形有明顯的線面垂直關系，或給出面面垂直的條件可以轉化為線面垂直時，往往可以直接建立坐標系，利用坐標法求解。

二面角的平面角解法的多樣性能充分考查同學們的綜合解題能力。近年來的高考試題，寓基礎性、綜合性、應用性、探索性、靈活性于一體，需要我們在知識與方法的整合中全方位地提升基本數學素養，理性地思考，智慧地做題。