空間向量應(yīng)用的誤區(qū)提醒

■山東省單縣第一中學(xué) 王慶敏

空間向量是解答立體幾何問題的有力工具，問題求解的過程是通過建立空間直角坐標(biāo)系，引入點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出相關(guān)向量，將距離、平行、垂直、夾角問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的向量關(guān)系問題。但同學(xué)們?cè)趹?yīng)用空間向量解題時(shí)，常會(huì)由于建系不合理、混淆有關(guān)概念、過程不規(guī)范等原因，造成錯(cuò)誤。本文總結(jié)了幾類典型的易錯(cuò)點(diǎn)，給予提醒。

一、建系不合理或盲目建系

建立空間直角坐標(biāo)系是應(yīng)用空間向量解題的“起點(diǎn)”，通過恰當(dāng)建系、準(zhǔn)確求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出相應(yīng)向量，進(jìn)而利用向量的關(guān)系求解空間幾何問題。但要注意的是解題時(shí)要避免盲目建系，小題大做（證明平行、垂直一般不需要建系；求解距離時(shí)很少建系；在易作平行線求異面直線所成的角、易作平面的垂線求線面角、易作交線的垂線求二面角時(shí)可不用建系）。

例1（吉林長春2020屆高三質(zhì)量監(jiān)測（三））如圖1所示，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 為直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC=CD=1，AD=2，PA=PD，E 為PC 的中點(diǎn)，平面PAD ⊥平面ABCD，F(xiàn) 為AD 上一點(diǎn)，PA∥平面BEF。

（1）求證：平面BEF⊥平面PAD；

（2）若PC 與底面ABCD 所成的角為60°，求二面角E-BF-A 的余弦值。

解析：（1）如圖1，連接AC 交BF 于G，連接EG，因?yàn)镻A∥平面BEF，PA ?平面PAC，平面PAC∩平面BEF=EG，所以PA∥EG。

又E 為PC 的中點(diǎn)，所以G 為AC 的中點(diǎn)，由△AFG≌△CBG，可得AF=BC=1=，所以F 為AD 的中點(diǎn)。

圖1

因?yàn)锽C∥FD，且BC=FD，所以四邊形DCBF 為平行四邊形。

因?yàn)锳D⊥DC，所以BF⊥AD。

又BF?平面ABCD，已知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD =AD，故BF⊥平面PAD。

又BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD。

（2）連接PF，因?yàn)镻A=PD，F(xiàn) 為AD的中點(diǎn)，所以PF⊥AD。

又PF?平面PAD，平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PF⊥底面ABCD。

又BF⊥AD，所以以F 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)P 所在直線為x 軸，y 軸，z軸，建立如圖2 所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz。

設(shè)P（0，0，t），C（-1，1，0），取平面ABCD 的法向量為n1=（0，0，1）。

圖2

設(shè)平面EBF 的法向量為n2=（x，y，z），則

誤區(qū)提示：恰當(dāng)建立坐標(biāo)系是使計(jì)算簡捷的有力保障，如果建系不合理，會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)的坐標(biāo)無法求出或不易求得，向量無法表示，進(jìn)而使計(jì)算過程較為煩瑣，甚至可能出現(xiàn)無法計(jì)算出結(jié)果的情況。解答本題時(shí)，同學(xué)們的建系方式五花八門，有一部分同學(xué)把點(diǎn)B 或D 視為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)致某些點(diǎn)的坐標(biāo)不易求解，陷入解題誤區(qū)。

二、過程不嚴(yán)謹(jǐn)

建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要選擇兩兩垂直的三條直線為坐標(biāo)軸，但這種垂直關(guān)系往往不會(huì)直接給出，而是需要先證明后再應(yīng)用。

例2（2020 年 江 蘇徐州高三月考）如圖3，在四棱錐E-ABCD 中，底面ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE =，EC⊥BD。

圖3

（1）求證：平面BED⊥平面ABCD；

（2）若點(diǎn)P 在平面ABE 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且DP∥平面BEC，求直線DP 與平面ABE 所成角的正弦值的最大值。

解析：（1）如圖3，連接AC，交BD 于點(diǎn)O，連接EO。

因?yàn)锳D=AB，CD=CB，AC=AC，所以△ADC≌△ABC，易得△ADO≌△ABO，所以∠AOD=∠AOB=90°，所以AC⊥BD。

又EC⊥BD，EC∩AC=C，所以BD⊥平面AEC。

又EO?平面AEC，所以O(shè)E⊥BD。

又底面ABCD 是圓內(nèi)接四邊形，所以∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ADC 中，由AD =，CD=1，可得所以易得△AEO∽△ACE，所以∠AOE=∠AEC=90°，即EO⊥AC。

又AC，BD ?平面ABCD，AC∩BD=O，所以EO⊥平面ABCD。

又EO?平面BED，所以平面BED⊥平面ABCD。

（2）如圖4，取AE 的中點(diǎn)為M，AB 的中點(diǎn)為N，連接MN，ND，DM，則MN∥BE。

由（1）知∠DAC=∠BAC=30°，即∠DAB=60°，所以△ABD 為正三角形，所以DN⊥AB。

又BC⊥AB，所以DN ∥BC，所以平面DMN∥平面EBC，所以點(diǎn)P 在線段MN 上。

以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

圖4

誤區(qū)提示：空間直角坐標(biāo)系的建立要充分利用題目中直接或間接給出的線線垂直關(guān)系，本題中給出了矩形、等腰三角形，因此可利用相關(guān)圖形的性質(zhì)得到線線垂直關(guān)系。類似地，若題目條件中含有菱形，則可利用其對(duì)角線互相垂直得到線線垂直關(guān)系。但要注意，在問題的求解中利用這些關(guān)系建立坐標(biāo)系時(shí)，要給出必要的說明。

三、忽視線面角與向量角的關(guān)系

線面角是直線與其在平面內(nèi)的投影的夾角，而利用空間向量求線面角時(shí)，通常求出的是直線的方向向量與平面法向量的夾角，要注意二者的關(guān)系。

例3（2020年貴州遵義高三期中（理））如圖5，正方形AMDE 的邊長 為2，B，C 分別為邊AM，MD 的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE 中，F(xiàn) 為 棱PE 的中點(diǎn)，平面ABF 與棱PD，PC 分別交于點(diǎn)G，H。

（1）求證：AB∥FG；

（2）若PA ⊥底 面ABCDE，且PA=AE，求直線BC 與平面ABF 所成角的大小。

解析：（1）在正方形AMDE 中，因?yàn)锽是AM 的中點(diǎn)，所以AB∥DE。

圖5

（2）因?yàn)镻A ⊥底 面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE，如圖6，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則 A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，1）=（1，1，0）。

圖6

誤區(qū)提示：線面角與直線的方向向量和平面法向量的夾角（銳角）是互余的關(guān)系，部分同學(xué)在求解此類問題時(shí)，因忽略這種關(guān)系會(huì)將線面角的求解公式記為cosθ=正確的線面角求解公式是其中l(wèi)，n 分別表示直線的方向向量和平面的法向量。

解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：①要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決? 需要用到哪些向量?②所需要的向量是否已知? 若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示? ③所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示? 這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系? ④怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論? 從立體幾何解答題的答題情況看，同學(xué)們出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象嚴(yán)重（解題中論述不嚴(yán)格，條理不清，缺條件，因果關(guān)系不成立等）。在平時(shí)的訓(xùn)練中，要注重思維的條理性和表達(dá)的規(guī)范性，做到分析問題有理有據(jù)，表達(dá)論證合規(guī)合矩。在立體幾何解答題的作答中，防止出現(xiàn)“跳”（步），“離”（圖形與書寫相脫離），“省”（省略關(guān)鍵步驟）等現(xiàn)象。乍一看，結(jié)果（論）正確，似乎沒有問題，但經(jīng)不起仔細(xì)推敲。在平時(shí)訓(xùn)練中，要做到：符號(hào)語言要規(guī)范，表達(dá)要嚴(yán)謹(jǐn)（建系的說明）。分分必爭！ 對(duì)照歷年高考閱卷的評(píng)分細(xì)則和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格做到解題步驟書寫規(guī)范，踩點(diǎn)得分，分步得分。要實(shí)現(xiàn)：想得清楚，說得明白，寫得干凈。