基于遲滯觀測器的壓電堆補償控制

胡佳明， 朱曉錦， 方昱斌， 高志遠， 苗中華

(上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072)

由于壓電作動器具有結構剛度高，響應速度快等特點被廣泛應用于能量收集[1]、振動抑制[2]、精密系統控制等[3]場合。但壓電材料本身包含的遲滯效應常常限制了壓電作動器的控制精度[4]，例如在高精度的控制臺中，遲滯效應可帶來高達10%～15%的控制誤差[5]。

遲滯效應為一種帶有局部記憶特性的非線性環節。為了描述遲滯效應，學者們提出了眾多的壓電堆數學模型，這其中就包括了Bouc-Wen模型[6-8]。由于Bouc-Wen易于進行遲滯補償因此被廣泛應用于工程領域[9]。例如：文獻[10]探討了針對Bouc-Wen模型的前饋加PI反饋補償控制。文獻[11]結合逆Bouc-Wen模型和PID控制實現了壓電堆APA120S的跟蹤控制。文獻[12]研究了多自由度壓電堆掃描平臺的控制，其中采用了多維的逆Bouc-Wen模型。

然而，Bouc-Wen模型中的不確定因素使得逆遲滯模型在工程實踐中受到限制。為了解決這一問題，基于遲滯觀測器的補償系統設計成為壓電控制領域一大熱點問題。文獻[13]將遲滯現象視為有界擾動，設計了擾動觀測器；文獻[14]提出了一種卡爾曼濾波觀測器；類Luenberger觀測器研究可見文獻[15-17]。

對于壓電控制器的設計問題，前饋控制器和反饋控制器都有學者進行了研究。文獻[18]采用了一種自適應滑模控制器；Li等設計了PID滑模控制器，并應用在多維操作平臺中；Royson等則采用了PID控制。文獻[19]使用了多通道FULMS算法對壓電機敏柔性梁進行了主動振動控制。文獻[20]研究了非對稱Bouc-Wen模型的辨識與前饋補償；文獻[21]通過運用高增益觀測器克服了壓電材料中的遲滯特性，并提出了一種基于神經網絡的自適應控制器。

為提升跟蹤控制精度，本文建立了一套基于遲滯補償的壓電堆自適應控制系統。其中包括了一個類Luenberger觀測器和反步滑模控制器。新觀測器的設計基于滑模控制理論和線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)技術設計，相比于上述已有的研究，新設計的觀測器魯棒性更強。具體表現在：通過矩陣不等式縮放的方式消除掉了模型中不確定因素帶來的影響；基于H∞引理保證了遲滯觀測器在系統受到外界擾動時的魯棒性。其次，考慮到觀測器在遲滯補償過程中的誤差，本文設計了一種基于反步滑模控制理論的跟蹤控制器，新設計的控制器可以有效提升壓電堆的控制精度，具有一定的魯棒性。最后，通過實驗驗證了所設計控制系統的控制性能。

1 引言壓電堆模型

當在壓電陶瓷的表面施加電壓時，由于電場的作用，會造成壓電元件內部正負電荷中心的相對位移，從而導致壓電元件產生形變。利用這一現象，工程中常利用壓電陶瓷制成作動裝置。然而由于壓電陶瓷的極限應變很小，如果要獲得較大的形變，常采用多片壓電陶瓷制成堆疊形式，即壓電堆。

Bouc-Wen模型是由Bouc提出并由Wen改進的一種用于描述壓電堆特性的數學模型，它的數學模型可以被表達為

(1)

式中：x(t)為壓電堆的輸出位移；h(t)為壓電材料帶來的遲滯輸出；m為壓電堆的質量，kg；b為阻尼系數，N·s/m；k為剛度，N/m；d為壓電系數,m/V；u(t)為壓輸入到壓電堆的電壓；α，β和γ為描述遲滯環的形狀；η(t)∈L2[0,T)為外界擾動；為了方便分析，式(1)可以被重寫為

(2a)

v(t)=H[u(t)]=du(t)-h(t)

(2b)

圖1 Bouc-Wen模型的結構Fig.1 The constitution of Bouc-Wen model

圖中，M(s)為由式(2a)描述的二階線性系統。為了避免歧義，至此定義y(t)=x1(t)為壓電堆的輸出。

2 遲滯觀測器設計

由圖1可知，壓電堆作動器可以表示為一個遲滯環節串聯一個二階線性系統。為了對遲滯現象進行補償，本文基于滑模控制理論以及H∞引理設計一個類Luenberger遲滯觀測器。基于觀測器的遲滯補償系統框架如圖2所示。

圖2 基于觀測器的補償系統框架圖Fig.2 The framework of the observer-compensation system

為了便于分析和設計遲滯觀測器，壓電堆模型式(2)可以被改寫為

(3)

本文所設計的遲滯觀測器表達式為

(4)

引理1[22]對于任意矩陣M∈Rb×c，W∈Rb×c，Z∈Ra×c， 若rank(M)=c，且滿足矩陣方程

MW=Z

則可得M的通解為

M=ZW++U[Ib-WW+]

式中：U為給定的維數適當的任意矩陣；W+為矩陣W的廣義逆矩陣。

(5)

則根據引理1，觀測器中參數矩陣T，N的通解可以被表示為

式中，S為維數適當且可給定的矩陣參數。

(6)

根據表達式(4)、式(6)可以得到eo(t)的動態方程為

(7)

式中，P和Qd為正定且對稱的矩陣。

引理2對任意維數適當的矩陣X，Y有

XTY+YTX≤?-1XTNX+?YTN-1Y

式中：N為對稱且正定矩陣；?為正常數。

定理1對于遲滯觀測器式(4)，若存在正常數λ，ε；對稱且正定矩陣Po，Qo滿足

(8)

則觀測器式(4)可以漸進地觀測出壓電堆的遲滯輸出。

證明考慮如下的Lyapunov函數

(9)

對式(9)兩端求導可得

(10)

根據引理2可得

(11)

則根據式(8)可以得到

(12)

顯然有

(13)

注1定理1中的式(8)可以被改寫為線性矩陣不等式形式。定義矩陣轉換J=PoL，則式(8)可被重寫為

(14)

3 反步控制器設計

為實現壓電堆的跟蹤控制，本文通過運用反步滑模控制理論，設計了一個基于遲滯補償系統的魯棒控制器。具體的控制框圖如圖3所示。

圖3 壓電堆控制系統結構框圖Fig.3 The framework of piezoelectric stack control system

圖中q(t)為遲滯補償機構的輸出。對照圖3，壓電堆中遲滯環節的輸出可表示為v(t)=dq(t)-h(t)。待設計的控制器輸出為u(t)，補償機構的設計目的為通過串聯抵消遲滯環節H[·]的影響，使得v(t)跟蹤u(t)。由此，控制器的控制輸出可到達二階線性系統M(s)。根據式(2a)，此時有

(15)

定理2如果存在反步滑模控制器如下，則系統(15)可跟隨參考信號r(t)

(16)

證明考慮如下的Lyapunov函數

(17)

對式(17)兩端求導可得

(18)

根據虛擬控制輸入的定義可以得到

(19)

因此有

(20)

定義Lyapunov函數

(21)

對式(21)兩端求導可得

(22)

將式(16)代入式(22)可得到

(23)

定義

(24)

可得到

(25)

4 仿真及實驗驗證

首先將進行仿真驗證，壓電堆的參數如表1所示。

表1 壓電堆參數(1)Tab.1 Parameters of piezoelectric stack(1)

設外部擾動為η(t)=0.5sin(30t) μm，參考輸入r(t)=sin(3.14t) μm。

根據注1，通過求解得到系數矩陣T和N分別為

基于定理1，通過求解線性矩陣不等式(14)得到觀測器中的參數矩陣

圖4 壓電堆控制效果(仿真)Fig.4 Control performance of the piezoelectric stack (simulation)

其中PID控制器的參數設定為P=10，I=5，D=0。由圖4可知，所設計的基于遲滯補償的反步滑模控制器具有更好的魯棒性，跟蹤誤差較小。

下面進行實驗驗證。實驗基于MATLAB中的xPC實時系統和實際控制平臺，其原理圖如圖5所示。

圖5 壓電堆控制系統Fig.5 Schematic diagram of the piezoelectric stack control system

其中，信號采集卡采用NI公司的PCI-6289，位移傳感器采用E509.C1, XMT?，信號調理器E09.C1, XMT?，壓電堆型號為PSt 150/7/7/20。系統的實物圖如圖6所示。

圖6 實驗平臺實物圖Fig.6 Piezoelectric stack control system

采用遺傳算法對壓電堆進行參數辨識[24]，辨識結果如表2所示。

表2 壓電堆參數(2)Tab.2 Parameters of piezoelectric stack(2)

指定參考信號r(t)=3sin(10πt)+3 μm。對于觀測器式(4)，通過求解得到系數矩陣T和N分別為

基于定理1，通過求解線性矩陣不等式(14)得到觀測器中的參數矩陣

圖7 壓電堆控制效果(實驗)Fig.7 Control performance of the piezoelectric stack (experiment)

如圖7所示，壓電堆輸出在0.4 s左右穩定并跟蹤參考輸入，且控制效果良好。

5 結 論

由于壓電堆具有響應速度快、能量密度高等特點，被廣泛應用于各種精密控制平臺的作動器件，但壓電材料自身帶有的遲滯特性嚴重影響了壓電作動器控制精度。為了補償遲滯效應帶來的負面影響，提升壓電堆的控制效果，本文首先基于滑模控制理論以及LMI技術設計了一個類Luenberger遲滯觀測器。觀測器在設計過程中考慮到了模型中的不確定因素以及外界擾動的影響，并通過Lyapunov定理證明了其具有H∞性能；其次，基于反步滑模控制理論設計了一個基于遲滯補償的跟蹤控制器，設計過程中考慮到了觀測器的補償誤差，具有一定的魯棒性；最后通過仿真和實驗驗證了所提出的壓電堆補償控制方法的有效性。