重視立體幾何綜合解法 培養學生直觀想象素養

【摘 要】本文分析近年高考立體幾何的考查情況，以2020年高考數學立體幾何大題為例，闡述利用綜合法解立體幾何空間角問題的過程，以培養學生直觀想象素養及推理論證能力，從而提升學生的數學核心素養，提高學生的思維能力。

【關鍵詞】立體幾何 綜合法 學科素養 直觀想象 推理能力

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）38-0129-04

近五年來，高考數學立體幾何在全國卷的考查基本是一大題兩小題，大題的位置基本上為第18或19題，屬于中等偏易的題目。考查內容文理科略有不同，文理科第（1）問通常是相同的，主要是證明“線與線”或“線與面”或“面與面”的位置關系。第（2）問通常文理考查知識點不同，文科主要是求距離、面積或體積，理科基本是求二面角或線面角。在2020年13套高考數學試卷中，除了全國文科一、二、三卷沒有考查空間幾何，其他的都考，其中，全國理科一、三卷考查二面角，全國理科二卷、新高考一卷和二卷、北京卷、浙江卷考查線面角，天津卷考查二面角和線面角，江蘇卷考查線線角和二面角。高中教材引入了空間向量后，立體幾何的常用解法通常有綜合法和向量法兩種。兩種方法特點明顯，向量法模式化，關鍵是算;綜合法重思維，關鍵是想。高中教材剛引入空間向量時，對空間角問題，大多數教師還是比較重視這兩種解法的講解對比，但是隨著時間的推移，師生的眼中都只有向量法了。以前全國普通高考數學參考答案，立體幾何第（2）問空間角問題的解法通常給出綜合法和向量法兩種解法，但現在也只提供向量法，不再提供綜合法了，綜合法已經被嚴重弱化了。

一、立體幾何主要考查素養分析

立體幾何考查的數學核心素養主要有數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算。向量法涉及的主要素養是數學運算，綜合法涉及的主要素養是直觀想象和邏輯推理，尤其直觀想象、空間想象能力，是綜合法解立體幾何必備的素養和能力。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形態與變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。

強調向量法的作用是立體幾何改革的基本方向。但近年來因高考的導向，加之向量法模式化，思維量少，以固化的計算為主，在立體幾何的解題教學中，教師更注重空間向量的解法，而忽略了綜合法的教學，導致學生看到立體幾何空間角問題時，產生了思維定式，直接用向量法，再也不想用綜合法作答，這直接弱化了學生空間想象能力的培養，不利于學生直觀想象素養的發展。

二、探索綜合法對直觀想象素養的培養

作為教研人員，筆者非常關注學科核心素養在教學中的培養問題，試圖利用立體幾何綜合法解二面角和線面角，培養學生直觀想象素養。下面主要以2020年立體幾何空間角的考查為例，闡述利用立體幾何綜合法解題培養學生直觀想象的方法。

（一）關注垂直關系，從概念想象作出空間角

求二面角或線面角的主要的思維方法是降維，將空間角轉化為平面角。如何根據二面角、線面角的概念，找到垂直關系是關鍵。利用綜合法尋找垂直關系，從而找出二面角、線面角的平面角是求解空間角的常用方法。

【例1】（2020年全國高考理科三卷19題）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1。

（1）證明：點C1在平面AEF內;

（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值。

〖思路探索〗（2）由長方體的相關性質及已知線段可計算出各線段的長，由勾股定理可得∠AEF為直角，且A1E=A1F，取EF中點G，將AE平移到GH，則∠A1GH為二面角A-EF-A1的平面角，解△A1GH可得。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）由已知可得A1E=A1F=[5]，AE=[2] ，AF=2[2]，EF=[6]。

因為AF2=EF2+AE2，所以∠AEF=90°。

取EF中點G，連接A1G，則A1G⊥EF。

過G作GH∥AE交于H，則HG⊥EF，

所以∠A1GH為二面角A-EF-A1的平面角。

在△A1GH中，GH=[12]AE=[22]，A1G=[5-64]=[142]。

在△AA1F和△A1AH中，由余弦定理得

[5=9+8-2×3×22cos∠A1AFA1H2=9+2-2×3×2cos∠A1AF]

解得A1H=[5]

在△A1GH中，cos∠A1GH=[12+144-52×22×142=-77]，

所以sin∠A1GH=[427]。

〖直觀想象〗題目給出了線段的長度，要引導學生直觀想象到可由線段數量關系入手，尋找二面角中相關三角形的關系。由數量關系得到二面角所在的兩個面、一個直角三角形、一個等腰三角形，由等腰三角形三線合一及直角三角形作出二面角的平面角。但二面角的平面角所在的三角形不是直角三角形，三邊中的A1H的計算有一定難度，通過△AA1F和△A1AH中的公共邊角，由余弦定理聯立方程可解得。本解法使學生從“數”想象到“形”，再從“形”回到“數”，增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。

【例2】（2020年全國高考理科一卷18題）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO=[66DO]。

（1）證明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

〖思路探索〗（2）由（1）PA⊥平面PBC，所求二面角B-PC-E的一個面為（1）中的平面PBC。設AE交BC于F，在三角形APE中將PA平移到FG交PE于G，則FG⊥平面PBC，易知PF⊥BC。過F作FH⊥PC于H，連接GH，則∠GHF為二面角B-PC-E的平面角。依據相似、對稱性、三角形面積等知識可算得△GHF的邊長。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）設AE交BC于F，過F作FG∥AP交PE于G，則FG⊥平面PBC;過F作FH⊥PC于H，連接GH，則∠GHF為二面角B-PC-E的平面角。

設AE=AD=2，則DO=[3]，AB=[3]，PO=[66DO=22]，AP=BP=EP=[62]。

又AF=[32AB=32]，EF=AE-AF=[12]，故FG=[EF·APAE=12×622=68]。

在Rt△PFC中，

FH=[CF·PFPC=32×3262=64]，

HG=[FH2+FG]=[616+664]=[308]，

所以cos∠GHF=[FHHG=64308=255]。

〖直觀想象〗由第（1）問的線面垂直結果，引導學生直觀想象到垂線為二面角中的一個面的垂線，將垂線平移到二面角內，根據三垂線定理易作出二面角的平面角。圖形稍復雜，關鍵是要通過空間圖形找出垂直關系，并轉化到三角形中以求解。本題主要考查學生空間想象能力、數學運算能力，能很好地培養學生直觀想象素養。

【例3】（2020年高考浙江卷19題）如圖，三棱臺DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC。

（1）證明：EF⊥DB;

（2）求DF與面DBC所成角的正弦值。

〖思路探索〗（1）因為EF⊥ BC，只需證BC⊥ DB，由面面垂直性質，作DH⊥? AC交AC于H，連接BH，則DH⊥平面ABC，即有DH⊥ BC。根據勾股定理可證得BC⊥ BH，所以BC⊥平面BHD，BC⊥ DB，即證得EF⊥ BC。

（2）因為DF∥CH，所以DF與平面DBC所成角即為CH與平面DBC所成角。由（1）知平面DBC⊥平面DBH，作HG⊥ BD于G，連接CG，則∠HCG即為所求角，解三角形可求出與平面DBC所成角的正弦值。

〖解答過程〗

（1）作DH⊥ AC交AC于H，連接BH，則DH⊥平面ABC，故有DH⊥ BC。

因為∠? ? ?ACB=∠? ? ?ACD=45°，所以CD=[2CH]=2CH[?]CH=[2BC]。

在△CBH中，BH? 2=CH? 2+BC 2-2CH·BCcos45°=BC 2，有BH? 2+BC 2=CH? 2，所以BH? ⊥ BC。

又BH? ⊥ DH=H，所以BC? ⊥平面BDH，從而BC? ⊥ BD。

而EF∥BC，所以EF? ⊥ DB。

（2）因為DF∥CH，所以DF與平面DBC所成角即為CH與平面DBC所成角。

由（1）可知，BC? ⊥平面BHD，從而平面BCD? ⊥ 平面BHD，平面BCD⊥平面BHD=BD。

作HG⊥BD于G，連接CG，則HG⊥平面BCD，即CH在平面DBC內的射影為CG，∠HCG即為CH與面DBC所成的角。

設BC=1，則CH=[2]，BH=1，DH=[2]，BD=[3]。

在Rt△HGC中，HG =[BH·DHBD=2·13=63]，所以sin∠ HCG=[HGCH=632=33]。

故DF與平面DBC所成角的正弦值為[33]。

〖直觀想象〗本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成的角的求法。由（1）的解答過程得到面面垂直，從而作出線面角，考查學生的直觀想象能力和數學運算能力;通過面面垂直、線面垂直和線線垂直的轉化，培養學生的直觀想象素養。

【小結】直觀想象包括借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律，利用圖形描述、分析數學問題。作出空間角的平面角是綜合法解決空間角問題的首選，綜合法求二面角或線面角的基本步驟為：一作二證三算。關鍵是作和證，二者是思維能力的體現，考查空間想象能力，體現直觀想象素養，作與證基本是一體的。“算”考查的是數學運算，通常解法是化歸為解三角形。

（二）關注點面距離，想象轉化求解空間角

當空間角的平面角不易作出或過點作面的垂線不易找到垂足的位置時，可想象到所求空間角所在的直角三角形，通過等體積法或等面積法求出所在直角三角形的邊。

【例4】（2020年高考北京卷16題）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點。

（1）求證：BC1∥平面AD1E;

（2）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值。

〖思路探索〗（2）直線AA1與平面AD1E的交點為A，只要求出A1到平面AD1E的距離d即可，由等體積[VA1-AED1=][VD1-A1AE]可求。

〖解答過程〗（1）（略）

（2）設正方體邊長為2，點A1到平面AD1E的距離d，則AD1=[22]，AE=[5]，D1E=3。

cos∠? EAD1=[8+5-92×22×5=1010]，sin ∠? EAD1=[31010];

[SVAED1=12×22×5×31010=3]。

由[VA1-AED1=][VD1-A1AE]得

[13SVAED1·d=13SVA1AE·D1A1]，

3d=[12×2×2×2=4]，

d=[43]。

所以直線AA1與平面AD1E所成角[α]的正弦值為sin[α=][dAA1=432=23]。

〖直觀想象〗本題線面角的平面角不容易作出，但只要“心中有角”，直觀想象到由斜線段和垂線段及斜線段的射影組成的直角三角形，即可求出線面角。要想求直線AA1與平面AD1E所成角，只需求A1點到平面AD1E的距離d。本題主要考查了直觀想象、空間想象能力及運算能力。

【例5】（2020年新高考全國1卷20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD。設平面PAD與平面PBC的交線為l。

（1）證明：l⊥平面PDC;

（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值。

〖思路探索〗（2）如圖，Q是l上的動點，平面QCD是動面，PB與平面QCD的交點，即PB與QC的交點O，它是動點，P點到平面QCD的距離也是變動的。只需設PQ=m，以上距離都能用m表示。PB與平面QCD所成角的正弦值是關于m的函數，再用不等式求出最大值即可。

〖解答過程〗

（1）（略）

（2）設PQ=m，P到平面QCD的距離為h，則PD=AD=CD=1，PC=[2]，QC=[m2+2]，QD=[m2+1];

由VP-QCD=VC-PDQ得

[13SΔQCD·h=13SΔPDQ·CD]，

[12QD·CD·h=12QP·PD·CD]，

[m2+1h=m]，

h=[mm2+1];

設PB∩QC=O，因為PQ∥BC，

所以[PO3-PO=PQBC=m]，PO=[3mm+1];

設PB與平面QCD所成角為[α]，則

sin[α]=[hPO=3（m+1）3m2+1=33m2+2m+1m2+1=][331+2m+1m≤]

[331+22=63]，

所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為[63]。

〖直觀想象〗該題考查線面平行的判定和性質定理，線面垂直的判定和性質定理。直觀想象到面與面的交線，由動變靜，找出組成線面角的斜線段及垂線段，并轉化為利用基本不等式求函數的最值問題。

【小結】直觀想象還包括建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。當直接作出空間角有困難時，可直觀想象空間角所在的直角三角形，并轉化為求三角形的邊，通常的方法有等體積法和等面積法。遇到動態問題可構造函數模型再解決。

三、重視立體幾何綜合解法，發展學生直觀想象素養

從2020年5份高考試卷中的立體幾何大題對空間角的考查情況可以看出，立體幾何空間角問題除用向量法外，都可以用綜合法作答。但學生更喜歡用向量法，因為向量法幾乎是程序化的操作，思維量比較少，導致學生不愿意花時間去審題，不想用綜合法去分析問題。久而久之，立體幾何對學生的應有培養功能得不到充分發揮，從而使學生的空間想象能力、推理論證能力得不到提升。從這些年的情況來看，學生的數學學科素養呈現下降趨勢，這有違引入空間向量的初衷。筆者認為，在教學中要把握能力培養這個大方向，對立體幾何教學綜合法和向量法不能有所偏廢，宜走中庸之道，因題而異，靈活選擇解題方法。在教學中通過典型例題引導學生對比辨析，強化學生運用綜合法解決立體幾何問題的能力，讓學生在觀察、探索、發現、解決問題的過程中，提高學生的視圖能力、作圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力，發展學生的直觀想象素養。

立體幾何空間角是歷年高考的必考點，要求學生掌握空間幾何體中線面平行、垂直的判斷與性質等必備知識，具有空間想象能力、運算求解能力、邏輯推理能力等關鍵能力。必備知識與關鍵能力一樣，是學科素養的基礎支撐。高考強調學科素養的導向作用，因此在高考中要重視幾何綜合法的考查，使之更好地培養學生的直觀想象素養和邏輯推理素養。筆者建議在立體幾何教學中，要讓學生走出“向量萬能”的誤區，重視綜合法的講解，讓向量法與綜合法成為立體幾何解題的兩把利器。

【參考文獻】

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[3]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4]曹寶龍.基于素養發展的課堂教學認知目標體系的構建、實施與評價[J].課程·教材·教法，2019（7）.

注：本文系廣西教育科學規劃2021年度課題“核心素養導向下的數學教師專業成長路徑研究”（編號：2021C714）的階段性研究成果之一。

【作者簡介】林勝德（1968— ），男，廣西合浦人，大學本科學歷，高級教師，現就職于廣西北海市教育教學科學研究所，主要從事高中數學教育教學方法的研究。

（責編 李 唐）