無模型控制在氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)中的應(yīng)用

任麗娜， 李小廣， 高琳琪， 劉福才

(燕山大學(xué) 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

氣動(dòng)加載技術(shù)是一種成本低、重量輕、實(shí)用性強(qiáng)的工業(yè)技術(shù)。它以壓縮空氣為工作介質(zhì)，進(jìn)行能量的轉(zhuǎn)換和控制，以實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的生產(chǎn)制造[1]。當(dāng)今社會(huì)，工業(yè)生產(chǎn)技術(shù)發(fā)展迅猛，機(jī)電一體化已成為機(jī)械制造發(fā)展的重要趨勢，而其中氣動(dòng)加載技術(shù)所特有的無污染、性價(jià)比高、工作原理簡單等特點(diǎn)，使得系統(tǒng)安全穩(wěn)定[2-3]，并且在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中加上關(guān)鍵部件電氣比例閥后，響應(yīng)速度更快，響應(yīng)精度也得到了很大的提高，因此在全世界范圍內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用[4]。

但是氣動(dòng)加載系統(tǒng)的壓力跟蹤控制依然是當(dāng)代社會(huì)工業(yè)研究的一大難題，這其中最主要的原因自然就是氣動(dòng)加載系統(tǒng)所具有的強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性。氣動(dòng)加載的空氣特性、關(guān)鍵部件電氣比例閥的時(shí)滯性和氣缸兩腔摩擦力這些原因，給氣動(dòng)加載系統(tǒng)的建模與控制器設(shè)計(jì)造成了很大的困難[5-6]。

為解決上述問題，近些年來出現(xiàn)了很多針對(duì)氣動(dòng)系統(tǒng)的控制策略。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于模糊算法的狀態(tài)反饋增益整定的控制方法，這種方法可以工作在控制非線性系統(tǒng)和加載載荷不斷變化的情況。但是，在被控對(duì)象的載荷保持恒定時(shí)就有一定的局限性。文獻(xiàn)[8]中提到了一種多輸出反饋的方法對(duì)來氣動(dòng)加載系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，并且能夠?qū)Σ粩嘧兓哪Σ烈驍?shù)進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[9]提出了一種自適應(yīng)模糊PD(proportion differentiation)控制方法，并證明了該方法的自適應(yīng)性，最后又在實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[10]中提出一種稱為Robust Loop Shaping-Fuzzy Gain Scheduled (RLS-FGS)的控制方法用于氣動(dòng)系統(tǒng)的控制，通過粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)來確定實(shí)際應(yīng)用的最佳參數(shù)。文獻(xiàn)[11]通過在自抗擾控制器中增加積分環(huán)節(jié)，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。

上述的這些控制方法雖然都能在一定條件下取得不錯(cuò)的控制效果，但是控制器的設(shè)計(jì)都或多或少依賴于被控系統(tǒng)模型，而氣動(dòng)加載系統(tǒng)的建模困難與強(qiáng)時(shí)變性使得這些控制策略在實(shí)際應(yīng)用中有很多困難。本文為實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)加載系統(tǒng)的壓力實(shí)時(shí)跟蹤控制設(shè)計(jì)無模型自適應(yīng)控制器，其中無模型控制是指在控制器的設(shè)計(jì)過程中不包含被控系統(tǒng)的任何數(shù)學(xué)模型信息，僅需被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來進(jìn)行控制的控制器。

1 氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)的描述以及數(shù)學(xué)建模

1.1 氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)的組成及工作原理

氣動(dòng)加載系統(tǒng)工作原理如圖1所示。

圖1 氣動(dòng)加載系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of pneumatic loading system

氣動(dòng)加載系統(tǒng)的組成部件包括氣源、氣動(dòng)二聯(lián)件、電氣壓力比例閥、氣缸、拉壓力傳感器、上位工控機(jī)等。其中，氣泵的作用是提供氣源；壓力傳感器位于氣缸和樣品臺(tái)之間，作用是實(shí)時(shí)的反饋加載的壓力大小；然后上位機(jī)通過返回的輸出壓力信號(hào)與系統(tǒng)給定的輸入信號(hào)進(jìn)行作差，通過無模型自適應(yīng)控制器或者經(jīng)典PID控制器，產(chǎn)生控制信號(hào)；控制信號(hào)在模擬量輸出單元轉(zhuǎn)換為輸出電流，電流信號(hào)控制電氣比例閥的開度，最終控制氣缸的實(shí)時(shí)壓力輸出。

1.2 氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

氣缸加載系統(tǒng)的控制原理如圖2所示，圖中省去了實(shí)際系統(tǒng)必備但與控制系統(tǒng)無關(guān)的空氣過濾器、減壓閥等氣源處理單元[12]。

圖2 氣動(dòng)加載系統(tǒng)控制原理圖Fig.2 Pneumatic loading system control diagram

在仿真計(jì)算中，氣動(dòng)加載系統(tǒng)由于空氣狀態(tài)的非線性與復(fù)雜性，不能建立完整的貼近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。為了便于獲取系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，研究系統(tǒng)的實(shí)時(shí)加載特性，遂作出如下假設(shè)[13-14]：①大氣壓力、氣源壓力在一定時(shí)間內(nèi)保持恒定不變； ②排氣壓力恒定不變； ③忽略氣體的動(dòng)能和勢能； ④氣缸與儲(chǔ)氣罐內(nèi)的氣體運(yùn)動(dòng)視為等熵絕熱，保持能量守恒；⑤氣體運(yùn)動(dòng)過程滿足理想氣體運(yùn)動(dòng)方程；⑥氣缸內(nèi)的氣體是均勻的，整個(gè)過程不存在氣體泄漏。

由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，得到氣缸運(yùn)動(dòng)的力平衡方程為

(1)

式中：M為活塞和負(fù)載總質(zhì)量；B為黏滯摩擦因數(shù)；Fc是庫倫摩擦力；Pa和Pb分別為氣缸A腔和B腔的接觸面積作用壓強(qiáng)；Aa和Ab分別為氣缸A腔和B腔的作用面積；Patm為環(huán)境壓強(qiáng)；Ar為氣缸桿橫截面積。

MCL-ZT拉壓力傳感器屬壓阻式傳感器，其輸出壓力F與長度形變量即氣缸位移x之間呈趨勢型線性關(guān)系，考慮到零位壓力存在的可能性，其關(guān)系式可寫為

F=Kf1x+bf1

(2)

式中：Kf1為比例系數(shù)；bf1為常數(shù)，起到調(diào)零作用。

通過電氣比例閥進(jìn)入氣缸腔內(nèi)的氣體質(zhì)量流量可表示為[15]

(3)

其中，

(4)

式中：Cf為流量系數(shù)；Av為電氣比例閥的有效開口面積；Pu為氣缸供給壓強(qiáng)；R為理想氣體常數(shù)；T為絕對(duì)溫度；Wv為電氣比例閥開口面積梯度；xv為電氣比例閥的閥芯位移長度；k為絕熱指數(shù)，取k=1.4。

電氣比例閥通過電控的方式對(duì)氣體流量或氣動(dòng)加載輸出壓力進(jìn)行實(shí)時(shí)連續(xù)控制，因此其輸入輸出特性可以等效為比例環(huán)節(jié)，即

xv=Kvuv

(5)

式中：Kv為電氣比例閥流量增益；uv為控制電壓。

由質(zhì)量守恒定律,氣缸容腔流入和流出的氣體質(zhì)量流量和容腔的質(zhì)量變化率相等,可表示為

(6)

假設(shè)氣體為理想氣體,滿足理想氣體狀態(tài)方程

P=ρRT

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)得

(8)

(9)

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(9)，整理可得

(10)

(11)

狀態(tài)方程式(11)便是該氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)該氣動(dòng)摩擦系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型僅是為了產(chǎn)生系統(tǒng)仿真研究所用的I/O數(shù)據(jù)，并不參與控制器的設(shè)計(jì)。

2 無模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

2.1 無模型自適應(yīng)控制器的基本概念

無模型自適應(yīng)控制(model free adaptive control, MFAC)是侯忠生教授在其博士論文中提出的。該方法引入一個(gè)新的概念，偽梯度向量(或偽Jacobi矩陣)和偽階數(shù)，在被控系統(tǒng)的軌線附近用一系列的動(dòng)態(tài)線性時(shí)變模型來近似替代一般的非線性系統(tǒng)，僅用被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)在線估計(jì)系統(tǒng)的偽梯度向量。其中的基于緊格式線性化和偏格式線性化的MFAC方案已經(jīng)給出了在一些假設(shè)條件下的收斂性和穩(wěn)定性的理論證明[16-19]。這種控制器參數(shù)少，易于實(shí)現(xiàn)，因此一經(jīng)提出便得到了飛速發(fā)展。目前在化工制造、電機(jī)控制、城市道路交通控制、板形控制等多種行業(yè)進(jìn)行了應(yīng)用，并且獲得了中國技術(shù)發(fā)明專利。仿真和理論研究、實(shí)際工業(yè)應(yīng)用都從多個(gè)方面證明了MFAC能夠解決被控系統(tǒng)中的強(qiáng)非線性和時(shí)變性等控制難題。

2.2 一般離散時(shí)間非線性系統(tǒng)的緊格式線性化方法

考慮一類SISO離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

y(k+1)=
f(y(k),…,y(k-m),u(k),…,u(k-n))

(12)

式中：y(k)，u(k)分別為系統(tǒng)的輸出與輸入；m,n為系統(tǒng)的階數(shù)。

對(duì)于式(12)，做出以下假設(shè)[20]：

假設(shè)1系統(tǒng)式(12)是可觀可控的。即對(duì)于有界的期望信號(hào)y*(k+1)，存在有界的控制輸入信號(hào)。

假設(shè)2f(…)關(guān)于系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)u(k)的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)3系統(tǒng)式(12)是廣義Lipschitz的，即滿足對(duì)任意時(shí)刻的k和Δu(k)≠0有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

(13)

式中： Δy(k+1)=y(k+1)-y(k)； Δu(k)=u(k)-u(k-1)；b為常數(shù)。

由此可得以下定理：如果可以同時(shí)滿足以上三個(gè)假設(shè)條件，那么當(dāng)Δu(k)≠0時(shí)，一定存在一個(gè)偽偏導(dǎo)數(shù)φ(k)使得系統(tǒng)可以用式(14)來表示

y(k+1)-y(k)=φ(k)Δu(k)

(14)

式中， |φ(k)|≤b，φ(k)為y(k+1)關(guān)于u(k)的梯度，能夠變化而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)部分。

2.3 基于緊格式動(dòng)態(tài)線性化的無模型自適應(yīng)控制方案

上面所給出的線性化方法與傳統(tǒng)的線性化方法有著很大的不同。為了能夠控制動(dòng)態(tài)折線化近似在合理的范圍內(nèi)，考慮如下的控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)

J(u(k))=[y*(k+1)-y(k+1)]2+
λ[u(k)-u(k-1)]2

(15)

式中：λ為線性化權(quán)重因子；y*(k+1)為k+1時(shí)刻系統(tǒng)的給定值。λ[u(k)-u(k-1)]2可以限制輸入量的變化，并且可以克服穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。將式(12)代入式(13)中對(duì)u(k)進(jìn)行求導(dǎo)，令其等于零，則

(16)

式中，ρk為步長序列。

控制算法中加入權(quán)重因子λ的作用有兩個(gè)。一是限制非線性系統(tǒng)線性替代的范圍，因此也間接的限制了偽偏導(dǎo)數(shù)的變化；其次，權(quán)重因子避免了式(16)中分母為零的情況。

以上算法中，k時(shí)刻唯一不知道的參數(shù)就是偽偏導(dǎo)數(shù)的值。下面將采用參數(shù)估計(jì)算法，進(jìn)行偽偏導(dǎo)數(shù)φ(k)的估計(jì)。偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)

(17)

式中：y*(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)的輸出值；μ為權(quán)重因子。 對(duì)φ(k)進(jìn)行求導(dǎo)并令其等于零，得到如下偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法

(18)

式中，ηk為步長序列。

根據(jù)上面的參數(shù)估計(jì)算法以及控制律算法得出MFAC控制方案為[21]

(19)

(20)

(21)

通過控制方案式(19)～式(21)可以看出，該控制器的設(shè)計(jì)僅需被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，不顯含或隱含任何關(guān)于受控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的信息。由于偽偏導(dǎo)數(shù)φ(k)對(duì)時(shí)變參數(shù)、時(shí)變結(jié)構(gòu)的不敏感，因此無模型自適應(yīng)控制方案具有非常強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性，傳統(tǒng)的基于被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的控制方案設(shè)計(jì)很難達(dá)到這一點(diǎn)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)研究

3.1 仿真研究

在MATLAB軟件中進(jìn)行仿真研究，并在三種典型輸入信號(hào)下將MFAC與PID控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比。其中系統(tǒng)的部分物理參數(shù)標(biāo)稱值如表1所示，與Sorli等的研究相比，此次實(shí)驗(yàn)所用到的氣缸內(nèi)腔橫截面積更大。

表1 氣動(dòng)加載系統(tǒng)物理參數(shù)標(biāo)稱值Tab.1 Nominal value of physical parameters of pneumatic loading system

在壓力給定為恒值500 N時(shí)，MFAC和PID控制系統(tǒng)的壓力跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖3和圖4所示。由圖可以看出，給定恒值信號(hào)加載時(shí)，系統(tǒng)在PID控制下穩(wěn)定速度慢，峰值誤差大，且一直存在震蕩；而在MFAC控制下，跟蹤速度快，抖振現(xiàn)象小，跟蹤誤差迅速趨于零，跟蹤性能良好。

圖3 恒值加載壓力跟蹤曲線Fig.3 Constant loading pressure tracking curve

圖4 恒值加載壓力誤差曲線Fig.4 Error curve of constant loading pressure

在給定峰值為600 N，周期為12 s的正弦波信號(hào)時(shí)， 兩種控制器的跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖5和圖6所示。由圖可以看出，在PID控制下系統(tǒng)存在一定的滯后與抖振，且存在震蕩現(xiàn)象；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力無滯后，在波峰處誤差小，系統(tǒng)穩(wěn)定，跟蹤性能良好。表明MFAC對(duì)正弦波信號(hào)具有良好的跟蹤效果，抗干擾能力強(qiáng)。

圖5 正弦波加載壓力跟蹤曲線Fig.5 Sinusoidal load pressure tracking curve

圖6 正弦波加載壓力誤差曲線Fig.6 Error curve of sinusoidal loading pressure

在壓力給定峰值為600 N，周期為10 s的方波加載時(shí)，兩種控制器的跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖7和圖8所示。由圖可以看出，在給定信號(hào)為方波信號(hào)時(shí)，PID控制的系統(tǒng)存在較大誤差，且在峰值處存在明顯的震蕩現(xiàn)象；而在MFAC控制下，系統(tǒng)峰值處抖動(dòng)誤差較小，輸出信號(hào)較平滑，跟蹤性能較好。

圖7 方波加載壓力跟蹤曲線Fig.7 Pressure tracking curve of square wave loading

圖8 方波加載壓力誤差曲線Fig.8 Error curve of square wave loading pressure

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證無模型自適應(yīng)控制器在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，在實(shí)際系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，該試驗(yàn)機(jī)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值連續(xù)可變的變載荷加載，實(shí)物如圖9所示。控制算法式(17)～式(19)采用VC++語言實(shí)現(xiàn)。并對(duì)無模型自適應(yīng)控制和經(jīng)典PID控制的控制效果進(jìn)行對(duì)比分析。

圖9 氣動(dòng)變載荷加載試驗(yàn)機(jī)Fig.9 Pneumatic variable load loading testing machine

給定峰值為600 N的恒值信號(hào),將PID閉環(huán)控制和MFAC的參數(shù)都調(diào)至最優(yōu)，PID參數(shù)為kp=1.01，ki=3，kd=1.1，MFAC參數(shù)為λ=1，μ=0.2，ρ=1，η=1。兩種控制器下的加載曲線和誤差曲線分別如圖10和圖11所示。由比較可知，系統(tǒng)在PID控制下的恒值加載中一直存在震蕩，有較大滯后，且波動(dòng)誤差大；而在MFAC控制下，系統(tǒng)滯后小，跟蹤迅速，整體曲線平穩(wěn)，跟蹤性能良好。

圖10 恒值加載試驗(yàn)跟蹤曲線Fig.10 Constant loading test tracking curve

圖11 恒值加載試驗(yàn)誤差曲線Fig.11 Error curve of constant loading test

PID閉環(huán)控制和MFAC控制下的正弦波加載曲線和誤差曲線分別如圖12和圖13所示。當(dāng)給定峰值為500 N，周期50 s的正弦波信號(hào)時(shí)，將兩種控制器的參數(shù)都調(diào)至最優(yōu)，PID參數(shù)為kp=4，ki=1.2，kd=0.5，MFAC參數(shù)為λ=0.5，μ=0.1，ρ=0.5，η=1。觀察圖12和圖13可知，在PID控制下系統(tǒng)存在明顯的抖振和滯后，且存在震蕩現(xiàn)象，峰值誤差大；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力跟蹤較為平滑，峰值誤差小，跟蹤速度較快，系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力較強(qiáng)。

圖12 正弦波加載試驗(yàn)跟蹤曲線Fig.12 Sinusoidal loading test tracking curve

圖13 正弦波加載試驗(yàn)誤差曲線Fig.13 Error curve of sinusoidal loading test

PID閉環(huán)控制和MFAC控制下的系統(tǒng)的方波加載曲線和誤差曲線分別如圖14和圖15所示。當(dāng)給定峰值500 N，周期50 s的方波信號(hào)時(shí)，將控制器參數(shù)調(diào)至最優(yōu)，其中PID參數(shù)為kp=0.5，ki=1.5，kd=0.5，MFAC參數(shù)為λ=5，μ=0.1，ρ=1，η=1。觀察加載曲線和誤差曲線，在PID控制下系統(tǒng)峰值誤差大，有滯后；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力跟蹤較好，整體誤差比PID誤差小，系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力較強(qiáng)。

圖14 方波加載試驗(yàn)跟蹤曲線Fig.14 Square wave loading test tracking curve

圖15 方波加載試驗(yàn)誤差曲線Fig.15 Error curve of square wave loading test

4 結(jié) 論

(1) 本文為解決氣動(dòng)加載系統(tǒng)的控制精度低、跟蹤性能差等問題,設(shè)計(jì)了無模型自適應(yīng)控制器，這種控制器易于應(yīng)用、計(jì)算簡便、適合氣動(dòng)加載系統(tǒng)這種無法精確建模的控制對(duì)象。并且在MATLAB進(jìn)行了仿真研究，對(duì)比經(jīng)典PID控制，仿真結(jié)果表明在三種典型的輸入信號(hào)下，MFAC具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。

(2) 在氣動(dòng)變載荷摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，用Visual Studio平臺(tái)編寫離散化控制程序，驗(yàn)證了給定為三種典型的輸入信號(hào)下，無模型自適應(yīng)控制器和經(jīng)典PID控制器的跟蹤效果。通過分析試驗(yàn)曲線可知，無模型自適應(yīng)控制器在三種輸入信號(hào)下均能保持響應(yīng)速度快、控制精度高的優(yōu)點(diǎn)。