基于深度學習的“數系的擴充和復數的概念（1 課時）”教學設計

王蓉

（紹興市越州中學，浙江紹興 312000）

1 內容和內容解析

1.1 教學內容解析

本節課是新人教A 版高中數學第二冊第七章第一節《復數的概念》的第一課時。通過復數的學習可以使學生對于數的概念有一個完整的認識。復數的概念是整個復數內容的基礎。復數的有關概念都是圍繞復數的代數表示形式展開的，復數單位、實部、虛部的命名，復數相等的含義，以及虛數、純虛數等概念的理解，都是在促進對復數實質的理解，即復數a+bi(a，b∈R)實質上是有序實數對(a，b)。通過對復數實質的揭示，為后續復數的結合意義、復數的四則運算以及復數的三角表示的學習作準備，對本章具有奠基性的作用。

1.2 核心素養分析

本節課通過回顧數系的擴充的過程與方法，歸納數系擴充的“規則”，能提升學生的數學抽象素養；通過實數系向復數系的擴充，讓學生體會類比的數學思想，提升學生的邏輯推理素養；學生能體悟豐富多彩的數學文化，能辯證地看到“危”與“機”的關系，感受人類理性思維在數系擴充中的作用，領略其推動科學技術發展和社會進步的所需創新精神。

2 目標和目標解析

2.1 教學目標

了解引入復數的必要性；了解數系擴充的一般“規則”，了解從實數系擴充到復數系的過程，感受數系擴充過程中人類理性思維的作用，提升數學抽象、邏輯推理素養；理解復數的代數表達式，理解復數的有關概念，理解復數相等的含義。

2.2 目標解析

能通過方程的解，感受引入復數的必要性，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規則、方程求根）在數系擴充過程中的作用。

學生能夠從自然數系逐步擴充到實數系的過程中，歸納出數學擴充的一般“規則”，體會擴充的合理性及人類理性思維在數系擴充中的作用。

學生能說明虛數的由來，能夠明晰復數代數表示式的基本結構，會對復數進行分類，會用Venn 圖表示復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系；知道兩個復數相等的含義，能利用復數概念和復數相等的含義解決相關的簡單問題。

3 教學問題診斷分析

3.1 學情分析

學生在學習時可能出現的障礙為：

（1）因為現實生活中沒有任何事物支持虛數，學生可能會懷疑引入復數的必要性，在教學中，如果單純地講解或介紹復數的概念會顯得枯燥無味，學生不易接受；

（2）由于知識儲備和認知能力的限制，學生對數系擴充的一般規則并不熟悉，對虛數單位的引入，以及虛數單位和實數進行形式化運算的理解會出現一定困難；

（3）學生以前學習過的數都是單純的一個數，而復數的代數形式是兩項和的形式，學生比較陌生，因此理解上會存在一定困難。

3.2 重難點分析

重點：從實數系擴充到復數系的過程與方法，復數的概念。

難點：復數系擴充過程的數學基本思想，復數的代數表示。

突破難點的策略如下：

（1）適當介紹數的發展簡史，增強學生學習的生動性。

（2）通過解方程問題引導，借助已有的數系擴充的經驗，特別是從有理數系擴充到實數系的經驗，從特殊到一般，幫助學生梳理出數系擴充過程中體現的“規則”，進而在“規則”的引導下進行從實數系到復數系的擴充，感受引人復數的必要性和合理性。

（3）引導學生按照“規則”自主探究出復數集中可能存在的各種數，并歸納總結出復數的一般表示方法，經歷復數形式化的過程。

4 教學過程設計

4.1 創設情境，說明實數系擴充的必要性

問題一：今天的數學課邀請大家和我一起來到16世紀文藝復興后的歐洲。看一個當時困擾了人類幾百年的數學問題：把10 拆分成兩個數，使這兩數的積等于40，求這兩數？記載在數學家卡爾丹1545 年的著作《大術》〔Arsmagna，1545〕。

師：在實數范圍內有解嗎？為什么？

生：這個一元二次方程的判別式小于0，所以無解。

師：是的，實數范圍內無解，看來實數不夠用了！卡爾丹也沒有找到實數解，但是他寫下來這樣兩個解，自認為是“違背良心寫下的怪物”。

師：盡管他違背著良心，但后續通過數學家們的不斷探究給出了合理解釋。

師：是否存在，等價于方程？

師：方程不具一般性，怎么辦？

生：

師：為什么？

生：整理得，即

設計意圖：轉化化歸的思想。

師：若想預見數學的未來，一個方法是研究它的歷史和現狀。現在我們一起重溫數的發展歷程！

4.2 類比從有理數系到實數系的擴充，梳理數系擴充的“規則”

師：猜一猜：四幅圖各代表了哪一類數？

生：自然數，負數，分數，無理數。

師：我們把一個數集連同規定的運算以及滿足的運算律叫做一個數系。（自然數系，整數系，有理數系，實數系）

問題二：有理數系到實數系擴充的“危機”？

師：為什么要擴充？

生：邊長為1 的正方形對角線是，開方開不盡，不在有理數集內。而且方程在有理數內是無解的。

師：是的，這不僅是人類生產生活的需要，也促進了數學自身的發展，讓擴充前的數系中無解的一類方程在新數系中有解了。

師：數與數的聯系是依靠一些運算建立起來的。因此我們還要確保新數系中原來的運算和運算律可行。這里的運算和運算律指的是最基本的兩種運算加法、乘法及運算律（交換律、結合律和分配律）。

師：以引入為例，會產生哪些其他形式的數呢？

師：很好，這些數是無理數集的其他成員。顯然保證了加法乘法和運算律仍然適用。

師：數系擴充的一般規則是什么？

生：形成數系擴充的一般規則：（1）引入新成員，數系擴大；（2）擴充前數系不可行的某種運算在新數系中可行了；（3）擴充后的數系適用原有數系的運算和運算律。

設計意圖：梳理數系擴充過程和方法的一致性，總結數系擴充的一般“規則”，為后續實數系進一步擴充提供方法，進而突破難點。

4.3 依據“規則”實數系擴充至復數系，得到復數的標準代數形式

問題三：類比以上過程，你會怎樣實數系進行擴充？

生：將引入新成員。

師：如果是你，你打算如何設計這個新成員？

生：我會叫他虛數。

師：為什么？

生：因為實和虛是反義詞。

師：很有想法哦！這個新數需要具備怎樣的性質？

生：

師：板書，i 為虛數單位。虛數（imaginary）這個名稱是法國哲學家、數學家笛卡爾給出的，寫在1637 年出版的《幾何》中。100 多年后，歐拉第一個使用符號i 表示虛數，寫在1777 年提交給圣彼得堡科學院的論文中，而該論文直到1794 年才發表。

設計意圖：了解虛數產生的數學史，體會數學家們的堅持不懈。

師：為了使加法、乘法和運算律在新數系中適用，除了新數i，新數系中還會有哪些形式的數？分小組討論，派代表展示你們組的成果。

學生回答：2i，-i，，

師追問：有沒有一種形式可以把大家說的這些數都包含在內？

學生回答：

（學生如果遺漏了實數）

生答：能，當b=0 時，令a=-1，，

設計意圖：創設與學生認知特點相吻合的教學情境，在學生思維最近發展區內提出問題，啟發學生以數系擴充的基本思想為指導開展引入新數、擴充數系。在獲得“四基”、提高“四能”的同時，學習“用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”的方式方法。

學生自主閱讀課本概念并完成練習1：我們把形如（）的數叫做復數，其中叫做虛數單位，全體復數所構成的集合叫做復數集。這樣，方程在復數集C 中就有解了。復數常用z 表示，即（）以后不作特殊說明時，復數都有，其中a 和b 分別叫做復數的實部與虛部。

師板書概念。

4.4 通過對復數的分類，相等復數條件的探究，強化、精致復數概念

師：研究一個概念，了解了他的來龍，還得清晰他的去脈。

剛才大家寫了很多復數，我們一起來研究

（1）說出這些復數的實部和虛部。

（2）1+2i，2+i 這兩個復數相等嗎？為什么？你能歸納出兩個復數相等的條件嗎？

（3）觀察這些數，復數集C 與實數集R 之間有什么關系？使用數學符號表示

（4）說說復數有哪些特殊形式？結合一些圖標題名式給復數分分類吧。

（5）說說哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，為什么？

設計意圖：指導學生閱讀教科書，思考并回答問題，明確復數的基本概念，培養閱讀教科書的習慣和閱讀理解能力。通過對具體數的觀察，抽象出復數集中的實數、虛數、純虛數等概念。通過畫思維導圖細化復數集內部關系，強化復數概念。

例1：當實數取什么值時，復數是下列數？

（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數。

設計意圖：在變化中認識復數代數形式的結構，正確判斷復數的實部和虛部。

師：如何確定一個復數？回憶一下，復數的這個特征與你以往遇到過的什么數學對象類似？

設計意圖：向學生明確，不僅給出了判斷兩復數相等的依據，也給出了求某些實數值的依據，即利用復數相等的含義，得到關于a，b 的方程組，通過解方程組，得到a，b 的值。把復數看成有序實數對，為幾何意義奠定基礎。

4.5 反思總結，提煉收獲

師：通過本節課，談談你學到了哪些知識？通過什么方法得到的？這個知識的發現或者創造對你有什么啟示？

生：學到了為了解開負數有平方根的難題，幾百年來數學家們鍥而不舍的堅持探索，他們的理性思維戰勝了阻攔在數學發展面前的重重困惑。這個數系的擴充給今后復數遇到不夠用的時候，就派上用處了。

師結束語：因為這個虛無縹緲的數的引入，多項式的理論成了完美的理論。物理學家和工程學家發現虛數是用來解釋所有波動現象最佳的方法。這包括音樂、流體和量子力學里面的波動力學的種種現象。在數學內部，柯西和黎曼開始了復變函數的研究，將數學的眼界由一維推廣到二維，改變了現代數學的發展。復數的引入充滿了數學家們的想象力、創造力和不屈不撓、精益求精的精神，充分體現了理性思維的力量！

4.6 布置作業

查找資料，完成課外閱讀。

（1）了解一元三次方程求根公式。

（2）了解復數在流體力學、信號分析、電磁場等學科中的應用。

（3）了解有關超復數系的設想。

5 課后反思

復數的引入是對數的認識的又一次飛躍，新課標明確要求學生認識復數概念形成的重要發生發展過程，領會其中的理性思維、創新精神和數學文化。什么才是這節課的真正重要的主題概念呢？在準備教學設計之前，筆者帶著這個疑惑翻閱了教材和教參。從歷史的角度看，數的概念的發展與數系擴充是數學發展的一條重要線索。數系擴充的過程展現了發現和創造兩大特征，也是當時的客觀需要。復數的引入體現實際需求與已有知識不能解決之矛盾，以及有關數系運算和性質之變化。當復數的幾何意義在解決實際問題中嶄露頭角，復數的概念才被世人所認可并發展。從認知的角度看，繼初中數學課堂將數系從有理數擴充至實數后，復數是中學階段的又一次擴充。應在教學中突出過程二字。因此筆者將本節課確定的重要主題概念側重于經歷過程。需要學生歷經，以及從這樣的經歷中深刻體會到數集的每一次擴充，既是客觀世界實際的需求，也是解決數學內部矛盾，從而不斷發展之迫切。從數的運算，解方程等角度悟得“實數不夠用了”這一事實。理解引入虛數之水到渠成。體會人類的理性思維在數學發展長河中明燈般指引之力量。我們知道任何知識的獲取都遵循從未知區域轉化至最近發展區，再轉化至已知區域。本節課就需要教師搭建一個“引橋”。讓學生在已有的認知經驗上獲得“再創造”。這個“引橋”就是對實數系擴充過程的回憶。在層層剝離，提出問題方程 后，讓學生觀察了四張有關數系發展歷程的圖片，并思考以下問題：以往學習中有沒有遇見過類似的問題？如果遇見過，解決了什么問題？怎樣解決的？解決的過程有什么規律（共同的特點）？這些規律對解決當前的問題有什么借鑒作用？在這些問題的支撐下，老師帶領著學生從卡丹之迷惑到笛卡爾的自我否定下提出“虛數”稱呼，再到歐拉提出用符號i 來表示虛數，之后的高斯對該符號系統的應用。前前后后幾百年，支撐起數系擴充之路的是人類對未知的渴望，是理性思維撥云見霧，揭開了虛數虛無縹緲之面紗。

當然課后筆者也在思考，與其說是再創造，不如說是再經歷。其實創造的成分并不濃厚，因為這個規則已經擺在那里了。相比當時數學家們思維火花的碰撞，研究復數的熱火朝天。遺憾于課堂上沒有達到預期的效果，只能接受這個“美麗凍人”的結果。如果在教學設計中出現一些預設的“意外”，讓學生經歷頭腦風暴。比如，使用類比方法創造新數，改為學生的自我探索新數集中的運算規律，讓學生設立探索方案。如可以從羅列自然數集開始的若干數集中的運算封閉、運算律、排序、比較大小等方面進行研究。為什么數集運算需要封閉？新運算解決了，原來的運算規律卻破壞了行不行？為什么復數需要一個統一的代數形式？這些知識的生長點和爆發點不去觸動，可能復數還是飄在空中，最后淪為一個生硬的代數運算工具。如何通過我們老師的教學設計，快速通過這些階段，但卻不跳過這些階段，讓復數在學生心中落地生根。我們的類比，舉一反三，給了學生足夠的參照模板，但是這個“一”是否小看了學生的獨立思維？是否阻礙了課堂的深度思考呢？值得繼續學習和研究。