基于改進總變差正則化算法的金屬缺陷三維重建方法

王 琦 ，張靜薇 ，李 坤

（1.天津工業大學 電子與信息工程學院，天津 300387；2.天津工業大學 天津市光電檢測技術與系統重點實驗室，天津 300387）

無損檢測技術（non-destructive testing technology，NDT）是指在不破壞和不影響被測對象各方面性能的前提下，利用聲，光、電、磁等物理信號，對檢測樣品的表面凹坑、劃痕及內部結構等缺陷進行檢測，從而獲得檢測樣品的相關測量數據，判斷檢測對象是否合格[1]。

金屬材料產品廣泛運用于國民經濟的各個行業，隨著我國經濟的快速發展，對金屬材料的需求日益增加。然而在金屬零件加工和生產過程中，不可避免地出現各種不同類型的缺陷，在使用過程中存在極大的安全隱患。常用的金屬零件無損檢測方法有超聲波檢測、射線檢測、磁粉檢測和渦流檢測[2-6]。超聲波檢測具有穿透能力強和靈敏度高的優點，但該方法需要涂抹耦合劑，不適用于在線檢測。射線檢測使用的射線為X射線，具有很強的穿透性，且不受材料形狀和結構的影響，因此可以得到高精度的測量結果。但是由于X射線會對人體造成傷害，具有很大的安全隱患。磁粉檢測可以表現出特定的缺陷特征，但該方法操作復雜且僅適合于鐵磁性材料，只能檢測表面和近表面的缺陷。渦流檢測是一種電磁技術，具有非接觸、檢測速度快、靈敏度高等優點。渦流檢測的傳感器由一個或兩個線圈組成，僅能獲取檢測線圈附近的檢測信息，可獲取到的檢測信息有限，且渦流檢測技術常用于檢測表面缺陷。由于需要檢測金屬零件表面和內部的缺陷，以上方法均不能滿足檢測要求。因此，迫切需要提出一種新的實時在線無損檢測技術。

電磁層析成像（electromagnetic tomography,EMT）是一種基于電磁感應原理的技術，具有傳感器靈活、成像實時、可視化等優點，適用于金屬零件缺陷檢測。使用由多個線圈構成的傳感器測量被測對象的信息，利用圖像重建算法處理這些信息，進而重現出被測對象內部電導率或磁導率分布。EMT圖像重建是典型的逆問題，具有嚴重的不適定性和病態性[7]，為解決這一問題，傳統的成像算法中常采用基于2范數的正則化算法，獲得的解在一定程度上會對重建圖像產生平滑效果。針對所研究的金屬缺陷具有稀疏性分布的特點[8]，本文采用一種改進的總變差正則化（Total Variation,TV）算法，它既能保留圖像的邊界信息，又能通過稀疏表示舍棄含有噪聲的數據。此外，現有的EMT技術主要針對表面缺陷的二維圖像重建，而對內部和表面缺陷的三維圖像重建研究較少，內部缺陷檢測是工業領域的要求和挑戰之一。因此，本文對金屬零件缺陷的三維圖像重建進行了研究。

本文利用EMT方法實現了金屬零件表面和內部缺陷的三維成像，使用TV正則化算法對缺陷圖像進行三維重建，通過仿真和實驗評估了所提出算法的性能，并與Tikhonov正則化算法和L1正則化算法進行了比較。

1 基于EMT的缺陷檢測系統

1.1 實驗系統構建

本文實驗中所使用的基于金屬缺陷檢測的EMT系統由信號源模塊、傳感器、數據采集系統、多路選通模塊和上位機5部分組成[9-11]，其結構圖如圖1所示。EMT測量系統工作過程如下：信號源產生特定幅值頻率的正弦信號作為激勵信號，通過多路選通模塊將激勵信號施加在傳感器線圈上，被測物場中的測量線圈產生感應電壓，高速采集模塊將采集到的感應電壓信號傳送到上位機，上位機利用圖像重建算法對被測物場內信息進行圖像重建。根據圖1結構圖搭建的用于金屬缺陷檢測的EMT系統如圖2所示，其各個功能模塊與圖1是一一對應的。

圖1 用于金屬缺陷檢測的EMT系統結構圖Fig.1 Structure of EMT system for metal defect detection

圖2 實驗EMT測量系統Fig.2 Experimental EMT measurement system

本實驗中所有的算法都是使用MATLAB軟件在Intel（R）Core（TM）i7的PC機上實現的，CPU主頻為3.4 GHz，內存為4 GB；高速采集模塊的型號為DG1022U；信號源模塊的型號為EX3005。

平面傳感器陣列由9個線圈組成，線圈呈3×3矩陣排列，如圖3所示。與傳統6線圈組成的“O”型傳感器相比，不僅克服了敏感場中心靈敏度分布不均勻的問題，并且線圈個數增多，可以獲得更多的測量數據，成像效果更好。9個線圈固定在一個非導磁塑料正方形盤上，邊長60 mm，厚度10 mm。各線圈由線徑為0.3 mm銅線繞制而成，匝數為100匝，高10 mm，內徑12 mm，外徑17 mm，線圈之間的間距為3 mm，對傳感器進行標號，分別為1～9號線圈。

矩陣式分布傳感器采用單線圈激勵模式，其測量模式如下：在檢測過程中，傳感器其中一個線圈被選擇作為激勵線圈，注入交流激勵信號，其他8個線圈作為接收線圈，接收感應電壓信號，之后更換激勵線圈，這個過程一直持續到所有9個線圈都被激勵完畢，因此可獲得9×8=72個獨立電壓測量值。傳感器在測量時，可獲得傳感器測量范圍內的電導率分布情況。由于缺陷的主要成分為空氣，與金屬的電導率差別較大，因此可以通過電導率分布判斷該區域內缺陷分布情況。

圖3 矩陣式分布傳感器實物圖Fig.3 Physical photos of matrix distribution sensor

在測量時，首先把無缺陷待測金屬放在圖2中的傳感器下方，傳感器提離高度為3 mm，測量得到空場數據，使用相同的方法測量有缺陷待測金屬得到物場數據。使用物場數據減去空場數據得到數據差值，利用數據差值和圖像重建算法得到缺陷分布圖像。

1.2 EMT的物理模型

EMT的數學問題包括正問題和逆問題[12-13]。EMT正問題的實質是求解一個時諧渦流場問題，描述為：

式中：Vij是第i個線圈作為激勵線圈時被檢測線圈j的感應電壓；C為物體空間的橫截面積；F為感應場分布函數；σ為電導率；μ為磁導率。

EMT系統的物理模型可由Maxwell方程組得到

在媒質為各向同性的條件下，其對應的特性方程為：

定義矢量磁位滿足

根據偏微分方程，由方程（2）、（3）、（4） 可構建EMT正問題模型

邊界條件為

正問題的結果將用于計算感應線圈中的感應電壓，以及逆問題所需的Jacobian矩陣。根據靈敏度矩陣公式，如果激勵線圈中的總電流為I0，則感應電壓對電導率變化的靈敏度為

在EMT的三維重建圖像中必須考慮趨膚效應的影響[14]。在線圈中通入交流電流時，線圈周圍會產生磁場，存在于線圈周圍的導體近表面會產生渦流。渦流能夠到達的檢測深度與激勵信號的頻率有關。根據趨膚效應理論，隨著激勵頻率的降低，檢測深度逐漸變大。

本文采用線性逆問題解決三維重建問題，假設正問題具有線性形式

式中：ΔV∈Rm×l為感應電壓的變化；S∈Rm×n×l為靈敏度矩陣；Δσ∈Rn×l為元素中電導率的變化；m為測量電壓數；l為對應于不同檢測深度的圖像層數；n為每個層的像素數。

2 EMT的圖像重建

EMT的圖像重建是利用檢測得到的感應電壓值，通過圖像重建算法重現出被測對象內部電導率和磁導率的分布圖像。由于獨立測量的邊界電壓數據的數目遠小于電導率分布的數目，且容易受到外界環境噪聲的干擾；式（8）中的靈敏度矩陣通常不是方陣，也不是滿秩矩陣，導致EMT圖像重建具有嚴重的不適定性和病態性，在求解過程中常采用正則化方法。

2.1 Tikhonov正則化算法

目前在電學成像領域使用最廣泛的正則化方法是Tikhonov正則化算法。在Tikhonov正則化算法中，我們將不適定逆問題轉化為適定極小化問題[15-16]，并將最小化目標函數定義如下

式中：‖g‖2代表2范數，第一項為數據項，第二項為正則化項；L代表正則化矩陣；α代表正則化參數。

求解式（9）的導數，并令導數等于0的方式求取極值點，假設L為單位矩陣I，則可以得到式（10）：

定義

所以式（11）可以變形得到式（12）

通過選擇合適的正則化參數，Tikhonov正則化算法可以獲得穩定的解和精確的圖像重建結果。然而Tikhonov正則化算法通過在原函數的基礎上增加2范數作為懲罰項，這種方法通常會使重建圖像過渡平滑。對于具有稀疏性和不連續性分布特點的金屬缺陷，圖像重構的邊緣信息喪失嚴重，造成圖像邊界模糊，圖像重建的精確度不高。

2.2 改進的總變差正則化算法

TV正則化使用不連續函數解決逆問題。將總變差函數引入到EMT圖像重建中[17-18]

式中：區域S為重建圖像區域。

選取重建圖像的灰度值G為變量，為解決變差函數可能出現的不可微的情況，采用更穩定的泛函來逼近TV（G）在空間中的情況，即

將總變差函數與正則化算法相結合，與Tikhonov正則化算法的目標函數（9）類比，將其中的第2項正則化項換成αTVβ（G），這樣就得到了TV正則化目標函數

式中：α代表正則化參數；β代表光滑參數。

在實際的計算中，為方便求解通常把目標函數轉化成離散的形式，則式（15）轉化為

式中：L為對應的灰度方陣特性的稀疏矩陣；‖LiG‖為對應不同區域的灰度方差。

為求解式（16），本文采用Newton-Raphson算法求解目標函數極小化，求得目標函數的梯度值為

式中

目標函數的Hessian矩陣為

則基于TV正則化的Newton-Raphson迭代算法如下

算法流程圖如圖4所示。算法在達到最大迭代次數或第k次迭代的相對容差ek滿足ek=‖Gk+1-Gk‖2≤ε時停止，其中ε為預定義的相對容差。

圖4 TV正則化算法的流程圖Fig.4 Flow chart of TV regularization algorithm

3 仿真結果

在本節中，為證明TV正則化算法的優越性，構建不同缺陷仿真模型，并與現有的Tikhonov正則化算法和L1正則化算法的重構結果進行了比較。

3.1 仿真模型的建立

為了驗證TV正則化算法的有效性，本文在COMSOL Multiphysics環境中對EMT系統進行仿真實驗。根據第1節設計的EMT系統，構建矩陣式分布傳感器仿真模型如圖5所示，采用單線圈激勵方式，對表面和內部缺陷進行了仿真對比實驗。本文中使用的待測對象是方形鋁板，大小為60 mm×60 mm×10 mm。設置背景（鋁）的電導率為3.774 7×107S/m，空氣的電導率為1 S/m。根據各線圈磁場強度的不均勻性和測量系統的噪聲等級，在仿真中加入±1%的高斯噪聲，用來模擬真實環境中的噪聲。EMT系統的典型噪聲等級對應的信噪比約為40 dB，噪聲的方差是0。

圖5 矩陣式分布傳感器仿真模型Fig.5 Simulation model of matrix distributed sensor

3.2 基于TV正則化算法的二維仿真結果

為了驗證算法的有效性，使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化這3種算法對6種缺陷模型的表面進行二維圖像重建，本實驗采用10 kHz的交流激勵頻率，重建結果如圖6所示。

圖6 6種缺陷模型的重建結果Fig.6 Reconstruction results of six defect models

圖6中第1列為仿真模型，構建了6種不同尺寸、位置和缺陷個數的缺陷模型，編號為模型1～6，模型1～3的缺陷直徑分別為5 mm、4 mm和3 mm，模型4～6的缺陷直徑均為3 mm，所有缺陷深度均為1 mm。第2、3、4列分別對應的是Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化算法的重建結果。

在重建圖像中，紅色部分是具有缺陷的低電導率區域，藍色部分是沒有缺陷的高電導率區域，綠色部分是由噪聲和算法引入的偽影。從圖6可以看出，3種算法均能對缺陷的位置和數量實現重建。其中Tikhonov正則化算法的成像效果最差，偽影最嚴重；當缺陷的尺寸逐漸減小時，相較于另外2種算法，TV正則化算法在缺陷尺寸變化過程中的重建圖像效果最好。

為了定量評價算法的性能，通過電導率分布和重構圖像得到相對誤差（relative error，RE）來衡量成像精度，定義如下

式中：σ*為重構電導率分布；σ為真實電導率分布。

表1為6種缺陷模重建圖像的RE值。

表1 6種缺陷模型重建圖像的RE值Tab.1 RE values of reconstructed images of six defect models

從表1可以看出，單個缺陷重建圖像的質量要優于多個缺陷重建圖像的質量。采用TV正則化算法重建的圖像具有最小的RE值，與另外2種算法相比圖像重建效果更好。每種缺陷模式采用3種算法圖像重建的時間如表2所示。

表2 6種缺陷模型的圖像重建時間Tab.2 Reconstructed image time of six defect models s

從表2可以看出，TV正則化算法運行速度最快，Tikhonov正則化算法的速度略慢于TV正則化算法，L1正則化算法需要更多的迭代次數，因此是最慢的。

3.3 基于TV正則化算法的三維仿真結果

采用TV正則化算法對鋁板內部缺陷模型進行三維圖像重建，所有缺陷均為直徑3mm、深度10 mm的圓柱體。根據趨膚效應，可以通過選擇激勵頻率檢測不同的深度，然后通過三維插值重建出三維EMT圖像[19-20]。

為了測試激勵頻率在不同檢測深度下的靈敏度，選取100 Hz、1 kHz、10 kHz激勵頻率重建不同檢測深度的缺陷圖像（如圖7所示），從而獲得不同激勵頻率下的最佳檢測深度。

圖7 不同檢測深度與激勵頻率的關系Fig.7 Relationship between different detection depths and excitation frequencies

從圖7可以看出，高頻和低頻激勵信號均可以檢測深度為1 mm的缺陷，但使用高頻激勵信號重建的圖像更接近缺陷的真實形狀。對于深度小于5 mm的內部缺陷，低頻激勵信號不僅可以獲取缺陷的分布信息，還可以獲得缺陷的形狀信息。而隨著檢測深度的增加，最佳激勵頻率降低。例如，當缺陷深度為9 mm時，高頻激勵信號無法檢測到缺陷。根據仿真結果，本文選取檢測深度為1 mm、5 mm和9 mm的二維圖像序列進行三維圖像重建。3個檢測深度對應的最佳激勵頻率分別為100 Hz、1 kHz和10 kHz。

為了驗證TV正則化算法在三維圖像重建中的優越性，構建了缺陷數目為2、4、6的缺陷仿真模型，3種算法圖像重建得到的內部缺陷二維圖像序列和三維重建圖像如圖8所示。

圖8 3種缺陷模型三維/二維重建結果Fig.8 3D/2D reconstruction results of three defect models

利用與二維重建圖像相似的誤差分析方法，對三維重建圖像進行定量評價。對三維重建圖像的每個圖像層分別計算RE值，然后取其平均值RE3D，定義如下

式中：i=1，2，3，…，k為不同圖像層的圖像；k 為圖像層總數。

圖8中第1列為缺陷模型，其余6列為使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化3種算法得到的二維圖像序列和三維重建圖像。從圖8可以看出，3種算法均可以檢測出缺陷的數量和近似位置。表3為內部缺陷的三維圖像重建的RE值。

表3 3種缺陷模型三維重建圖像的RE值Tab.3 RE values of 3D reconstructed images of three defect models

由表3可以看出，在三維重建圖像中，L1正則化算法和TV正則化算法的成像質量優于Tikhonov正則化算法。此外，與L1正則化算法相比，TV正則化算法具有更好的圖像重建效果。

4 實驗結果

為了進一步驗證TV正則化算法在EMT重建圖像方面的有效性和可行性，進行了真實實驗。

本節使用第1節中9線圈矩陣式分布傳感器，待測對象是邊長60 mm，厚度10 mm的方形鋁板，在鋁板上分別構建1個、2個、4個缺陷。在EMT系統中分別加入100 Hz、1 kHz、10 kHz的交流激勵頻率，得到不同深度的重建圖像，從而得到三維重建圖像，如圖9所示。表4為鋁板內部缺陷的三維重建圖像的RE值。

圖9 真實實驗三維/二維重建圖像Fig.9 3D/2D reconstructed images from real experiments

表4 真實實驗三維/二維重建圖像的RE值Tab.4 RE values of 3D/2D reconstructed images of real experiments

圖9第1列為有缺陷鋁板，其余6列為使用Tikhonov正則化、L1正則化和TV正則化3種算法得到的二維圖像序列和三維重建圖像。從圖9可以看出，采用TV正則化算法重建的三維圖像最接近缺陷的真實分布。在實際測量中，由于存在系統誤差和隨機誤差，使得測量數據與上述數值結果存在差異。因此，在表4中得到的誤差大于在表3中得到的誤差。

5 結論

本文根據EMT系統圖像重建的基本原理，針對金屬缺陷的稀疏性分布特點，提出了一種改進的TV正則化算法對金屬缺陷圖像進行重建。利用COMSOL Multiphysics構建仿真模型，使用TV正則化算法對不同個數、位置的缺陷模型進行仿真和實驗，并與Tikhonov正則化算法、L1正則化算法的重建圖像和相對誤差進行了對比。仿真和實驗結果均表明，使用改進的TV正則化算法重建的結果與目標缺陷原型最接近，成像效果最好，具有更小的相對誤差，可低至0.1左右。討論了激勵頻率

與檢測深度的關系，為三維圖像重建提供了依據。由此證明了EMT系統具有對表面和次表面缺陷非侵入性檢測的潛力。本文僅證明了利用EMT進行金屬缺陷三維圖像重建的可行性，為了進一步提高重建圖像的成像效果，在今后的工作中，將通過掃頻實驗重點研究具有更多二維圖像層的三維缺陷成像。