期望損失（ES）的幾種逼近法比較

魏正元，李 喬，王 雪，鄭小洋

（重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054）

在險(xiǎn)值（value at risk，VaR）和期望損失（expected shortfall，ES）是2種常用且重要的風(fēng)險(xiǎn)度量值，且2個(gè)量都是不可直接觀測(cè)的，VaR直觀、簡(jiǎn)單，ES屬一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，故而關(guān)于這2個(gè)量的研究一直備受學(xué)者和市場(chǎng)從業(yè)者的關(guān)注，相關(guān)的著作和文獻(xiàn)較多［1－3］。然而ES的積分運(yùn)算不一定有閉式表達(dá)式，因而很有必要研究其近似計(jì)算和數(shù)值解法。

在未知總體分布情況下，SIMONATO JG［4］應(yīng)用Johnson分布的前四階矩計(jì)算VaR和ES，GRAZIA Z M等［5］使用Gram Charlier展開(kāi)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得出風(fēng)險(xiǎn)度量的封閉形式，Amédée Manesme CO等［6］探討了校正的Cornish Fisher在風(fēng)險(xiǎn)度量中的應(yīng)用，Arevalillo JM［7］研究了Saddlepoint反演。本研究將Edgeworth和Saddlepoint引入ES的計(jì)算，并與bootstrap的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明Edgeworth和Saddle point在VaR的計(jì)算中相差無(wú)幾，但在計(jì)算ES時(shí)，Edgeworth展開(kāi)比Saddlepoint展開(kāi)簡(jiǎn)單且具有更高的精確度。

設(shè)某個(gè)金融頭寸在持有期L內(nèi)的損失變量X的概率分布函數(shù)為FX（x）（本文用資產(chǎn)收益率γt刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)，空頭用X＝γt，多頭用X＝－γt），且E［｜X｜］＜∞，給定尾部概率p（0＜p＜1），ES的定義為［6］

這里xq＝F－1X （p）是X的q＝1－p右側(cè)分位數(shù)，從風(fēng)險(xiǎn)度量角度是VaR值xq＝VaRp（X）。ES為損失超過(guò)VaR值的期望，也就是條件在險(xiǎn)值（CVaR）。

1 主要結(jié)果

定理1 若損失隨機(jī)變量X滿(mǎn)足Cramer’s①如果sup t→∞ ｜E F（eitX）｜＜1，則X滿(mǎn)足Cramer’s條件條件，則式（1）中I（xq）的估計(jì)值為

證明 如果連續(xù)型隨機(jī)變量X前4階矩存在，其q分位數(shù)的Cornish Fisher展開(kāi)和概率密度函數(shù)的Edgeworth展開(kāi)有如下形式［8］

式中

出I（xq）的值，通過(guò)Edgeworth展開(kāi)得到一個(gè)不完全gamma函數(shù)的解析表達(dá)式，使尾部積分的計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)。

定理2 設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體F（x）的iid樣本，則式（1）中I（xq）的估計(jì)值為

證明 若iid樣本X1，X2，…，Xn～f（x），記MX（t）＝E［etX］和KX（t）＝log MX（t）為X的矩母函數(shù)和累積量生成函數(shù)，Tn＝（X1，X2，…，Xn，F(xiàn)）為某標(biāo)準(zhǔn)化的漸近正態(tài)統(tǒng)計(jì)泛函，記Fn是Tn的分布函數(shù)，Mn（t）為T(mén)n的矩母函數(shù)，

為T(mén)n的累積量生成函數(shù)（Cumulant generating function）。令

由文獻(xiàn)［7］中的結(jié)論可得Saddlepoint展開(kāi)計(jì)算的分位數(shù)為

第二步近似I（xq），將Saddlepoint展開(kāi)計(jì)算的分位數(shù)與Broda［9］給出的近似方法相結(jié)合可得

2 模擬計(jì)算

Bootstrap屬非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，它將觀測(cè)樣本看作有限總體，通過(guò)對(duì)觀測(cè)樣本進(jìn)行重復(fù)抽樣得到Boot strap樣本，進(jìn)而對(duì)總體分布的未知參數(shù)進(jìn)行推斷。若x1，…，xn為損失隨機(jī)樣本觀測(cè)值，x（1），…，x（n）為其次序統(tǒng)計(jì)量，令l＝nq，qi＝li／n，l1和l2表示nq的最近鄰的2個(gè)正整數(shù)，那么分位數(shù)xq的估計(jì)為

從觀測(cè)樣本x1，…，xn抽取Bootstrap樣本，重復(fù)抽樣次數(shù)為B，那么基于Bootstrap計(jì)算的VaR為

表1 分位數(shù)理論值和3種方法在不同尾部概率下的估計(jì)值

從表1中分位數(shù)估計(jì)可以看出：Bootstrap和Cornish Fisher估計(jì)更接近真實(shí)值，Saddlepoint估計(jì)雖然在精確度上次之，但相對(duì)誤差未超過(guò)5%。從圖1可以看出I（xq）的計(jì)算結(jié)果，Edgeworth展開(kāi)擬合值和Bootstrap擬合值與真實(shí)值更為接近，一定程度上說(shuō)明Edgeworth展開(kāi)在計(jì)算ES值時(shí)比Saddlepoint展開(kāi)更為精確。

3 實(shí)證分析

本文中采集阿里巴巴2019年6月1日到8月1日的股票收盤(pán)價(jià)格Pt共41個(gè)，從多頭的角度，以日對(duì)數(shù)收益率Rt＝log（Pt）－log（Pt－1）來(lái)進(jìn)行實(shí)證分析。運(yùn)用Saddlepoint展開(kāi)時(shí)，以雙指數(shù)分布擬合收益率數(shù)據(jù)。收益率數(shù)據(jù)通過(guò)核密度估計(jì)、Saddlepoint展開(kāi)和Edgeworth展開(kāi)擬合的4個(gè)密度函數(shù)分別如圖1、2所示。

圖1 樣本量為20的gamma（5．5）分布的I（xq）真實(shí)值，Saddlepoint估計(jì)值，Edgeworth估計(jì)值以及Bootstrap擬合值

圖2 收益率數(shù)據(jù)的擬合核密度函數(shù)圖及其雙指數(shù)分布和Edgeworth展開(kāi)擬合的密度函數(shù)

從圖2中看出：Edgeworth展開(kāi)擬合的密度函數(shù)比Saddlepoint展開(kāi)擬合的密度函數(shù)更接近參照值。進(jìn)一步比較表2中VaR值的近似值，反轉(zhuǎn)Lugannani Rice和Cornish Fisher估計(jì)在精確程度上相當(dāng)，且相對(duì)誤差都不超過(guò)15%。觀察表3比較I（xq）的計(jì)算結(jié)果，Edgeworth展開(kāi)更為精確，誤差比不超過(guò)15%，優(yōu)于Saddlepoint展開(kāi)。

表2 3種方法在不同尾部概率下的分位數(shù)估計(jì)

表3 3種方法在不同的概率下計(jì)算的I（xq）值

4 結(jié)論

比較分析了在小樣本情況下Edgeworth展開(kāi)和Saddlepoint展開(kāi)在計(jì)算ES值時(shí)的優(yōu)劣。隨機(jī)模擬和實(shí)證分析結(jié)果可以看出：Edgeworth展開(kāi)計(jì)算更為簡(jiǎn)單、結(jié)果更為精確。Cornish Fisher展開(kāi)和反轉(zhuǎn)Lugan nani Rice公式都給出了VaR值的相對(duì)誤差小于15%的有效估計(jì)值，相比之下反轉(zhuǎn)Lugannani Rice沒(méi)有一個(gè)具體的表達(dá)式，計(jì)算繁瑣。需要指出的是，Saddlepoint展開(kāi)是基于累積量生成函數(shù)得出的，如果分布的矩母函數(shù)不存在，則無(wú)法使用Saddlepoint展開(kāi)。