煙幕擴(kuò)散模型中任意光路電磁波透過率的計(jì)算

蔣 云,李 偉,宋偉偉,于照亮,代曉東

(防化研究院,北京 102205)

1 引 言

煙幕是現(xiàn)代戰(zhàn)爭中對抗精確制導(dǎo)武器和光電觀瞄器材的有效手段,能夠遮蔽干擾可見光、激光、紅外、毫米波等電磁波,具有使用方便、效費(fèi)比高等特點(diǎn),受到世界軍事強(qiáng)國的重視[1-3]。煙幕能夠?qū)Σǘ坞姶挪ㄐ纬捎行Ц蓴_的關(guān)鍵因素在于:首先,煙幕中含有大量能夠?qū)﹄姶挪óa(chǎn)生散射或吸收效果的煙幕粒子；其次,煙幕粒子能夠在大氣中通過擴(kuò)散形成足夠濃度和尺寸的煙幕云團(tuán),在制導(dǎo)武器和保護(hù)目標(biāo)之間形成有效屏障[4-6]。在煙幕技術(shù)領(lǐng)域,煙幕粒子擴(kuò)散特性的研究一直是一個難點(diǎn)和熱點(diǎn),人們利用各種計(jì)算模型對煙幕云團(tuán)的擴(kuò)散特性進(jìn)行計(jì)算和模擬,高斯擴(kuò)散模型和隨機(jī)游走模型是該領(lǐng)域最常用的兩個計(jì)算模型[7-8]。特別是隨機(jī)游走模型,它基于拉格朗日算法,不受平衡和均勻假設(shè)的限制,擴(kuò)散過程與時(shí)間相關(guān),具有廣泛的適用性[9-10]。在隨機(jī)游走模型中,輸入煙幕施放源參數(shù)、風(fēng)場參數(shù)、溫度場參數(shù)以及其他相關(guān)參數(shù),可以較為準(zhǔn)確的模擬出煙幕的擴(kuò)散尺寸以及濃度分布情況。電磁波會從任何可能的方向穿過煙幕云團(tuán),在計(jì)算模擬中需要準(zhǔn)確得到煙幕云團(tuán)沿任意路徑的濃度變化情況,從而計(jì)算出電磁波沿這一路徑穿過云團(tuán)時(shí)的透過率,得到煙幕云團(tuán)對電磁波的衰減效果。文獻(xiàn)中關(guān)于隨機(jī)游走模型本身的介紹較多,在實(shí)現(xiàn)任意方向和角度的計(jì)算和分析方面,目前沒有公開可見的報(bào)道。本文基于空間幾何坐標(biāo)變換原理、線性代數(shù)矩陣運(yùn)算方法以及煙幕材料消光理論,推導(dǎo)了煙幕擴(kuò)散模型中電磁波入射方向改變時(shí)的坐標(biāo)系變換矩陣、積分濃度及透過率計(jì)算公式,為煙幕擴(kuò)散模型的多角度(方向)數(shù)據(jù)分析、煙幕云團(tuán)圖像處理以及更多應(yīng)用場景中的使用奠定了基礎(chǔ)。

2 透過率的計(jì)算

在煙幕隨機(jī)游走模型中,需要構(gòu)建一個長方體形狀的計(jì)算區(qū)域,煙幕施放點(diǎn)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),施放出的所有煙幕粒子都在該計(jì)算區(qū)域里擴(kuò)散運(yùn)動,通過隨機(jī)擴(kuò)散模型可模擬煙幕粒子在該三維空間中的分布情況。計(jì)算模擬時(shí)一般將計(jì)算區(qū)域被劃分為若干網(wǎng)格,設(shè)坐標(biāo)軸x、y、z三個方向的網(wǎng)格精細(xì)度分別為Δx、Δy和Δz,則每個長方體小網(wǎng)格中的濃度可由式(1)計(jì)算得到[11]:

(1)

其中,C(i,t)為第i個網(wǎng)格在t時(shí)刻的質(zhì)量濃度;Q(t)為t時(shí)刻施放的煙幕粒子總質(zhì)量;ni(t)為t時(shí)刻第i個網(wǎng)格中的煙幕粒子數(shù)量;N為總的煙幕粒子數(shù)量。根據(jù)朗伯-比爾定律[12-13],電磁波經(jīng)過第i個網(wǎng)格的透過率Ti可表達(dá)為:

Ti=e-c(i,t)·ΔLi·α

(2)

其中,α為煙幕的質(zhì)量消光系數(shù);ΔLi為電磁波經(jīng)過第i個網(wǎng)格時(shí)的光程。

如果電磁波入射方向與任意一個坐標(biāo)軸方向平行,則很容易知道其經(jīng)過每個網(wǎng)格的光程。例如電磁波沿x軸穿過煙幕云團(tuán),則經(jīng)過每個網(wǎng)格的光程均為Δx,設(shè)x軸方向的網(wǎng)格數(shù)量為m,電磁波的初始能量為I0,則電磁波經(jīng)過第一個網(wǎng)格后的能量I1為I0·T1,經(jīng)過第二個網(wǎng)格后的能量I2為I0·T1·T2,以此類推,經(jīng)過第m個網(wǎng)格后的能量Im為I0·T1·T2…Tm。因此一束電磁波沿x軸經(jīng)過整個煙幕云團(tuán)的透過率Tx為:

(3)

Tx=e-α·Cx

(4)

顯然,只要知道了沿空間某一路徑L的積分濃度CL,就可以根據(jù)式(4)得到電磁波經(jīng)過該路徑后的透過率TL。

當(dāng)電磁波沿任意方向入射時(shí),無法準(zhǔn)確知道電磁波穿過每個網(wǎng)格時(shí)的路徑長度ΔL,從而無法準(zhǔn)確計(jì)算積分濃度。特別是把煙幕模型嵌入一個更大的視場中時(shí),煙幕模型中的坐標(biāo)只是相對坐標(biāo),無法根據(jù)該坐標(biāo)系的坐標(biāo)值進(jìn)行積分濃度的準(zhǔn)確計(jì)算,無法獲知任意方向入射的電磁波經(jīng)過該煙幕云團(tuán)時(shí)發(fā)生的衰減情況。煙幕擴(kuò)散模型中任意光路下積分濃度的計(jì)算和分析,以及該模型嵌入其他應(yīng)用場景中,均涉及到空間坐標(biāo)系的變換。

3 三維坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

實(shí)現(xiàn)任意光路積分濃度計(jì)算的基本思路是:建立一個新的空間幾何坐標(biāo)系O′(X′Y′Z′),其原點(diǎn)O′(0,0,0)與原坐標(biāo)系的原點(diǎn)O(0,0,0)重合,X′軸的方向?yàn)殡姶挪ㄈ肷浞较颍坏玫絻蓚€坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,使煙幕模型的空間坐標(biāo)可以在兩個坐標(biāo)系之間自由轉(zhuǎn)換；將煙幕云團(tuán)的空間坐標(biāo)由O(XYZ)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到O′(X′Y′Z′)坐標(biāo)系,然后可以計(jì)算得到煙幕在X′方向上的積分濃度分布和電磁波穿過煙幕云團(tuán)的透過率。

3.1 三維坐標(biāo)系的建立

新坐標(biāo)系O′(X′Y′Z′)與原坐標(biāo)系O(XYZ)的關(guān)系如圖1所示,兩個坐標(biāo)系均為右手坐標(biāo)系。圖中,X軸的正向?yàn)轱L(fēng)向,Z的正向?yàn)榈孛娴姆ň€方向,XOY平面為水平面,OR為電磁波入射方向(也是新三維坐標(biāo)系的X′軸),OR′為OR在XOY面上的投影。α角為OR與OR′的夾角,β角為OR′與X軸的夾角。根據(jù)地理關(guān)系,也可以把α角稱為俯仰角(0°～90°),β角稱為方位角(0°～360°)。

圖1 新三維坐標(biāo)系與原三維坐標(biāo)系的關(guān)系

3.2 空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣

要實(shí)現(xiàn)原坐標(biāo)系O(XYZ)和新坐標(biāo)系O′(X′Y′Z′)之間的轉(zhuǎn)換,需要求得它們之間的轉(zhuǎn)換矩陣,包括原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣M以及新坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣M′。

(1)M的推導(dǎo)

M的推導(dǎo)方法是:X′軸經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)操作,與X軸重合,得到原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣M。右手坐標(biāo)系中繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)操作均遵循右手法則,即右手拇指指向旋轉(zhuǎn)軸正向,其余四指的指向便是旋轉(zhuǎn)角的正方向[14]。

第一次旋轉(zhuǎn)操作:OR(即X′軸)繞Y′軸旋轉(zhuǎn)α角度,使OR與OR′重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(5)

旋轉(zhuǎn)后得到坐標(biāo)系O″(X″,Y″,Z″),其X″軸為OR′,Y″軸為OY′,Z″軸為過O(0,0,0)點(diǎn)垂直于X″O″Y″平面的方向。

第二次旋轉(zhuǎn)操作:OR′繞Z″軸旋轉(zhuǎn)(-β)角度,使OR′與X軸重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(6)

整個過程的轉(zhuǎn)換矩陣為:

M=My·Mz

(7)

利用轉(zhuǎn)換矩陣M,可以實(shí)現(xiàn)原坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)(x,y,z)到新坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,即

(8)

(2)M′的推導(dǎo)

M′推導(dǎo)過程是M的逆過程,操作方法是:X軸經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)操作,與X′重合,得到新坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣M′。

第一次旋轉(zhuǎn)操作:X軸繞Z軸旋轉(zhuǎn)β角度到OR′,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(9)

旋轉(zhuǎn)后得到坐標(biāo)系O1(X1Y1Z1),其X1軸為OR′,Z1軸為OZ,Y1軸為過O(0,0,0)點(diǎn)垂直于X1O1Z1平面的方向。

第二次旋轉(zhuǎn)操作:OR′繞Y1軸旋轉(zhuǎn)(-α)角度,使OR′與OR重合,其轉(zhuǎn)換矩陣為:

(10)

經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn),完成了X軸到OR軸的變換,整個過程的轉(zhuǎn)換矩陣為:

(11)

(12)

(3)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合的情況

有時(shí)將煙幕擴(kuò)散模型嵌入另外一個場景中,此時(shí)兩個轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系的原點(diǎn)不重合,設(shè)原坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在新坐標(biāo)系中的值為(a,b,c),則原坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)(x,y,z)在新坐標(biāo)系中可表示為:

(13)

(14)

4 煙幕積分濃度分布計(jì)算

4.1 二維坐標(biāo)系

以三維坐標(biāo)系O′(x′y′z′)的X′軸為投影方向,Y′O′Z′平面為投影幕,可以得到如圖2所示煙幕云團(tuán)二維投影坐標(biāo)系,求得二維坐標(biāo)系中每點(diǎn)的煙幕積分濃度,則得到煙幕云團(tuán)在X′軸方向的積分濃度二維分布圖,進(jìn)而可以計(jì)算電磁波經(jīng)過二維投影圖中任意一點(diǎn)的透過率。

圖2 煙幕二維視場坐標(biāo)系

煙幕云團(tuán)所在的三維空間投影到Y(jié)′O′Z′平面,在Y′軸上的最大值和最小值分別為y1和y2,在Z′軸上的最大值和最小值分別為z1和z2,因此煙幕的投影區(qū)域?yàn)榫匦蜲″ABC所包含的區(qū)域。投影區(qū)域的四個頂點(diǎn)O″、A、B、C的坐標(biāo)分別為(y2,z2)、(y1,z2)、(y1,z1)和(y2,z1)。將坐標(biāo)系原點(diǎn)O′平移到O″,兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

(15)

4.2 煙幕積分濃度和透過率的計(jì)算

在投影區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)(y″,z″)上煙幕的積分濃度為:

(16)

其中,x1和x2分別為煙幕體在X′軸方向的最小值和最大值,Δx為X′軸方向的計(jì)算精度,y′、z′與y″、z″的關(guān)系為:

(17)

(x′,y′,z′)在原坐標(biāo)系對應(yīng)的點(diǎn)為(x0,y0,z0),根據(jù)式(8)可得:

(18)

從而得到:

C(x′,y′,z′)=C(x0,y0,z0)

(19)

根據(jù)朗伯-比爾定律,電磁波沿X′軸方向經(jīng)過點(diǎn)(x′,y′,z′)的透過率T為:

(20)

5 總 結(jié)

通過以上推導(dǎo),得到了煙幕隨機(jī)游走模型中三維坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,通過轉(zhuǎn)換矩陣可以很方便地實(shí)現(xiàn)新舊坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換,計(jì)算煙幕云團(tuán)沿任意路徑的積分濃度和電磁波衰減率。同時(shí),推導(dǎo)了煙幕積分濃度的二維投影算法,可計(jì)算出任意投影面上的積分濃度分布情況和電磁波透過該點(diǎn)的透過率,為煙幕擴(kuò)散模型在多角度數(shù)據(jù)分析、煙幕云團(tuán)紅外圖像處理、更多場景中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。