極限問題虛擬教具的開發與應用研究

王佳文 李鑫鑫

[摘 要]極限問題是高等數學教學中的核心難點，在教學中引入動態演示虛擬教具，可以提高教學效率。在極限問題虛擬教具的開發過程中應遵循經驗聯系原則、動態表征原則、界面簡潔原則、承載限量原則以及課具相容原則，當前適于開發極限問題虛擬教具的平臺為GeoGebra，利用其代數區、繪圖區等功能模塊以及滑動條、點、線等工具可開發出適合極限定義、無窮小比較、函數連續性定義等內容教學的虛擬教具。

[關鍵詞]極限問題;虛擬教具;GeoGebra;開發與應用

[中圖分類號]G434 [文獻標識碼]A [文章編號]1008-7656（2021）05-0021-07

一、引言

目前，信息技術在課程教學改革中的作用和價值已經得到普遍認可，推進信息技術與教育的融合發展也成為各國教育政策中的要點。要實現信息技術與課堂教學深入融合，不應是新型計算機軟件的簡單引入，而應積極探究信息技術化解各個知識難點的策略。在數學教學中，虛擬教具正是教學者運用信息技術解決教學難點過程中形成的重要方法，它是指一種利用計算機開發的、可探究的、動態的數學對象模型或系統，能實現實體教具的功能，可以動態呈現實體教具無法演示的概念，有助于學習者自主構建數學知識[1]。

極限是高等數學的基本概念，極限問題幾乎貫穿高等數學始終，其無限逼近的特征使實體教具無法演示，只能憑靠學生自主想象，這也是造成高等數學高度抽象的重要原因。許多授課教師一直在積極探求極限問題的形象化解釋，利用圖像、課件自帶動畫和語言描述思想，但由于平面圖像的靜態性和局限性難以展現無限逼近的動態特征。如何利用信息技術精準開發極限問題的虛擬教具，又如何根據虛擬教具精準設計教學活動，是高等數學教學中的重點和難點。本研究在統計極限問題虛擬教具的應用現狀基礎上，闡述極限問題虛擬教具的開發原則、內容、技術支持、平臺與使用方法，舉例極限問題虛擬教具的幾個應用案例，以期為極限問題教學虛擬教具的開發和應用提供指導，促進高等數學教學與信息技術的進一步融合。

二、虛擬教具的研究與應用現狀

虛擬教具的定義由美國的Packenham教授于2002年給出，Moyer等針對教師應用虛擬教具的行為和某種數學虛擬教具APP對兒童學習的影響等方面進行了研究，之后更多的學者針對虛擬教具在學生數學學習態度、學習能力以及不同虛擬教具對教學效果的影響等方面進行了研究。目前，國外對于虛擬教具的研究已經成為熱點，但是，國內關于虛擬教具的研究還不多，在中國知網，以“虛擬教具”為篇名搜索，相關文獻僅有7篇，王辭曉[1]從具身認知視角對虛擬教具和實體教具進行對比和分析，指出虛擬教具可代替絕大多數實體教具， 可以在動態演示、現象增強等多方面實現對實體教具的超越;許靜妍[2]、陳文瑜[3]分別對初中數學和高中數學的虛擬教具開發和應用進行研究;袁麗[4]則從技術角度研究了物理教學中的平拋問題3D虛擬教具設計方法。目前針對大學數學的虛擬教具開發和相應教學活動設計問題的研究還比較少。

關于當前虛擬教具在高等數學極限問題教學中的應用情況，以中國大學MOOC中9門高等數學國家精品課中第一章極限與連續部分為例進行調查，可知：目前關于極限問題，主要以語言描述的講授為主，授課過程主要借助課件，結合圖形、圖片講解知識，具有動態演示功能的虛擬教具較少。雖然，一些教師借助PPT或focusky中自帶動畫嘗試展示一些極限無限接近的過程，但由于功能的限制，只是在固定函數圖像基礎上的“點”動演示，函數無限逼近的動態過程仍是隱性的，學習者只有深入想像才能讓這個“動”的過程在頭腦中展現。

三、極限問題虛擬教具的設計與開發

（一）虛擬教具開發設計的基本原則

虛擬教具的設計來源于難以形象表征的教學難點，其開發應能條理化展現問題內涵，用簡潔和主次明確的畫面展現教學內容。在極限問題虛擬教具的設計開發過程中，應遵循以下基本原則。

1.經驗聯系原則。虛擬教具的開發應聯系教師已有的教學經驗，選取極限教學中難以表述的難點和關鍵點。另外，信息的呈現要聯系學生已有的知識，通過一步步展示引導學生建立起相應的知識點概念。

2.動態表征原則。由于極限相關的問題一般均含有無限逼近的思想，如何讓原本只有靠學生想象才能理解的過程，通過技術實現使函數由靜變動由想象到直觀。

3.界面簡潔原則。設計時，虛擬教具的界面應注重簡潔性，去掉與所分析問題無關的符號、文字、圖形、動畫等，以保證學生探究中的專注性。另外，在開發時還要注意關鍵點的突出性，應用加粗標志、不同顏色、箭頭等提示學生應關注的重點。

4.承載限量原則。虛擬教具設計應具有微小性，即一個虛擬教具最好只針對一個問題或一個知識點進行呈現，過多的知識承載量會加重學生的認知負荷，造成學生對知識理解的混亂。

5.課具相容原則。虛擬教具的放置要注重與課件的結構一致性，注重知識的前后銜接，根據課件講解過程順其自然展示給學生;同時，虛擬教具的設計還應注意與課件格式的相容性，能依托已有課件順利展現。

（二）極限問題虛擬教具的內容

極限問題貫穿微積分內容的始終，從開始的極限與連續一章，到后面的導數、定積分以及多元微積分等，每一個重要概念的闡述都離不了極限問題，而導數、定積分以及二重積分等內容的動態演示虛擬教具已經被許多教師在教學實踐中應用，因此，文章后續虛擬教具的開發主要針對極限與連續一章中的內容。

在極限與連續這一章中，許多重要的概念都是教師用語言描述而學生發揮想象的，適合引入虛擬教具破解難點。（1）函數極限的描述性定義的說明：數列極限，x趨向于某一個數及x趨向于無窮時函數極限結果的展示;（2）極限的ε-δ定義：x趨向于某個數以及x趨向于無窮時的ε-δ語言刻畫的極限描述;（3）無窮小的比較：低階、高階以及同階無窮小的趨向于0的速度的展示與比較;（4）兩個重要極限：兩個重要極限的極限存在性的描述性直觀展示;（5）函數在一點的連續性：利用增量判定函數連續與間斷區別的對比;（6）兩個重要極限結果的探究等。

（三）極限問題虛擬教具開發的技術支持——GeoGebra

目前，適用于數學學科動態演示的軟件有很多，如幾何畫板、超級畫板、網絡畫板、GeoGebra、Geometry Expression等，這些軟件均具備畫圖、迭代、動畫、軌跡生成等功能，優勢各不相同，例如對比幾何畫板，GeoGebra（簡稱GGB）在文字、圖形和符號的呈現效果相對較差，而在函數、微積分、統計、立體幾何的教學中GGB更有優勢[5]。再如超級畫板具有復制數學表達式，粘貼進行計算和作圖的功能，而GGB中，可以直接編輯函數公式進行作圖和編輯，更加簡單和方便。由于本文主要討論函數極限問題的虛擬教具的開發和應用問題，因此選用GGB作為虛擬教具開發平臺，見圖1所示。

GeoGebra是由Geometry 和Algebra兩個單詞構造，它是一款集代數、幾何、微積分、統計等作圖、運算、演示功能為一體的動態幾何軟件，由美國亞特蘭大學教授Markus Hohenwarter設計。其全部功能基于Java程序編寫，動態網頁輸出效果較好，其中文版可免費下載，且安裝使用方便簡潔，完成個人虛擬教具作品后，只要登陸個人帳號，便可在移動工具上將自己作品與他人交流分享。GGB功能強大，現含有近500個命令，可以為小學到大學各個階段的數學教學提供服務;操作靈活便捷，同一輸入對象有多種輸入方式和表達形式，幾何輸入、代數輸入均可實現;圖像演示多樣，2D、3D都可形象展示，通過用戶自組編輯輸入對象可得到形式多樣數學模型[5]。

目前，GGB由于其強大的功能和易操作性成為數學、物理學科教育信息化領域的熱點應用和研究對象，已經被翻譯為近70種語言，并在全球已經設立159個GeoGebra研究院以支持教師交流和相關科研工作。在中國知網以“GeoGebra”為篇名進行搜索，截止到2021年7月，相關的文獻達683篇，其中，中文文獻的研究主要分布在2010～2021年，篇數成逐年上升趨勢，GeoGebra在中小學數學、中學物理解決具體問題的應用是研究的重點內容。

（四）極限問題虛擬教具開發所用GGB功能與使用方法

1.各個模塊基本功能

極限問題的對象主要是函數，主要探究的是函數自變量和函數值的動態變化情況，因此在利用GGB開發虛擬教具的過程中主要用到如下功能模塊。

（1）指令欄。用于輸入函數表達式，輸入字符一般僅識別美式鍵盤下的英文字母，函數運算命令的輸入與一般數學軟件指令類似，如加減乘除分別用 +、-、*、/表示，開平方用sqrt（x）表示，絕對值用abs（x）表示，用小括號來界定函數結構等，但也有一些自定命令，如對數函數用命令log（a，x）實現，分段函數用if命令實現等。

（2）代數區。在指令區輸入的函數回車后其表達式會在代數區顯示。另外，后續所畫點、線的坐標與表達式均在代數區顯示，點擊不同式子或坐標相應圖像會在繪圖區加重顯示。

（3）工具欄。點、線、圖形、文本、移動等功能實現的工具集合。其中滑動條是極限問題動態演示的關鍵工具，通過滑動條變量設置，點坐標用滑動條變量表示，可實現點、線的移動，進而達到動態逼近的效果。

（4）繪圖區。相當于GGB所開發虛擬教具的顯示器，在指令欄輸入函數后回車即可在繪圖區同步顯示函數圖像，同時可實現點、線的繪制，文本的書寫以及動畫操作的演示，但是一般各個對象的移動、外觀、顏色、大小長短的改變等不能在繪圖區直接操作，而是需要在對象設置模塊操作。

（5）對象設置模塊。繪圖區所有對象的屬性都可在對象設置中進行編輯，如滑動條動畫的播放速度，滑動條變量的改變，隱藏與顯示等，函數表達式的修正，點、線顏色、形狀的改變，文字設計等。另外，設計虛擬教具背景的改變，坐標軸坐標的顯示調整等也要在對象設置模塊完成。

2.使用方法舉例

利用以上功能模塊，就可以開發出一般極限問題動態演示的虛擬教具。例如，當想觀察n→∞時，n2的極限，可首先在工具欄中點擊滑動條，在出現的對話框中輸入最小值1，最大值1000，增量為1，點擊確定即可得到滑動條a（如果滑動條大小設置未成功，可再利用對象設置模塊中滑動條對象設置）;接著，點擊描點命令，在繪圖區任意畫出一個點A，雙擊該點，將點的坐標改為（a，a2），即可達到利用滑動條控制點的目的。由于滑動條a的范圍較大，需要點擊繪圖區背景，對坐標軸大小進行設計，才可顯示點的全部運動，改變x軸最小值為0，最大值為1000，y軸最小值為0，最大值為1000000。另外，為了更明顯觀察點的運動軌跡，可右擊點A，點擊追蹤。再點擊滑動條，在對象設置模塊中點擊啟動對象，就可以看到當n越來越大時，n2越來越大的變化趨勢，如圖2所示。

四、極限問題虛擬教具的應用案例

（一）極限的描述性定義講授中的虛擬教具

在講解極限的描述性定義時，由于學生初次接觸極限的概念，對極限的無限接近還不能完全理解，借助虛擬教具的動畫演示可讓學生迅

速了解概念。如圖3 展示的為數列

在n→∞時的變化趨勢，學生通過自主拖動滑動條可觀察數列數值的變化情況;圖4為x→∞時sin? ? 極限的動畫，通過分別移動兩個滑動條，可分別演示x→+∞和x→-∞時函數的變化趨勢。另外，對于x→x0時函數極限的教學也通過類似動畫演示讓學生通過觀察得到極限結果。

（二）ε-δ定義教學中的虛擬教具

關于ε-δ定義，講授前教師可制作如圖5所示動畫，在對學生解釋其內涵過程中，可請學生上臺操縱滑動條a，隨著a不斷減小，動畫中y軸上的ε的長度也越來越小，相應的x軸中δ也越來越小。在學生演示的同時，教師應同步給學生講解：同學們請看，對于任意的ε>0，在y軸上無論ε有多小，都對應的在x軸存在一個δ，使得當0<|x-x0|<ε時，相應的函數值均有|f（x）-A|<ε。通過將數學公式與動畫演示對照解釋，學生會對ε-δ定義產生立體化的認識。

（三）無窮小的比較教學中的虛擬教具

在無窮小比較概念的引入中，對于幾個無窮小趨向于0的速度的說明，可采用GGB動畫探究的方式。上頁圖6給出了幾個無窮小量的例子，教師可讓學生操縱滑動條a，觀察隨著x無限趨向于0，相應的四個無窮小量x，x2，x3，x4無限趨向于0的速度，學生一目了然就可以看出，x4的函數值最小，趨向于0的速度最快，而x趨向于0的速度最慢。由此，教師直接給出無窮小的比較直觀定義：趨向于0的速度快比趨向于0的速度慢的稱為高階無窮小，而趨向于0的速度慢的比趨向于0的速度快的成為低階無窮小，而如果趨向于0的速度差不多稱為同價無窮小。通過觀察和教師引導，學生可以形成對無窮小的直觀理解。

（四）虛擬教具在函數連續性教學中的應用

對函數在一點連續型定義講授中，對于連續的點當自變量的增量趨向于0時函數值的增量也趨向于0 ，以及對于間斷的點當自變量的增量趨向于0時函數值的增量卻不趨向于0的過程，可以借助動畫演示進行區分。如圖7與圖8所示，學生首先利用圖像建立對連續和間斷的直觀認識，接著進一步探究增量在這兩種情況下的不同的極限結果，通過滑動條逐漸變小時△x越來越小趨向于0和△y相應的動態變化，達成對極限定義的深刻理解與記憶。

（五）兩個重要極限講授中的虛擬教具

在講授兩個重要極限過程中，對于高職生而言，兩個重要極限結果的證明過程較復雜，為加強對極限結果記憶，直接在GGB中將兩個重要極限中函數的圖像畫出，利用滑動條操縱點在曲線上的變化狀態，直接得到函數極限的結果。下頁圖9為

時x→+∞和x→-∞時函數極限結果的

探究，兩個滑動條分別控制左右兩支點的動態變化，學生可以自主操作，得到左右極限的結果為同一個數值。

五、結語

教師的綜合教學能力是虛擬教具開發的基礎，虛擬教具在極限問題中的使用是信息技術融合高等數學教學的重要體現。教師要想開發出好的虛擬教具，不僅應具備豐富的數學教學經驗，明確所教授對象的學習難點，還應具有一定的技術開發能力，能在深刻理解教學難點的基礎上利用軟件平臺開發相適應的虛擬教具。因此，極限問題虛擬教具的開發是教師技術應用能力、知識理解能力、教學設計能力（“三能”）綜合的成果;虛擬教具的開發需要因情而定，在極限問題講授中虛擬教具是沒有數量限制的，根據不同學生的理解力和教師的表達力，可能有不同的教學設計，一道練習題、一個思考題都有可能需要進行虛擬教具的開發并引入教學;虛擬教具的應用又是多方融合的，在實際教學中，虛擬教具的應用需要涉及到課堂信息工具現實、教師應用課件實際、教室硬件環境以及學生的可實踐操作性等多方面因素，虛擬教具能否在教學中順利展示，還需要教師在開發設計前進行全方位的考慮。

[參考文獻]

[1]王辭曉.虛擬教具對實體教具的替代和超越：基于具身認知的視角[J].電化教育研究，2020（12）：50-58.

[2]許靜妍.初中數學《分數》虛擬教具的開發及應用研究[D].上海：上海師范大學，2019.

[3]陳文瑜.基于虛擬教具的高中數學探究活動研究[D].上海：上海師范大學，2020.

[4]袁麗，張寶運.人機自然交互支持的3D虛擬教具設計[J].系統仿真學報，2012（9）：1973-1975+1979.

[5]鮑克元.幾何畫板與GeoGebra在初中數學教學中的適用性比較研究[D].南京：南京師范大學，2018.

[作者簡介]王佳文，滄州職業技術學院講師，碩士，研究方向：數學教育學;李鑫鑫，山東理工大學講師，博士，研究方向：人工智能技術。

[責任編輯 李 舟]