數學方法在高中生物遺傳學中的應用舉例

黃清亮

1牛頓二項式定理在生物學科中的應用舉例

二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1665年提出。該公式為：（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2an-2b2+...+Cn-1a1bn-1+Cna0bn.

很明顯，上述定理中的通項式為：T=Cran-rbr.r+1n

下面介紹利用上述通式解決遺傳學相關計算問題。

【例1】弱智為隱性基因控制，正常雜合的雙親若有4個孩子，請回答：14個孩子均不正常的概率為多少？24個孩子均正常的概率為多少？33個正常1個弱智的概率是多少？答案與解析：假定雙親的基因型為Aa，則子女基因型AA、Aa、Aa，其比例為為1∶2∶1，正常與弱智的比例為（3∶1）于是各種情形之概率與（3/4正常+1/4弱智）4的各項展開式對應：

1全不正常：C04（3/4）0（1/4）4=（1/4）4=1/256;

2全部正常：C4（3/4）4（1/4）0=（3/4）4=81/256;

3431333個正常1個弱智：C（3/4）（1/4）=4×（3/4）1（1/4）=27/64.

【例2】（高考題改編）基因型為AaBbDdEeGgHhKk的個體自交，假定這7對等位基因自由組合，請回答：11對等位基因雜合、6對等位基因純合的概率為多少？25對等位基因雜合、2對等位基因純合的概率為多少？

答案與解析：含一對等位基因Aa的雜合個體，自交后代基因型為AA、Aa、aa，其中純合體比例為1/2，雜合子比例也為1/2。

同理：

1對等位基因雜合，6對等位基因純合的概率為：C17（1/2）1（1/2）6=7/128.

5對等位基因雜合，2對等位基因純合的概率為：C57（1/2）5（1/2）2=21/128.

【例3】基因型為AaBb（不連鎖）的個體自交得到的后代表現型比例是怎樣的？

答案與解析：Aa與Aa雜交，子代基礎型為AA、Aa、aa（1∶2∶1），即A（_3/4）、_a（a1/4）。

同理：Bb與Bb雜交，后代為B_（3/4）、bb（1/4）。

將，1/4代入二項式（a+b）n=（3/4+1/4）2

=（3/4）2+2×3/4×1/4+（1/4）2=9/16+6/16+1/16。

這說明雙顯個體A_B_所占比例為9/16，單顯個體A_bb和aaB_各自占3/16，雙隱個體占1/16。

2放大縮小原理在遺傳學比例計算中的應用

在解答遺傳學問題時，常要對配子比例、基因型比例、表現型比例進行分配。例如，Aa個體自交后代的基因型、表現型比例可以寫成如圖1所示。

第一種寫法：

第二種寫法：

上述第二種寫法，其實就是在第一種算法基礎上放大4倍的效果。這兩種寫法孰優孰劣，其實是因題而異，如果能在計算過程中恰當地選擇其中一種寫法，可以在一定程度上提升解題的速度和結果的準確性。

【例4】在一個生物種群中AA∶Aa=3∶4，若所有個體進行自由交配，其后代基因型比和表現型比分別為多少？

答案與解析：1方法一：分數形式（圖2）。

由于雌雄配子比例一致，因此，可直接利用棋盤法，見表1。

2方法二：整數形式（圖3）。

利用棋盤法計算結果見表2。

基因型AA∶Aa∶aa的比例為25∶10∶4;表現型顯性∶隱性的比例為45∶4。兩種方法都可以得到以上結果，但在直觀性和簡潔性上，整數形式要優于分數形式，而計算某種基因型概率時，分數形式則會顯得更直接。

【變式】在一個生物種群中AA與Aa的比例為3∶4，若所有個體進行自由交配，a雌配子有1/3致死，其后代基因型比和表現型比分別為多少？

答案與解析：該題采用整數形式解題比較方便。原雌配子A與a的比例為5∶2，a雌配子有1/3致死，則雌配子A與a比例變為4∶（4/3），即15∶4。利用棋盤法計算結果見表3。

由表3可知，基因型：AA∶Aa∶aa的比例為75∶50∶8;

表現型顯性∶隱性的比例為125∶8

如果上述情況，還采用分數形式表達，過程將變得非常繁瑣。因此，遇到此類情況，棋盤法最好采用整數形式，并且在計算某種基因型的概率時也很簡潔，如上述棋盤中Aa個體所占的比例的計算，總的后代個體數=（5+2）×（15+4）=133，而Aa為50，因此，后代中Aa個體的概率為50/133。

【例5】AaBb（兩對等位基因不連鎖）個體自交得到的F1中的所有雙顯個體，再分別自交，則它們的F2中各表現型比例為多少？

答案與解析：本題若采用常規算法，可以得出正確答案，但解題速度上較慢，如果采用如下方法，可快速得出答案。AaBb自交后代如圖4所示。

雙顯個體的基因型有AABB、AaBB、AABb、AaBb，其比例為1∶2∶2∶4。

1不考慮前面系數直接寫出后代表現型比（圖5）。

2將后邊后代個體總數統一成比例1∶2∶4。

未進行放大前，上述幾種基因型自交后代個體總數比例為1∶4∶4∶16，很明顯要將該比例變換成1∶2∶2∶4，只需要將前三種基因型的個體的后代總數進行放大，即分別放大4倍，放大2倍，放大2倍，然后，得到圖6所示結果。

3將各種表現型個體比例對應累加。最終得到表現型比為：雙顯∶一顯一隱∶一隱一顯∶雙隱=25∶5∶5∶1

3加法原理和乘法原理在遺傳概率計算中的運用

加法原理：當一個事件出現時，另一個事件就被排除，這樣的兩個事件即為互斥事件。這種互斥事件發生的概率為兩個事件發生的概率之和。

乘法原理：當兩個互不影響的獨立事件，同時發生或相繼發生時，其概率為兩個事件各自獨自發生的概率的乘積。

在計算兩種遺傳病的患病概率問題時，各患病情況的概率即是運用加法原理和乘法原理進行計算。

單獨考慮一種病時，若甲病患病概率為m甲，則不患甲病的概率為1-m甲;若乙病患病概率為n乙，則不患乙病的概率為1-n乙;兩種病都要考慮時，結果見表4。

其實，在進行各類遺傳概率計算時，均是交替運用加法原理和乘法原理。例如，計算某種表現型概率時，除直接計算外，也可將與之相關的各種基因型概率進行相加。計算兩對等位基因以上某種基因型概率，可以先分別單獨計算一對等位基因的某種基因型概率，再利用乘法原理得出結果。再如，利用哈代-溫伯格定律計算基因型頻率、基因頻率，也是上述兩種原理的應用。

4數學極限思想的應用

完全顯性的一對相對性狀的雜合子（Aa）連續自交，子Fn代的各種情況及比例見表5。

利用數學中極限的觀點，如果n→+∞，則Fn雜合子所占比例無限接近于0，純合子則無限接近于1，而顯性純合子和隱性純合子則無限接近于1/2。這種利用數學中的極限思想來幫助學生理解生物學相關知識的方法，將有助于啟發學生運用數學思維學習自然學科的興趣和意識。

5集合思想在遺傳學概念學習中的運用

圖7為子集模型，清楚地反映了幾個生物學概念包含與被包含之間的關系，有助于學生理解知識的內涵與外延，以此達到建構知識體系的目的。

圖8為交集模型，用數學中交集圖示核苷酸的組成，很直觀地表述了DNA與RNA在化學組成上的區別，有助于學生對相關概念的辨析和理解。

此外，數學中的反證法在遺傳學中也常有應用，至此，就不一一贅述。

教學過程中，生物學教師若經常能以數學思維引領學生理解內化紛繁復雜的生物學核心概念，這也將改變以往學生普遍認為生物是理科中文科的認知。因此，教師在挖掘生物與數學之間的交叉問題上，可以多做思考和探索。