基于微分幾何法的非線性分數階懸架主動控制

常宇健， 田沃沃， 金 格， 陳恩利， 李韶華

(1.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，石家莊 050043)

目前對于油氣懸架、空氣懸架和磁流變懸架的研究主要考慮其部分彈性或是阻尼特性，并沒有反映實際懸架阻尼材料的記憶特性。因此國內外學者基于分數階模型具有良好的記憶功能，提出采用分數階微積分理論建立黏彈性懸架的動力學模型。Oustaloup等[1]首次提出CRONE懸架，該懸架采用分數階阻尼的機械系統代替傳統被動懸架中的彈簧和阻尼器。文獻[2-4]針對油氣懸架的整數階模型不能準確描述其多相介質力學特點，提出采用分數階微積分理論建立其Bagley-Torvik方程，并驗證了該模型的可行性。文獻[5]將分數階微分引入液壓氣動懸架建模中，并通過仿真和實驗證明了分數階液壓氣動懸架模型的有效性。文獻[6]提出一種能夠準確描述空氣彈簧記憶特性的分數階模型。文獻[7]利用分數階模型描述磁流變阻尼器的阻尼特性，該模型比整數階模型具有更高的擬合精度。文獻[8]建立了MR阻尼器的分數階模型，并且分析了該模型的動力學特性。上述研究都驗證了分數階微積分理論在汽車懸架系統建模中的適用性及有效性，為今后分數階懸架模型的研究奠定了基礎。

為改善分數階懸架系統垂向動力學性能，文獻[9]利用粒子群算法研究了被動分數階汽車懸架參數的優化設計，研究結果表明參數優化后的分數階懸架的乘坐舒適性得到明顯改善。然而該被動分數階懸架模型忽略了非線性剛度對系統的影響，因此并不能準確反映實際懸架性能。雖然文獻[10-11]對汽車懸架系統中的線性阻尼成分進行改進，建立由分數階阻尼和非線性彈簧組成的懸架系統，并采用整數階PID控制和分數階PIλDμ控制改善汽車的行駛性能。但是，這些研究僅僅針對磁流變懸架，而且忽略了分數階磁流變Bingham模型中補償器產生的力和庫倫阻尼力，這就造成了分數階懸架模型的研究具有特定的適用范圍。因此本文在傳統線性剛度和線性阻尼的懸架模型基礎上進行改進，增加了非線性剛度和分數階阻尼，使分數階懸架模型具有更廣的適用范圍。另外，PID控制針對非線性系統通?？刂菩Ч⒉焕硐耄虼藢τ诜蔷€性分數階懸架系統控制仍需進一步深入研究。

對于傳統非線性主動懸架系統的研究，文獻[12-14]分別針對特種車輛主動油氣懸架、礦用汽車主動油氣懸架和導彈發射車主動油氣懸架進行非線性系統建模，然后基于微分幾何法將非線性系統反饋線性化，并利用PID控制和最優控制進行控制研究。結果表明該非線性系統的控制策略具有算法設計簡單、控制效果良好等特點?；谏鲜鲅芯砍晒?，本文基于微分幾何法對含分數階微分的非線性系統進行反饋線性化，從而將低了原系統的復雜性。

本文基于分數階微積分理論對傳統非線性懸架系統模型進行改進，建立了相比傳統整數階模型更為精確的1/4車二自由度非線性分數階懸架模型。為提高汽車的行駛過程中的動態性能，分別設計PID控制器和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制器對該懸架系統進行主動控制，對兩種主動懸架在隨機路面輸入和脈沖路面輸入兩種激勵下三種性能時域響應結果以及兩種主動控制力進行對比分析。

1 非線性分數階主動懸架系統建模

1.1 1/4車二自由度主動懸架模型

圖1為1/4車二自由度非線性分數階主動懸架系統。

如圖1所示，非線性分數階主動懸架系統中彈性力包括一次線性恢復力和三次非線性恢復力，主動懸架彈性力為

圖1 1/4車二自由度主動懸架系統結構圖Fig.1 Structural diagram of 2-DOF active suspension system for 1/4 vehicle

Fs=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3

(1)

式中:zs為簧載質量位移；zu為非簧載質量位移；ks為彈簧剛度;ε為非線性系數。

主動懸架系統中線性阻尼力為

(2)

分數階微積分主要有3種定義方式[15]， Riemann-Liouville定義、Grunwald-Letnikov定義和Caputo定義。本文利用Caputo分數階微分描述懸架系統中的分數階阻尼力，Caputo定義式為

(3)

式中:0,t為分數階微分上下限;α為分數階微分階次;Γ(·)為Gamma函數。

分數階阻尼力為

Fc=hDp(zs-zu)

(4)

式中：h為分數階微分系數；p為分數階微分階次，且滿足0≤p≤1。

根據牛頓第二定律建立該系統的微分方程為

(5)

1/4車二自由度非線性分數階懸架系統參數選取為ms=240 kg，mu=36 kg，ks=16 000 N/m，ε=0.1，c=1 650 N·s/m，kt=160 000 N/m，h=1 000，p=0.5。

1.2 分數階微分的Oustaloup濾波器近似算法

由于非線性分數階懸架系統較為復雜，為方便利用Matlab/Simulink進行仿真分析，本文利用Oustaloup濾波器算法[16]對分數階微分項進行近似計算。即在選定的頻率段(ωb,ωh)內做分數階算子sp的近似替代，根據該思想構造的Oustaloup濾波器為

(6)

式中：M為濾波器階次，濾波器的零點為

極點為

根據Oustaloup濾波器近似算法，構造一個頻率段為(0.001 rad/s,1 000 rad/s)，階次為M=5的濾波器近似代替非線性分數階懸架系統中的Caputo分數階。

1.3 路面輸入模型的建立

1.3.1路面隨機輸入建模

為了能夠真實反映汽車在實際路面的行駛性能，本文利用Matlab/Simulink建立濾波白噪聲隨機路面作為1/4車二自由度非線性分數階懸架系統的輸入模型，即

(7)

式中:q(t)=zr(t)為路面位移；η1為下截止空間頻率，η1=0.011 m-1；v0為車速，v0=10 m/s；η0為參考空間頻率，η0=0.1 m-1；Gq(η0)為路面不平度系數，Gq(η0)=256×10-6m3；w1(t)是均值為0、方差為1的Gauss白噪聲。

1.3.2 路面脈沖輸入建模

根據GB/T 4970—2009《汽車平順性試驗方法》規定[17]，采用三角形凸塊描述路面脈沖輸入，如圖2所示。

圖2 三角形凸塊Fig.2 Triangle bump

三角形凸塊的長度l=0.4 m，高度H=0.04 m，在離凸塊L處汽車以v0直線勻速駛向凸塊[18]，如圖3所示。

圖3 汽車駛過三角形凸塊的力學模型Fig.3 Mechanics model of a automobile running triangle bump

路面脈沖輸入時域模型為

(8)

2 基于PID控制器的分數階主動懸架

為提高汽車的乘坐舒適性和行駛安全性，需要對非線性分數階懸架系統車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷進行協同控制。本文設計三個PID控制器分別以上述三個性能指標為控制量進行控制，并將控制量期望值均設置為0，構造控制器參數優化目標函數為

(9)

PID控制器的輸入信號為

(10)

PID控制器的輸出信號為

(11)

式中，KPi,KIi,KDi(i=1,2,3)分別為PID控制器的比例、積分、微分系數。

基于PID控制器的非線性分數階主動懸架的控制力為

u3(0-(zu-zr))

(12)

通過經驗法并不斷分析響應曲線，多次調節后可得到滿足需求的整定參數如表1所示。

表1 PID控制器整定參數Tab.1 PID controller setting parameters

3 基于反饋線性化LQR控制器分數階主動懸架

為改善汽車行駛過程中懸架系統的動態性能，本文利用微分幾何法[19]將非線性分數階懸架系統反饋線性化，針對線性系統利用LQR控制獲得最優控制律，通過非線性狀態反饋獲得懸架系統的控制律。

3.1 非線性分數階懸架系統狀態空間表示

[x1x2x3x4]T

(13)

[y1y2y3y4]T

(14)

(15)

式中:

其中，

3.2 輸出函數各階李導數對x偏導計算

令h1(x)=x1，當k=0時，有

(16)

當k=1時，有

(17)

由此可得相對階r=2，則有

(18)

η=[0 0 -1 0]T

(19)

(20)

則

(21)

同理可知:

令h2(x)=x2，相對階r=1

u2=-[ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(22)

令h3(x)=x3，相對階r=2

u3=-[ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(23)

令h4(x)=x4，相對階r=1

u4=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(24)

3.3 非線性分數階懸架系統反饋線性化

通過對式(21)、式(22)、式(23)和式(24)進行比較和分析，選取非線性分數階懸架系統的控制律為

u=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(25)

將式(25)代入式(15)中可得

(26)

其中，

3.4 LQR控制器設計

為提高乘坐舒適性和操縱穩定性，針對非線性分數階懸架系統設計了LQR控制器，該控制器性能指標函數的矩陣形式為

(27)

其中：

Q=CTMC
R=DTMD+ρ
M=diag[q1q2q3q4]

式中，q1,q2,q3,q4分別為車身加速度、懸架動撓度、輪胎動載荷和減震器能耗加權系數;ρ為加權系數;各個系數取值分別為q1=636，q2=3 030，q3=1 012，q4=1，ρ=1×10-7。

LQR控制律為

v=-R-1(BTP+WT)X=KX

(28)

式中，P為黎卡提矩陣方程式(29)的解，W=CTMD。

ATP+PA-(PB+W)R-1(PTB+W)+Q=0

(29)

計算可得LQR最優控制律為

v=16 970x1+30x2-25 861x3-1 346x4

(30)

將式(30)代入式(25)可得基于微分幾何法反饋線性化LQR非線性分數階主動懸架的最優控制力為

hDp(zs-zu)-(16 970x1+3 076x2-2 5861x3-1 346x4)

(31)

由此可得到非線性分數階懸架系統反饋線性化模型的LQR控制系統框圖如圖4所示。

圖4 LQR控制系統框圖Fig.4 Diagram of LQR control system

4 仿真分析

利用Matlab/Simulink建立1/4車二自由度非線性分數階被動懸架、基于PID控制的主動懸架以及基于微分幾何法反饋線性化LQR控制的主動懸架的仿真模型。Simulink主動懸架仿真圖如圖5所示。經過仿真，三種懸架在隨機路面激勵下三個性能指標時域響應結果對比如圖6、圖7和圖8所示；在脈沖路面激勵下三個性能指標時域響應結果對比如圖9、圖10和圖11所示。

圖5 Simulink主動懸架仿真圖Fig.5 Simulink active suspension simulation diagram

圖6 車身加速度時域響應對比Fig.6 Time domain response comparison of vehicle body acceleration

圖7 懸架動撓度時域響應對比Fig.7 Time domain response comparison of suspension dynamic deflection

圖8 輪胎動載荷時域響應對比Fig.8 Time domain response comparison of tyre dynamic load

圖9 車身加速度時域響應對比Fig.9 Time domain response comparison of vehicle body acceleration

圖10 懸架動撓度時域響應對比Fig.10 Time domain response comparison of suspension dynamic deflection

圖11 輪胎動載荷時域響應對比Fig.11 Time domain response comparison of tyre dynamic load

基于PID控制的主動懸架和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制的主動懸架在隨機路面激勵和脈沖路面激勵下的主動控制力對比如圖12和圖13所示。

圖12 主動懸架控制力對比Fig.12 Active suspension control force comparison

圖13 主動懸架控制力對比Fig.13 Active suspension control force comparison

含分數階非線性的被動懸架、基于PID控制器的主動懸架和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制器的主動懸架在隨機路面輸入和脈沖路面輸入激勵下，車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的均方根值分別如表2和表3。

表2 性能指標均方根值數值表Tab.2 Root mean square value number table of performance indicators

表3 性能指標均方根值數值表Tab.3 Root mean square value number table of performance indicators

通過對比非線性分數階被動懸架、基于PID控制器的主動懸架和基于反饋線性化LQR控制器的主動懸架的時域響應性能指標均方根值數值表可知，在隨機路面輸入激勵下，兩種主動懸架車身加速度分別降低到77.38%和74.94%，懸架動撓度分別降低到96.70%和94.61%，輪胎動載荷分別降低到91.46%和86.51%；在脈沖路面輸入激勵下，兩種主動懸架車身加速度分別降低到80.73%和75.21%，懸架動撓度分別降低到95.10%和98.99%，輪胎動載荷分別降低到70.78%和56.36%。

通過對時域響應及相關數據進行分析可知，兩種控制方式都能有效改善汽車懸架的動力學性能。雖然在脈沖路面輸入激勵下，PID主動控制比反饋線性化LQR主動控制能更有效減小懸架動撓度，但是對車身加速度和輪胎動載荷控制效果不如反饋線性化LQR主動控制。這是因為利用微分幾何法可以將非線性分數階懸架系統精確線性化，即利用反饋抵消系統中非線性項和分數階項。線性化后的懸架系統采用LQR控制能夠更好的抑制懸架的振動、降低懸架的動變形和減少路面對懸架的沖擊。

5 結 論

本文針對比整數階模型更加能夠準確描述實際懸架系統的非線性分數階懸架模型，用Oustaloup濾波器算法對分數階項進行處理，采用微分幾何法將系統進行反饋線性化，并設計了LQR控制器對系統進行主動控制，分別在路面隨機激勵和脈沖激勵下進行研究，仿真結果表明，該方法相對于PID主動控制算法和被動控制，控制效果明顯提高。本文為含分數階微分項非線性汽車懸架的控制提供了簡單有效的思路。