注重思維可視 促進算理巧辨

摘 要：多元表征是適應新課程改革的一種現代化教學方法，具備新穎性和趣味性強的特點，同時也迎合了素質教育多元化的要求。為保證多元表征的應用質量，教師需要做好綜合研究與充分考量，避免教學形式化，同時也要防止多元表征過度應用，否則很容易流于表面，而忽視當中所蘊藏的學習資源，充分體現多元表征對教育發展的促進和改革助推作用。

關鍵詞：思維;小學數學計算教學;學習資源

一、 嘆：直面現狀追原因

經調查了解學生學習“數與代數”領域當中有關數的運算的實際情況，在各個學段都發現學生的計算錯誤，有的錯誤逐年積累，一直影響著學生其他方面的學習，甚至阻礙學生思維的發展。因此，筆者提出教師應重視學生的計算能力和計算錯誤，探究原因，基于表征等學習方式，讓計算的算理可視，可辨，從而提升學生的計算能力。

（一）表征紛亂目的不清：思維與實際脫離

學生對數學問題、數學概念的理解和解決的過程很多同學只會模仿，但是卻不能表達自己對算理的理解。

（二）表征運用的形式單一：算法無算理支撐

教師知道表征能力培養的必要性，但卻沒有引發學生的關注，畫示意圖、線段圖、列表等豐富表征形式被學生看成了額外的“任務”，教師面對單一的表征也束手無策，導致學生在理解計算算理時缺乏可視的直觀圖支撐，逐漸使學生缺失了學習的主動性和表達的創造力。

（三）表征內容使用效率低：表征與教學相離

有的教學內容，學生對表征很感興趣，例如乘法的計算，有余數的除法等學生想象力極豐富，但是教師缺乏梳理統整，或是評價的時候缺乏遵循一定的“序”，使得表征作品使用效率降低，這與老師的評價有關，也與教師的生本觀有關。

二、 思：小學階段“多元表征”學習價值的再思考

計算教學的錯誤總伴隨著學生的學習和教師的教學存在，學生因運算意義不理解從而出現計算錯誤總存在，這說明我們的教學存在問題。學生表征算理能力缺失也會不利于學生的思維能力的提升。

（一）積累表征經驗，引導運算意義更清晰

兒童心理學認為：小學生思維特點以形象思維為主，獲取知識在形象感受、感知的基礎上逐步建立表象而形成概念的。而人教版新教材重視對算理的理解，強調對運算意義和價值的理解，讓學生依托多元素材表征積累表象經驗，明晰表征運算的意義，可以更加豐富、更加深刻地理解運算，對學生構建運算模型有重要作用。

（二）論透多元表征，溝通數學思維立模型

人教版數學新教材有關數的運算包含了整數、小數、分數的四則運算意義、計算法則和運算定律、四則混合運算三個部分。在新教材中也多處將例題對比編排，就是為了讓學生在對比中辨析運算的意義，在課堂教學中，讓學生基于圖形表征、文字表征、符號表征、動作表征等多元表征，展開充分的討論、辨析，學透、論透計算的意義，明晰算理，碰撞思維，激發靈感，在同桌、小組、全班等多樣的形式當中，來發散學生的數學思維，提升運算能力。

（三）優化多元表征，豐富運算策略促發展

在教學中學生對運算意義的理解以及表征能力會大不相同，表征的形式也會不同，從而形成多元的學習素材。教師應尊重學生的積極性、主動性和創造性，同時讓學生捕捉不同方法的思維亮點，從而激發學生的創新靈感，豐富運算策略。同時教師也不必索要多樣化的多元表征，不必為了體現多元而多元，為了追求呈現的素材的華麗，不必走低層次表征路線，而應該實實在在去關注有價值的學習素材。

三、 行：“多元表征”在小學數學計算教學中的實踐探索

“計算教學”學習分布在每冊教學中，首先對于整個小學階段學習內容進行梳理，整理小學階段的“計算教學”學習內容之間的一些方法。

（一）追根溯源：整體解讀明目標

1. 一讀課改，明確要求

計算能力是小學數學中最基本的技能，《2011課程標準》把計算能力作為數學課程學習的重要內容，計算能力有助于學生自身發展，有助于學生適應社會發展的重要能力。計算也貫穿著數學教學的始終。基于多元表征的學習是基于學生認知規律，科學利用認知規律，組織引導學生進行數學深度學習的學習方式，其本質內涵是將數學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯系，逐步建構“內化—聯系—外化”的深度學習生態循環系統。

2. 二理教材，把握要點

新教材、新課標對“數的運算”做出的改變，是從重視算法的掌握、運算技能的熟練，轉變為關注算理、運算意義的建構。這樣的改變這有利于學生更好地運用數學解決問題，促進學生數學素養的形成。因此筆者對教材內容進行梳理，通過整理和統計，發現并非所有的計算課都需要學生來進行表征，計算教學的難度呈螺旋式上升，部分內容是前期學習的延續和拓展，部分內容是新的，需要借助多元表征等其他學習方式幫助學生明晰算理，表述過程，充分溝通聯系。

3. 三尋聯系，關注方式

通過前后教材的聯系對比，我們發現多元表征是學生理解算理的一個學習方式，但并不是所有的計算都需要進行表征的，呈現的形式也不能一味單一，而是要以學生的實際、教學的實際和見解的表達方式多維度結合進行思考的。

（二）實踐探索——課堂踐行覓優化

基于多元表征提升學生的計算能力，深度學習算力，讓學生思維可視，算理可辨，提升計算的靈活性、自主性、準確性，下面是筆者思考和實踐中發現的有效的策略嘗試：

1. 策略一：巧借“前測”暴露原認知，讓學生思維可視

數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。基于此，教師在課前通過設計合理的前測學習單，讓學生在已有的知識經驗的基礎上對即將學習的內容進行分析和表達，然后教師根據學生的情況精心設計教學活動，這樣的設計將會更加有效和有針對性。回顧整個實踐的過程，筆者認為呈現學生的前測資源著重需關注三點：

（1）巧示多樣圖示表征，了解學生起點

學生的數學學習是以學生的認知發展水平和已有的知識經驗為基礎，學生的知識水平和認知基礎也影響著進一步的學習，教師需要了結學生的真實水平和能力。來自前測的多樣的圖示表征，能夠展示學生的原認知，教師可以充分了解學生的知識基礎，學生之間也可以互相了解和學習。

（2）嘗試多元展示錯誤，呈現學生疑點

在學生的學習過程中，錯誤不可避免。學生的認知能力和知識的掌握程度不同，導致學習效果也不同學生因不掌握而出現的錯誤需要老師加以關注，正確面對學生的錯誤，并積極進行深入的分析，讓錯誤成為孩子學習的資源。

（3）個性展示充分交流，放大學生難點

在數學學習活動中，教師應鼓勵學生有自由的空間和靈活解決問題的方式，激發學生個性化地學習，同時在感悟中體會方法的最優化，教師還可以捕捉不同思維方法的亮點和閃光點，讓學生充分展示。在交流當中，也將計就計地將難點放大，從而營造大家共同解決問題的良好氛圍。教師要有所為，理清何時為，如何為的問題，盡量為學生搭建交流平臺，留出學習的空間與時間，展現外化的思維。讓學生當小老師講算法和算理，生生間、師生間互相傾聽、交流、追問辯論，使得原本錯誤的方法越辯越清晰，模糊的概念越來越清晰，知識從表面的到達會逐步走向深入，從而逐步感悟到計算的本質。

2. 策略二：巧辯“多元表征”引發沖突，讓算理思維可視

《2011版課標》中指出教學活動是師生積極參與、交往互動，共同發展的過程，要突出學生的主體地位，就要體現學生在自主的基礎上互動的過程。讓學生基于一定的學習素材、多元表征爭辯起來，激活思維，求異創新，發揮潛能。

辨析環節是有效學習的重要環節，是學生是否真正理解算理、真正掌握方法的關鍵，是否能夠將新經驗與原認知進行有效溝通，內化，構建學生自己的認知結構，辨析是重要學習方式。經過多次實踐，筆者認為要關注以下三點：

（1）布置多元表征任務，生長點創生經驗

學生在學習過程中積累的數學活動經驗，為后續學習有重要的啟發和方法性的作用。以學生的多元表征為任務驅動，請學生自主思考、理解新知，基于開放多元的任務布置，從而給后續辨析鋪墊。同時，借助多元表征，催生新的數學活動經驗，引導學生能動而深度學習，促進學習里生長。

圖1 小學數學基于任務驅動的多元表征課堂示意圖

（2）組織多元表征討論，體驗點豐富經驗

學生的有效的教學活動經驗的形成，是建立在學生有意義的理解的基礎之上的，學生經歷討論，將從外在的，他人的經驗中進行內化，認同后，會并入自己的學習系統。基于學生的多元表征，教師搭建討論平臺，一方面引導學生反思自己的學習過程，同時創設分享機會，將自己的學習思考更加清晰化、明確化、外顯化。

（3）巧辯多元表征成果，融通點內化經驗

學生在數學學習活動中積累的數學活動經驗，需要與原認知發生聯系，才能讓他們獲得的經驗具有實質性的意義，才能真正內化。通過課堂爭辯，辨析，使學生從直觀的感知，表面的具體的理解上升到對本質意義的理解，從而有助于學生抽象出數學規律的理解。在爭辯的過程中，學生能從一種表征方式轉換到另一種表征方式，就會逐漸對各種表征方式進行轉化，在融通點對新知進行真正的內化。

3. 策略三：直擊“數學本質”展開表征，讓“形”不同而“理”為一

數學本質包含對數學思想方法的把握、對數學特有思維方式的感悟。圍繞數學本質展開的教學和學習是有價值的，學生才能從本質上理解數學，獲得最扎實的知識，從而得到更好的發展。對算理、概念進行表征也是如此，我們要摒棄花架子，有效突出數學內容的本質。

（1）靜態呈現想動態——算法的描述與歸納

學生筆算48÷3時，首位相除有余與后一位數合起來接著除理解有困難，那么在探究首位相除無余的42÷2時，就應該讓學生經歷一位數除多位數的筆算過程，充分理解算理，掌握筆算方法。借助操作表征，將動態轉化為靜態的寫商過程，再通過深入算理→筆列口說→理到法成，將除數是一位數的除法的計算算理從靜態的想動態的。讓學生經歷算法的探究以及總結描述的全過程。

（2）數形溝通來說理——難點易錯處的預測

“數”是指數及數量關系，“形”主要指直觀圖形，數形結合就是通過數與形的相互轉化、互相利用幫助學生建立數感，提高思維能力。在計算教學中，難點易錯處數形溝通，讓學生深度探究數學本質，更好地理解算理，掌握算法。例如學習52÷2時，學生思考重點是：當十位除以2，余下的1個十后怎么辦？在數式中，4和12分別是怎樣寫的。借助小棒表征后，學生能充分理解算理，分步呈現豎式的計算過程，并能輔助學生獨立說出每一步的計算結果的含義。

（3）巧用練習契機點——建立模型水到渠成

2011版的課程標準當中明確提出了模型思想，模型思想也越來越多被運用到課堂教學當中，教師通過多種途徑來建立模型，例如情境感知、活動體驗等，同時也可以通過巧妙設計練習，抓住時機也可以建立數學模型，滲透模型思想。教師的練習設計，從圖→式，從式→圖，從口算→筆算→驗算→估算→建模→總結，多元巧設，理法合一。

四、 望：數學課堂“多元表征”學習方式應用的思考

（一）展現數學表征的過程使其更具科學性

近年來，隨著認知心理學被引人數學教育研究領域，學習主體的內部心理結構及其變化規律的研究逐漸成為人們關注的話題。表征已經成為數學解題理論中的核心概念。尋找數學表征的基本規律已經成為提高學生數學能力的關鍵環節。因此合理展現信息表征的過程使其更具科學性需要進一步反思。

（二）優化數學表征的交流逐步提升其價值

在解決數學問題的過程中，表征能力能夠優化問題結構，降低解決難度，使學生更好地理解數學問題。同時優化表征信息的方式，使其逐步拓展學生的抽象思維，幫助學生構建更加合理準確的數學問題解決的模型，提升數學學科學習的價值，培養學生的重要的數學能力，從而達到數學核心素養的培養。因此交流學生的表征，提高表征價值也需要數學教師不斷地思考。

參考文獻：

[1]斯苗兒.小學數學課堂教學案例透視[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]史寧中.數學的基本思想[J].數學通報，2011，50（1）：1-9.

作者簡介：

阮麗華，浙江省杭州市，杭州市袁浦小學。