二面角問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)透視

■安徽省太和中學(xué) 姜翠翠

本文通過(guò)對(duì)立體幾何中有關(guān)二面角問(wèn)題常見(jiàn)的易錯(cuò)題進(jìn)行歸納總結(jié)，結(jié)合近幾年全國(guó)卷中立體幾何類(lèi)題目的考向，幫助同學(xué)們糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，提高正確解題能力。

一、不會(huì)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系

例1（2020 年高考全國(guó)Ⅰ卷理）如圖1，D 為圓錐的頂點(diǎn)，O 是圓錐底面圓的圓心，AE 為底面圓的直徑，AE =AD。△ABC 是底面的內(nèi)接正三角形，P 為DO 上一點(diǎn)，PO

圖1

（1）證明：PA⊥平面PBC；

（2）求二面角B-PC-E 的余弦值。

解析：（1）設(shè)DO=a，由題設(shè)可得PO=因 此PA2+PB2=AB2，從 而PA ⊥PB。

又PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC。所以PA⊥平面PBC。

圖2

易錯(cuò)點(diǎn)分析：本題出錯(cuò)的原因主要有兩個(gè)：一是不能合適地建系；二是C 點(diǎn)的坐標(biāo)不會(huì)求或求錯(cuò)。題中未給出具體長(zhǎng)度，需要指定單位長(zhǎng)度。

小結(jié)：求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，然后構(gòu)造三角形求解，即“一作二證三求”。向量法需利用空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面法向量的夾角，再判斷其與二面角平面角的關(guān)系。一般地，若設(shè)n，m 分別是平面α 與平面β 的法向量，則平面α 與平面β 所成的二面角θ 滿(mǎn)足（當(dāng)二面角為銳角或直角時(shí)）或cosθ=（當(dāng)二面角為鈍角時(shí)），其中銳角或鈍角需根據(jù)圖形確定。

二、二面角的正弦值和法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系模糊不清

圖3

例2（2020年高考天津卷）如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E 分別在棱AA1和CC1上，AD=1，CE=2，M 為 棱A1B1的中點(diǎn)。

在外邊飛著滿(mǎn)天的大雪，我和翠姨坐著馬車(chē)去買(mǎi)絨繩鞋。我們身上圍著皮褥子，趕車(chē)的車(chē)夫高高地坐在車(chē)夫臺(tái)上，搖晃著身子唱著沙啞的山歌：“喝咧咧……”耳邊的風(fēng)嗚嗚地嘯著，從天上傾下來(lái)的大雪迷亂了我們的眼睛，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的天隱在云霧里，我默默地祝福翠姨快快買(mǎi)到可愛(ài)的絨繩鞋，我從心里愿意她得救……

（1）求證：C1M ⊥B1D；

（2）求二面角B-B1E-D 的正弦值。

解析：依題意，以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立 如 圖4所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3）。

圖4

三、不能作出二面角的平面角

例 3（2020 年六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高三（理））如圖5，在四棱錐P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，AD ∥BC，AD ⊥CD，且AD =

圖5

（1）求證：AB⊥PC。

（2）在線段PD 上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M-AC-D 的大小為45°? 如果存在，求BM 與平面MAC 所成角的正弦值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：（1）由已知得四邊形ABCD 是直角梯形。

又PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC。

（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M。

如圖6，過(guò)點(diǎn)M 作MN ⊥AD 于N，則MN∥PA，所以MN ⊥平面ABCD，所以MN⊥AC。

過(guò)點(diǎn)M 作MG ⊥ AC 于G，連接NG，則AC⊥平面MNG，所以AC⊥NG，即∠MGN 是二面角M-AC-D的平面角。

圖6

易錯(cuò)點(diǎn)分析：本題出錯(cuò)的原因主要是不能準(zhǔn)確作出二面角的平面角，依賴(lài)向量法解決二面角問(wèn)題。

小結(jié)：本題屬于探究性問(wèn)題，已知二面角的大小，可先通過(guò)作輔助線，由線面垂直的性質(zhì)定理找出二面角的平面角。也可以結(jié)合圖形中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出M 點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量夾角公式與二面角的余弦值建立等式關(guān)系求解。