高速抓取并聯機器人實驗平臺運動學建模與分析

陳修龍， 盛永超

（山東科技大學機械電子工程學院，山東青島266590）

0 引 言

并聯機器人具有剛度大、承載能力強、不存在累計誤差、運動精度高、末端執行器運動慣量小等優點，目前并聯機器人被廣泛應用在醫藥、電子和食品等領域［1］。

近年來許多學者對不同的抓取并聯機器人結構進行了研究。具有代表性的是Clavel 博士于1985 年發明的Delta機構［2］，該機械手可以實現動平臺的高速3維平動。葉偉等［3］提出了一種運動部分解耦2R2T并聯機械手，并基于李群理論對機械手的運動學和性能進行了分析。汪滿新等［4］提出了一種3-SPR 并聯機械手結構，基于量綱-尺寸參數相對應的方法對機構的運動學及性能做了相關的研究。彭斌彬等［5］提出了一種新型2 自由度并聯機械手實驗平臺，用無量綱參數的方法對機構構型及運動學進行了研究。張東升［6］提出一種5 自由度混聯機械手并對該機械手的運動學、靜力學和工作空間進行了詳細的分析。張超［7］用螺旋理論分析了3-CUR并聯機構的自由度，用幾何方法分析了機構的正逆解，通過靈巧度指標對機構的工作性能進行了研究。周輝等［8］設計了一種6 自由度混聯機械手結構，并用數值計算方法對機構的運動學和工作空間進行了分析。

本文基于提出的3-RRPaR 高速抓取并聯機器人實驗平臺，對機構的運動學特性進行了分析，用閉合矢量法求解運動學反解，用數值法求解運動學正解，用Matlab 對運動學正、反解進行數值計算分析，用ADAMS虛擬樣機仿真驗證數值計算分析的正確性。整個計算仿真過程對新機構3-RRPaR 高速抓取并聯機器人實驗平臺的分析和研究起到指導作用，為本機構的更深層分析研究提供理論基礎。

1 機器人平臺的運動學分析

1.1 機構特點與坐標系

本文所設計的3-RRPaR 高速抓取并聯機器人平臺其結構由靜平臺、動平臺和3 條支鏈組成。每條支鏈包含主動臂和從動臂。支鏈中的主動臂與靜平臺通過轉動副連接，從動臂與動平臺通過轉動副連接，主動臂與從動臂通過轉動副構成的平行四邊形構型連接。

為方便描述機構各部件之間的關系，設支鏈與動平臺的連接點分別為A1、A2、A3，ΔA1A2A3是等腰三角形，底邊長度是2m，高為n，在動平臺上建立以O′A1為X′坐標軸，O′A2為Y′坐標軸，垂直動平臺豎直向上為Z′坐標軸的局部坐標系O′-X′Y′Z′；設支鏈與靜平臺的連接點分別B1、B2、B3，ΔB1B2B3是等腰三角形，底邊長度為2a，建立以OB1為X 坐標軸，豎直向上為Z 坐標軸，垂直O-XZ平面向里為Y坐標軸的全局坐標系。B2點到X、Y軸的距離分別為b、c，支鏈中主動臂的長度為l1i，從動臂的長度為l2i，其中i ＝1 ～3。主動臂與靜平臺的夾角為θi，具體如圖1 所示。

圖1 并聯機器人平臺結構圖

1.2 運動學反解

1.2.1 位置模型

機構運動學反解研究的問題是已知動平臺軌跡方程，求解主動臂的角位移、角速度和角加速度的過程［9］。已知該并聯機械手平臺僅具有3 個平動自由度，故可將靜平臺和動平臺視為質點［10-14］。

動平臺形心在全局坐標系下O-XYZ下的位置矢量為r ＝ ［x，y，z］T，可表示為：

式中：ai、bi分別為支鏈鉸點Bi、Ai在O -XYZ 和O′-X′Y′Z′下的位置矢量OB1和O′A1；l1i、l2i分別為支鏈主動臂和從動臂的桿長長度；ui和si分別為主動臂和從動臂的單位矢量。

Bi點在系O-XYZ下的位置矢量為：

Ai點在系O′-X′Y′Z′下的位置矢量為：

Pi點在系O-XYZ下的位置矢量為：

為了表達準確，引入單位矢量vi，vi的表示方法為：垂直主動臂的擺動面，使得vi×ui可以表示主動臂的旋轉方向。ui的表示方法為：主動臂在系O -XYZ下的位置矢量與自身長度的比值，可得：

將式（1）化簡，得到r -ai-l1iui＋bi＝l2isi，等式兩端乘以各自的轉置，可得：

代入r、ai、bi、l1i、l2i、ui，并轉化成三角函數式Misin θi＋Nicos θi＋Qi＝0 的形式。其中：

可得主動臂的角位移為：

根據機構主動臂安裝在機架下方的方式，可得式（3）中應該取“-”號。

由式（1）可以確定從動臂的單位矢量：

進而可得支鏈中主動臂與從動臂的夾角，可以由ui×si求得。

1.2.2 速度模型

對式（1）關于時間求導，可得：

將式（6）寫成矩陣的形式，有：

即：

將式（5）兩端右叉乘ωi，整理可得第i 個支鏈從動臂的角速度：

機構中各桿件為剛性均質桿，故第i 個支鏈從動臂質心速度可表示為：

1.2.3 加速度模型

將式（5）對時間求導，可得：

式中：ad為動平臺的加速度矢量；為主動臂角加速度；vi×ui為可確定主動臂的旋轉方向為從動臂的角加速度矢量。

計算化簡并將速度結果代入式（11）中，整理可得主動臂的角加速度：

式中：

式中，E3為三階單位陣

將式（11）兩邊同時右叉乘si，化簡得第i 個支鏈從動臂的角加速度：

同時可以表示第i 個支鏈從動臂的質心加速度為：

1.3 運動學正解

機構運動學正解研究的問題是已知主動臂的輸入夾角θi，求解動平臺位置參數的過程［11］。由上面分析已知鉸點Pi在系O -XYZ 下的位置矢量，則鉸點Ai在系O-XYZ下的位置矢量為：

將式（15）各式統一寫成：

式中，di1、di2、di3、di4為化簡參數。

將式（16）化簡消去平方項，可以寫成：

若將x y看作是z的函數，則（17）可化簡成一個二元一次方程組，兩個未知數兩個方程，方程能夠求得唯一解，即：

式中，f11、f12、f21、f22為化簡參數。

將式（18）代入式（16）中的任意一個，可以得到一個關于z的二元一次方程，即：

式中，g1、g2、g3為化簡參數。

將式（20）代入（18）可以求得位置正解：

2 正反解分析驗證

算例驗證：設置機構的尺寸參數，見表1。

表1 機構尺寸參數 mm

由式（3）可知，給定一個動平臺位置（x，y，z），對應的主動臂輸入角度有8 組。例如，給定（x，y，z）＝（-150，0，-540），可以求得8 組主動臂輸入角度，見表2。

表2 主動臂8 組輸入角度 （°）

表2 中：θ1為1 鏈主動臂與x軸正向的夾角；θ2為2 鏈主動臂與x 軸正向的夾角；θ3為3 鏈主動臂與x軸負向的夾角。從機構主動臂的裝配方式來看，為保證機構有良好的性能，要滿足3 個角度同時為銳角，因此可以排除掉2 ～7 組的解，將第1 組主動臂的輸入角度θ1＝59.84°、θ2＝50.14°、θ3＝17.59°代入正解式（21）中，可以求得2 組正解，見表3。

表3 第一組輸入角度對應的2 組正解 mm

表3 中的兩組解在空間的位置關于3 條支鏈主動臂下鉸點形成的平面上下對稱，平面下方的點與給定的動平臺位置吻合，即為所求的正確的結果。

本文采用Matlab 對3-RRPaR 高速抓取并聯機器人平臺進行運動學仿真，求解在給定動平臺軌跡下，主動臂和從動臂相關的運動特性，再用ADAMS 進行對比驗證［15］。

給定動平臺一個運動軌跡，如下：

由圖2 ～7 可知，Matlab 和ADAMS 圖像中曲線的波動幅度和數值大小基本一致。第1、3 支鏈主動臂的角位移曲線走勢平緩，數值大小在-0.7 ～0 和0 ～0.7之間變化，第2 支鏈主動臂的角位移曲線波動較大，在0 ～0.7 之間變化。第1、3 支鏈主動臂的角速度曲線波動較小，趨勢緩和，數值分別在-0.25 ～-0.1 和0.1 ～0.25 之間變化，第2 支鏈主動臂的角速度曲線波動較明顯，數值大小在-0.5 ～0.15 之間變化。第1、3 支鏈主動臂的角加速度在0 值上下波動，波動幅度較小，第2 支鏈主動臂的角加速度波動幅度明顯，數值大小在-0.8 ～0.8 之間變化。

圖2 Matlab主動臂角位移

圖3 ADAMS主動臂角位移

圖4 Matlab主動臂角速度

圖5 ADAMS主動臂角速度

圖6 Matlab主動臂角加速度

圖7 ADAMS主動臂角加速度

由圖8 ～15 可知，Matlab 和ADAMS 圖像中各曲線的走勢和數值大小基本一致。第1、3 支鏈的主從動臂夾角變化曲線無明顯波動，數值大小在1.35 ～1.62之間變化，第2 支鏈的夾角變化曲線波動比較大，數值大小在1.45 ～1.73 之間浮動。第1、3 支鏈的從動臂角速度無明顯波動，數值大小在-0.15 ～-0.07 之間變化，第2 支鏈從動臂角速度波動明顯，數值在0.03 ～0.23 之間波動。第1、3 支鏈的從動臂質心加速度在0 值上下波動，波動幅度較小，第2 支鏈的從動臂質心加速度波動較大，數值在-150 ～150 之間變化。第1、3 支鏈的從動臂質心速度曲線重合，數值大小一樣，波動幅度在-25 ～25 之間變化，第2 支鏈曲線波動幅度在35 ～70 之間變化。

圖8 Matlab主、從動臂夾角

圖9 ADAMS主、從動臂夾角

圖10 Matlab從動臂角速度

圖11 ADAMS從動臂角速度

圖12 Matlab從動臂質心加速度

圖13 ADAMS從動臂質心加速度

圖14 Matlab從動臂質心速度

圖15 ADAMS從動臂質心速度

在給定的運動軌跡下，3 條支鏈的運動學特性曲線為光滑、連續曲線，因此3-RRPaR 高速抓取并聯機械手實驗平臺具有良好的運動學特性［16］。

3 結 語

本文對3-RRPaR 高速抓取并聯機器人實驗平臺的運動學建模和分析進行了研究，基于機器人構型分析了機構特點，分別用閉合矢量法和數值計算法建立了機構的運動學反解和正解的數學模型，利用Matlab數值仿真和ADAMS虛擬樣機仿真驗證了運動學建模和分析的正確性。本文內容對高速并聯抓取機構的分析和研究有指導作用，同時對后期實體樣機的制作提供理論基礎。