對稱性在積分計算中的運用

尹松庭

（銅陵學院 數學與計算機學院,安徽 銅陵 244000）

0 引言

高等數學介紹了定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分及第二類曲面積分，而對于每種積分計算都探討了相關的對稱性。由于六種積分分成幾個章節先后學習的，因此在課堂上學習積分對稱性比較分散，難以統一[1-3]。其次，目前關于探討各種積分對稱性的文獻很多，而這類文獻在介紹積分對稱性時，往往列出各種對稱性定理，而且表述繁瑣，卻極少給出各種對稱性的內在聯系[4-10]。因此，對于這些數量多內容相似的對稱性定理難以區分和牢記，更不能靈活運用。本文將對六種積分的計算進行分類，抓住它們對稱性的共性及本質特征，即將對稱性分成奇偶與輪換兩種，把定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分歸為一大類，而把第二類曲線積分及第二類曲面積歸為另外一大類，然后給出“代表性”的對稱性定理。

1 奇偶對稱性

注：定理1 是以二重積分為例，完全類似的結論對于定積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分仍然成立。

例2計算其中D 為單位圓域在第一象限的部分。

解：用直線將D 分為全等的兩部分，則對應點處的坐標分別為根據定理1，函數（表示橫坐標減去縱坐標）的積分恰好抵消為零。故

注：定理2是以第二類曲面積分為例。事實上，類似的結論對于第二類曲線積分仍然成立。與定理1 不同在于，第二類曲面（曲線）積分的對稱性不僅要考慮被積函數的對稱性，還要考慮積分曲面（曲線）的方向性。

例3計算及，其中L 表示半徑為圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向。

解：顯然，曲線L 分為左右全等的兩部分，且在對應點處被積函數相等。對于，L 的左右兩部分方向相反（一個向上一個向下）。故由定理2得出，

這里的第二個等號用到了下面要介紹的輪換對稱性。

2 輪換對稱性

在定積分計算中，我們熟悉下面的性質

定理3設積分范圍具有輪換對稱性，表示集合{1,2,3}中任意一個輪換，則函數在上的積分滿足

注：如果表達式對于部分坐標是對稱的，我們稱具有部分輪換對稱性。此時可以得到與定理3 相應的結果。具體表述由讀者補充。

證明：由于具有輪換對稱性，故對于任意的輪換（作用在坐標分量上相當于空間中的一個坐標旋轉或鏡面反射），總有由于可逆，故

故利用曲線方程化簡被積函數可得

3 總結

本文用三個定理概括了六種積分對稱性。這些定理凸顯了積分對稱性的內在聯系和共同特征，且便于記憶，容易掌握?？傊?，我們要抓住三點：積分范圍具有對稱性；被積函數在對應點處的值相等或相反；如果涉及第二類積分，要考慮積分范圍的方向。