基于狀態空間的輪系分析統一數字模型

邱 俊，王 德 倫，馬 雅 麗

( 大連理工大學 機械工程學院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

在齒輪箱的設計過程中，設計者根據給定的工況條件進行齒輪傳動方案的設計，通常情況下會得到很多輪系方案．為了確定傳動輪系的最佳設計方案，需要對輪系進行分析，但對于構型復雜的輪系，采用一般傳動鏈的傳統運動學分析方法[1-3]難以高效率地完成大量設計方案分析比較．究其原因是未針對任意輪系建立統一的數字模型，計算機無法實現對輪系方案的快速識別與分析．

為此，國內外學者采用多種方法針對復雜輪系分析進行了研究．基于輪系單元的輪系運動學分析方法[1-6]，將周轉輪系分解成若干個基本周轉輪系或輪系單元組的輪系單元進行分析，但缺少對基本單元的定義和基本單元內部聯系的討論．利用圖論畫出表示輪系構件連接關系的拓撲圖[7-9]或者離散圖[10]表示輪系構件連接關系，建立輪系分析模型可以對輪系運動傳遞有直觀的認識．而王德倫等[11]借鑒機械設計的矩陣分解方法以及控制理論中的狀態空間概念建立了機械運動變換狀態空間表示方法，文獻[12-15]在其基礎上對并聯、混聯以及多自由度機構建模進行了研究，但是復雜輪系結構復雜，易形成多環運動和動力傳遞路徑，在分析上具有特殊性．本文針對復雜輪系運動、動力、結構等多元特征，借鑒基于機構變換單元的狀態空間方法建立輪系統一數字模型，通過編程實現對任意復雜輪系的數字化識別與分析．

1 輪系基本單元狀態變換方程

1.1 輪系基本單元

齒輪傳動實現了由輸入軸到輸出軸的運動特征、動力特征、結構特征(空間方位)的傳遞與改變．任意一個復雜的輪系傳動都可以看成內嚙合和外嚙合輪系傳動單元的組合，因此有：

定義1將一對外嚙合或內嚙合齒輪傳動機構定義為輪系基本單元．

組成輪系基本單元的構件稱為基本構件，為統一表達和利于數字化編程，用數字編號代表基本構件，如圖1所示．若機架與非機架基本構件相固結，則形成單自由度基本單元；若機架為單獨的基本構件，則形成兩自由度基本單元．

輪系中基本構件的狀態特征可以由運動、動力、結構特征構成[11]，而輪系基本單元承擔著輪系中最基本的功能——將輸入構件狀態特征轉換為輸出構件的狀態特征．本文提出利用輸入、輸出特征矢量與特征矢量變換方程來描述輪系基本單元的功能與性質，采用向量-矩陣-方程的表達策略實現基本單元輸入、輸出特征狀態轉換關系，探討輸入、輸出構件變換、機架變換等基本單元變換規律，建立基本單元之間典型的鄰接關系，通過計算機編程，形成任意復雜輪系轉速、轉矩、功率流等數字化分析方法．

1 太陽輪；2 行星輪；3 內齒圈；4 行星架；5 機架

1.2 輪系坐標系

為清楚地表達輪系中基本單元、基本構件之間空間位置的關系，建立輪系基本單元坐標系(O-XYZ)、輪系基本構件坐標系(o-xyz)，如圖2所示．

圖2 輪系坐標系

(1)輪系基本單元坐標系(O-XYZ)

坐標系固定在基本單元機架上，以基本單元回轉中心(太陽輪、內齒圈、行星架回轉中心、行星輪公轉回轉中心)為原點，以回轉中心軸向為Z軸方向，X軸方向垂直于機架平面，Y軸方向垂直于XOZ平面．

(2)輪系基本構件坐標系(o-xyz)

坐標系固定在基本構件上，以基本構件回轉中心為原點，以回轉中心軸向為z軸方向，x軸方向垂直于構件平面，y軸方向垂直于xoz平面．

通過坐標變換就可以實現任意輪系基本構件的空間方位矢量在整體坐標系下的變換，并可以寫出基本構件特征矢量在整體坐標系下的確切表達．

1.3 狀態變換方程

輸入、輸出構件的狀態特征可以由表達基本構件運動、動力和結構特征(方位)狀態的最小數目的變量有序集合進行表示，通常用輪系中構件的轉速、轉矩以及構件方位矢量來描述，寫成多維矢量的形式，輸入狀態特征矢量Ri和輸出狀態特征矢量Ro分別表示為

(1)

(2)

式中：ωi、ωo分別為輸入、輸出構件的轉速矢量；Mi、Mo分別為輸入、輸出構件的轉矩矢量；ri、ro分別為輸入、輸出構件的方位矢量．

通過輪系基本單元可以建立輸入、輸出構件狀態特征矢量的變換關系，可以寫成矩陣形式，稱為特征矢量變換矩陣A．輪系基本單元輸入、輸出狀態特征矢量變換關系可以表示為

Ro=A·Ri

(3)

其中A為n×n矩陣，n為Ri、Ro的維數．

定義2式Ro=A·Ri表達了輪系基本單元的輸入、輸出狀態特征矢量的變換關系，稱為基本單元特征矢量狀態變換方程，簡稱狀態變換方程．

1.4 輪系基本單元狀態變換矩陣

對于單自由度輪系單元，一個輸入特征矢量，一個輸出特征矢量，輪系狀態變換方程如式(3)所示．對于兩自由度基本單元，兩個輸入特征矢量，一個輸出特征矢量，輪系狀態變換方程表示為

Ro=A1·Ri1⊕A2·Ri2

(4)

其中矩陣Aj(j=1、2)描述特征矢量中各變量之間的關系，稱為特征矢量變換矩陣；符號⊕為狀態特征矢量相加符號．

單自由度輪系單元轉速、轉矩、方位由輸入構件到輸出構件的狀態變換方程基本形式為

(5)

兩自由度輪系單元具有兩個輸入構件，一個輸出構件，因此兩自由度輪系單元狀態矢量變換方程的基本形式為

(6)

式(5)、(6)中λj1、λj2、λj3(j=1、2)分別為特征矢量變換矩陣Aj(j=1、2)中轉速、轉矩、方位矢量的變換子矩陣．在基本單元坐標系下，任意構件特征矢量中的轉速、轉矩、方位矢量可以分解為坐標上的投影：

狀態特征矢量相加運算的條件：兩狀態特征矢量相加需要滿足空間方位矢量相同．兩狀態特征矢量相加是對于同一單元中同一構件而言的，相加的結果矢量中的轉速和轉矩分別為兩狀態特征矢量中轉速和轉矩對應分量之和，結果矢量的空間方位坐標不變．

ω3=ω2+ω1

M3=M2+M1

r3=r2=r1

2 輪系基本單元的變換

齒輪基本單元作為一般機構運動鏈，可以進行輸入、輸出變換(圖3)和機架變換(圖4)，而對應的輸入構件、輸出構件的運動、動力、結構特征狀態隨之改變．

任何復雜輪系都是由內嚙合和外嚙合輪系基本單元通過輸入、輸出變換和機架變換后，按照一定的規律互相鄰接形成的．圖3(a)所示兩自由度輪系單元的狀態變換方程為

R2=A1·R1⊕A2·R4

(7)

根據轉速、轉矩、方位矢量的變換規律可推導Aj(j=1、2)是可逆的，因此可以得到圖3(b)所示兩自由度輪系單元的狀態變換方程為

(8)

將基本構件4-行星架與5-機架固定，可以得到如圖4(b)所示單自由度輪系單元的狀態變換方程為

(9)

其中F為表示基本構件與機架固定的位運算，將R4中的轉速分量ω置零，因轉矩是通過轉速比表達，進一步可以得到

(10)

式(7)～(10)實現了輪系基本單元輸入、輸出變換，機架變換的數學表達，輪系基本單元特征矢量通過一定的運算規律可以得到任意的輪系單元，這些運算規律將用于輪系分析中，實現輪系單元的數字化識別．

3 輪系單元間的鄰接數學模型

3.1 輪系單元間的鄰接關系

任何復雜輪系都是由輪系單元按照一定規律鄰接構成的，為了方便表述，用帶箭頭的線段和框圖來表示輪系單元．經分析，發現任意兩個輪系單元存在串聯鄰接與并聯鄰接兩種典型鄰接關系．圖5(a)所示輪系單元串聯鄰接關系，其特點為前置單元的輸出構件與后置單元的輸入構件合并，狀態特征矢量通過合并的基本構件進行傳遞；圖5(b)所示輪系單元并聯鄰接關系，其特點為兩個輪系單元的輸入或輸出基本構件合并，狀態特征矢量通過合并的基本構件進行傳遞．

輪系單元鄰接會導致基本構件的合并，引起輪系傳動鏈自由度的變化．若兩個輪系單元鄰接，其自由度滿足以下關系：

D=D1+D2-N

(11)

其中D為兩個輪系單元鄰接組成輪系的自由度；D1和D2分別為兩個輪系單元的自由度；N為合并構件數目．

考慮輪系單元自由度的約束，兩個輪系單元鄰接關系如表1所示．

表1 兩個輪系單元鄰接關系

3.2 輪系單元間鄰接關系矩陣

兩個輪系單元鄰接，基本構件的轉速、轉矩、方位矢量需要滿足鄰接規律．兩輪系單元串聯鄰接時，討論的是前置單元輸出構件狀態特征矢量Ro1與后置單元輸入構件的狀態特征矢量Ri2之間的關系；兩輪系單元并聯鄰接時，討論的是兩并列單元輸入(或輸出)Ri1與Ri2狀態特征矢量與合并的基本構件狀態特征矢量Ri之間的關系．

(1)轉速矢量

兩輪系單元串聯或者并聯鄰接，合并的兩個基本構件轉速矢量必須相同，即兩個基本構件的轉速大小和方向相同．

(2)轉矩矢量

兩輪系單元串聯或者并聯鄰接，合并的兩個基本構件轉矩滿足

Mik=t·M

(12)

式中：Mik為合并構件的轉矩矢量；M為輸入或輸出的轉矩矢量；t為轉矩分配系數矩陣，是對角陣，根據同一構件轉矩平衡可知，矩陣參數tk滿足

對于兩自由度輪系單元求解轉矩時需要利用相對運動原理(即反轉法)附加補充方程．

(3)方位矢量

兩輪系單元串聯或者并聯鄰接，合并的兩個基本構件方位矢量必須相同．

根據以上基本構件鄰接規律，可以得到兩輪系單元串聯鄰接(圖5(a))，前置單元輸出矢量與后置單元輸入矢量之間轉換關系的數學表達如下：

Ri2=C·Ro1

(13)

式中：C為輪系單元串聯鄰接矩陣；Ro1為前置單元輸出矢量；Ri2為后置單元輸入矢量．

其中E為單位陣．

兩輪系單元并聯鄰接(圖5(b))，總輸入、輸出矢量與兩輪系單元輸入、輸出矢量之間的轉換關系的數學表達如下：

Ri1=G1·Ri，Ri2=G2·Ri

(14)

式中：G1、G2為輪系單元并聯鄰接矩陣；Ri為總輸入矢量；Ri1、Ri2為兩輪系單元輸入矢量．

3.3 復雜輪系拆分

基于輪系基本單元與輪系狀態空間的輪系分析方法，需要將原輪系拆分成輪系基本單元的形式．輪系拆分成基本單元的規則：輪系中一對齒輪嚙合對應一個輪系基本單元．例如對圖6所示差動輪系進行拆分，可以得到圖7由4個輪系基本單元組成的輪系．

為清楚地表達拆分成基本單元的輪系，采用狀態矢量變換框圖(圖8)的形式進行表達．

在狀態矢量變換框圖中各符號意義為：Ri、Ro分別代表輪系的輸入、輸出的狀態矢量；Rmn代表單元的狀態矢量，U-m表示輪系單元，其中m為單元編號，n為基本構件編號；Cab表示輪系單元串聯鄰接，a為前置單元編號，b為后置單元編號；Gq表示輪系單元并聯鄰接矩陣，q為并聯鄰接序號．

圖6 差動輪系

圖7 差動輪系的拆分

圖8 差動輪系矢量變換框圖

4 輪系狀態空間及其性質

定義3所有輪系單元對應的狀態特征矢量的集合稱為輪系特征矢量狀態空間，簡稱輪系狀態空間．

在輪系狀態空間中，一個輪系單元總可以找到成對的狀態特征矢量(單自由度輪系單元)或者3個狀態特征矢量(兩自由度輪系單元)與之對應，分別稱為兩對偶矢量和三對偶矢量，統稱為對偶矢量．輪系單元、對偶矢量、變換矩陣三者是一一對應的．式(1)、(2)中輸入、輸出特征矢量是任意的，滿足加法和乘法矢量運算，這是形成矢量空間的基本條件，但狀態特征矢量描述的是基本構件的物理狀態，因此形成的矢量空間具有特殊性．狀態特征矢量在輪系狀態空間中總是以輸入、輸出對偶的形式出現，兩對偶矢量可以表示為RiRo，三對偶矢量可以表示為Ri1Ri2Ro．

設BiBo、CiCo、DiDo、EiEo、BiCiDo屬于輪系狀態空間Ω，則有如下性質：

(1)加法

BiBo⊕CiCo=BiCiDo

其中Bo、Co、Do滿足狀態特征矢量相加運算條件，該性質為兩自由度輪系單元的狀態特征矢量之間的運算規律．

(2)加法交換律

BiBo⊕CiCo=CiCo⊕BiBo

該性質說明兩自由度輪系單元的兩個輸入狀態特征矢量的地位是同等的．

(3)乘法

BiBo·CiCo=BiCo

該性質表明了兩個串聯輪系單元的狀態特征矢量之間的運算規律．

(4)乘法結合律

BiBo·CiCo·DiDo=BiBo·(CiCo·DiDo)

(5)乘法交換律

BiBo·CiCo=CiCo·BiBo

性質(4)和(5)表明兩個輪系單元串聯，前后位置基本單元的地位一致．

(6)乘法分配率

BiBo·(CiCo⊕DiDo)=BiBo·CiCo⊕BiBo·DiDo

該性質表明了串并聯復雜輪系的狀態特征矢量的運算規律．

(7)數乘

α是常量，α·BiBo∈Ω．

該性質表明使對偶矢量的數值擴大或縮小，并不改變對偶矢量的性質，對偶矢量代表輪系單元的固有屬性．

(8)可逆

該性質表明輸入、輸出狀態特征矢量的可逆性，說明了輪系狀態特征的可逆性．

以上運算性質說明輪系狀態特征矢量構成了一個特殊的線性空間，利用這些運算性質可以實現輪系單元的自由組合，形成串聯、并聯、反饋不同形式的輪系，可以將復雜的輪系結構進行解構，清楚地表達多環運動和動力傳遞路徑，對進行輪系分析以及形成輪系設計中輪系單元狀態特征矢量的運算奠定了基礎．

5 輪系分析的狀態空間方法

將復雜輪系拆分成輪系基本單元，由輪系基本單元變換得到輪系單元的狀態矢量變換矩陣，根據輪系單元間鄰接關系建立狀態矢量變換方程組并進行求解，就是輪系分析的過程．根據狀態矢量變換矩陣分解規則，將輪系總體狀態矢量變換矩陣分解成子矩陣，將子矩陣對應的輪系單元按照一定的組合規律進行組合，形成不同的輪系方案，就是輪系設計的過程[16]．

復雜輪系分析的狀態空間方法流程為：首先按照輪系拆分規則對原輪系進行拆分，得到由基本單元組成的輪系，根據輪系基本單元的變換運算規律得到輪系中對應的輪系單元；根據單元間的鄰接關系形成狀態矢量變換方程，將狀態矢量變換方程寫成基本單元狀態變換矩陣的形式，通過編程對方程組進行求解，得到每個構件的轉速、轉矩，進而得到每個構件傳遞的功率以及功率的傳遞方向．現以一個復雜輪系(圖9)為例，利用輪系分析的狀態空間方法對其進行分析．

圖9 復雜輪系

各齒輪的齒數分別為z1=24、z2=60、z3=17、z4=20、z5=57、z6=22、z7=72，輪系輸入轉速為15 r/min，輸入轉矩為100 N·m，求解輪系各構件的轉速、轉矩，并分析輪系中功率流向．

(1)按照輪系中一對齒輪嚙合對應一個輪系單元的拆分規則，將復雜輪系拆分成輪系單元的形式，得到如圖10所示輪系，共得到4個輪系基本單元．

(2)對于如圖10所示的輪系單元都可以由輪系基本單元通過機架變換和輸入、輸出變換得到，即通過確定輪系基本單元輸入、輸出構件以及機架就可以通過狀態矢量運算得到對應輪系單元的狀態變換方程，通過編程可以實現復雜輪系的數字化識別與表達，得到以下方程組：

圖10 復雜輪系拆分

輸出矢量

Ro=G32·G22·R44

(3)對應以上狀態矢量變換方程，根據各個輪系單元狀態變換矩陣，識別單元之間的鄰接關系，自動得到輪系單元間鄰接矩陣．

(4)采用高斯消去法與牛頓迭代法共同求解構成的非齊次線性方程組，可以得到輪系各個構件的轉速與轉矩(見表2)．由轉矩和轉速可以求得通過每個構件的功率，功率為正值，則為輸入功率，流入單元；功率為負值，則為輸出功率，流出單元．根據計算結果畫出功率實際流向，如圖11所示．

根據以上案例可以得出結論，基于狀態空間的輪系分析統一數字模型，可以將復雜的輪系結構進行解構，清楚地表達多環運動和動力傳遞路徑，可以實現對任意復雜輪系的數字化識別與自動化分析．

表2 輪系分析結果

圖11 輪系功率流向圖

6 結 論

(1)輪系基本單元狀態特征矢量及狀態變換方程能夠準確地描述輪系基本單元的運動特征、動力特征、結構特征的傳遞變換關系，是建立輪系分析統一數字模型的基礎．

(2)輪系基本單元輸入、輸出對偶矢量構成輪系狀態空間，對偶矢量運算規則揭示了輪系基本單元變換規律以及單元之間的鄰接關系，共同決定了輪系狀態空間的性質，為輪系分析建立統一的數字模型提供了理論基礎．

(3)本文提供了一種任意復雜輪系數字化識別與分析的數字模型，為輪系方案設計階段大量構型分析提供了運動、動力以及功率流快速、準確的數字化分析方法．