傳染病在噪聲影響復雜網絡上引起的同步

張曉磊，劉茂省

（中北大學 理學院，太原 030051）

如今，許多現實世界的系統可以用復雜動態網絡描述，如互聯網、神經網絡，生物系統。研究并探索復雜網絡中出現的不同動態行為之間的相互作用是增強對其理解與運用的有效舉措［1］。在不同的動態行為中，網絡上個體應對傳染病引起的集體行為和傳染病傳播之間的關系已經引起大多數人的關注。隨著傳染病的傳播，個體會收到來自政府、媒體或人與人之間等其他途徑得知的傳染病信息來適應性地改變各自的行為，即采取集體行為以避免被感染，如經常用清水洗手，避免去擁擠地方等，以提高自我保護，這意味著在傳染病傳播的過程中，個體之間有關傳染病信息的傳播可以自發地誘發集體行為，這表明網絡上個體應對傳染病引起的集體行為和傳染病傳播，可以同時發生并自適應地相互作用。

在過去的幾年中，復雜動態網絡的同步問題受到廣泛關注，如在小世界［2］和無標度動態網絡［3］中，推導出了動態網絡完全同步的準則，其中指出網絡拓撲結構和節點動態之間的相互作用對于網絡實現完全同步十分重要。就傳染病傳播過程中的同步研究，李科贊等［4］集中在傳染病傳播如何影響個體的集體行為方面開展研究，提出了基于異質平均場（HMF）理論的SIS（易感－感染－易感）和SIS（易感－感染－恢復）傳染病同步模型，得出傳染病的傳播會引發個體行為的變化，進而影響傳染病的演變。李科贊等［5］研究了在復雜網絡上個體行為的同步和傳染病傳播之間的相互作用，即不僅研究傳染病傳播對個體行為同步的影響，還研究個體行為同步對傳染病傳播的影響，更分析了傳染病傳播的控制問題。孫孟鋒等［6］在傳染病傳播過程中，引入了在個體之間傳染病信息傳播與傳染病傳播之間的耦合時滯，構建了3種不同（無時滯、耦合時滯和雙重時滯）的數學模型，并分別研究了在復雜網絡上個體行為的同步與傳染病傳播之間的相關性，分析了傳染病同步數學模型的局部和全局穩定性。李俊民等［7］研究了具有未知周期時變耦合和隨機噪聲擾動的復雜動態網絡的同步問題，得到了復雜動態網絡同步的充分條件。

然而，目前對傳染病傳播過程中個體行為同步的研究大都是不受噪聲影響的復雜網絡模型，為了更好地評估復雜網絡中傳染病傳播與個體行為之間的相互作用，研究了在受隨機噪聲擾動影響的復雜網絡上，個體應對傳染病引起的集體行為與傳染病傳播之間存在的相互作用的問題。在受噪聲影響復雜網絡模型的基礎上，應用實際網絡中觀察到的自適應機制，通過向網絡上節點添加合適的控制器，構造傳染病同步的數學模型來研究受控噪聲影響復雜網絡的同步問題。

1 模型的建立

基于文獻［5］的復雜網絡模型（1），建立具有N個節點組成的受噪聲影響復雜網絡（4），

其中xi（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xin（t）］T∈Rn，代表第i個節點在t時刻的狀態變量，t∈［0，＋∞），f∶Rn×R→Rn是一個連續非線性向量值函數，描述節點的局部動態；ci（t）＞0表示耦合強度；Γ＝diag（γ1，γ2，…，γn）∈Rn×n代表內部耦合矩陣，是一個正定對角矩陣；A＝（aij）N×N是網絡的鄰接矩陣，若節點i與節點j（i≠j）之間有連接，則aij＝aji＝1，否則aij＝aji＝0。基于鄰接矩陣A，網絡的Laplacian矩陣L＝（lij）N×N可表示為

Laplacian矩陣L＝（lij）N×N的對角元素滿足以下等式：

這里kai表示節點i的度。假設L是不可約矩陣，意味網絡是強連通，沒有孤立集群。根據文獻［8］可知0是L矩陣的重數為1的最小特征值，并且其他特征值都嚴格為正。

復雜網絡模型（1）可用Laplacian矩陣表示為

具有N個節點組成的受噪聲影響復雜網絡，如下所示：

對于（4）與（1）（3）相比，除多了最后一項gi（x1，x2，…，xN）dωi（t）以外，其他符號表示一致，其中gi∈C（Rn×… ×Rn，Rn×n）是噪聲強度函數矩陣，ωi（t）＝（ωi1，ωi2，…，ωin）T∈Rn是n維向量Wiener過程，當i≠j時，假設 ωi（t）和 ωj（t）是相互獨立的過程。

對于一個孤立節點的解s（t）滿足

由于傳染病的信息傳遞具有時滯或其他特殊原因導致傳染病暴發時，人們不能在短時間內對其做出相應的反應，此時，對人們的行為進行一些指導，包括在醫院獲得治療和隔離，或經常洗手和休息等，以達到抑止傳染病爆發的目的。這種行為的指導都可在反饋控制器下實現，本文中，通過在每個節點上增加一個反饋控制器ui（t）來控制個體的行為，以便傳染病在網絡中傳播期間實現所期望的行為同步。受控噪聲影響復雜網絡描述如下：

如果對于任何給定的初始狀態向量xi（0），受控噪聲影響復雜動態網絡（4）的解滿足以下條件，則稱其在均方意義下實現漸近同步，

SIS模型是一種典型的傳染病傳播模型，在這種傳染病傳播模型中每個節點處于易感或感染這2種狀態中的一種。感染節點以單位速率恢復為易感節點，易感節點以感染率為λ被其鄰居感染，變為感染節點。考慮復雜網絡上標準SIS模型，其中ρk（t）表示在t時刻度為k的感染節點的密度，則度為k的節點的演化方程可描述為

這里θ（t）為從一節點出發與其他節點隨機連邊，與感染節點相連的概率表易感節點連接到感染節點，它被感染的概率。在實際中個體會根據傳染病信息適應性地改變各自的行為（減少個體間接觸的頻率，并更經常地采取集體保護措施）以避免被感染，因此這樣會導致感染率變化，用 （t）來量化這種影響，感染率λ變為λ （t）。對于個體根據傳染病信息適應性地改變各自的行為以避免被感染的情況，可以看作是個體受到同步信息（即當傳染病傳播開來，政府、媒體發出公示或個體互相交流信息：如果采取某種行為可以預防或減少被感染的風險）進而采取同步行為的影響，同時 （t）＝（1－α）E（t）＋α，α∈（0，1）也可看作是準入率［9］，作為同步的信息，可以被認為是個人意識（或風險認知），即如果一個人在公共場合做出同步行為來達到感染控制的目的，這時由于一個人的反應有一種集體化，就可能會使這種同步行為更容易被接受，進而有更多的人去效仿，最終有利于感染得到控制，在整個過程中體現了個體由于受到同步的信息影響進而引起行為的同步。所有個體實現同步時，t→∞，E（t）→0，準入率 （t）達到最小值α。參數α值越小，相對應感染率λ （t）則變小，說明對集體行為的感知程度越高，當α＝1表示傳染病傳播不會受到同步的影響。

在制定具體的傳染病同步模型之前，做出以下基本假設［4－5］：

1）當傳染病開始傳播時，動態網絡中的個體之間存在弱線性耦合；

3）當集體保護行為顯著增加時，個人之間的保護信息交流將因達成保護協議而變得飽和。因此，耦合強度變化同步間的比例關系始終保持有效。

在以上假設的基礎上，用模型（8）描述傳染病傳播的特征，用模型（6）描述傳染病傳播過程中個體保護行為的演化過程，然后可以構造如下SIS傳染病同步模型：

2 受噪聲影響的復雜網絡上傳染病同步的穩定性

定義1 系統（9）的同步流形可定義為

設Ω＝｛（S1，ρ1，…，Sd，ρd）∈R2d＋0≤Sk≤1，Sk＋ρk＝1，k＝1，…，d｝，Ω為系統（8）是正不變集，Ω0在Ω的內部。

從上式可以看出θ＝0是該方程的一個平凡解，下面導出該方程存在正解0＜θ＜1的條件，為了分析θ（t）的性質，構造輔助函數F（θ）：

經計算可以得到，

從R0的推導可知當R0＞1，則傳染病模型（8）存來，將考慮無病平衡點E0的全局穩定性。

其中Nk（ρ）＝－kλ （t）ρk（t）θ（t），則傳染病模型（8）可寫為： ρ＝Bρ＋N（ρ），

令B＝－I＋珟B，I表示單位矩陣，

已知Ω為傳染病模（8）是正不變集，且Ω0在Ω的內部，所以只需要考慮解在Ω0的全局漸近穩定，對傳染病模（8）的兩邊同時乘以kp（k），并求和得：

構造Lyapunov函數

沿著傳染病模型（8）求導，得

為得到定理2，接下來給出以下數學預備知識。

假設1 在受噪聲影響復雜網（4）中，假設存在li＞0，滿足

假設2 存在非負常數rij，i，j∈1，2，…，N，使得

定義2 （It formula）對于n維隨機微分系統

V（x（t），t）∈C2，1（Rn×R＋；R＋），這里C2，1（Rn×R＋；R＋）表示所有非負函數的簇，它們關于x是2次連續可微的，關于t是一次可微的。算子LV（x（t），t）被定義為

引理1［11］考慮系統（14）設q1、q2、q3為正數，假設存在函數C2，1（Rn×R＋；R＋），使得

那么平衡點x＝0在均方意義下是全局隨機漸近穩定的。此外，對于任何∞＞t＞t0≥0，只要積分的期望值存在，則有

考慮受噪聲影響復雜網絡（4）的同步，為了實現同步目標（7），每個節點上增加的自適應控制器ui（t），（ki（t）是自適應參數）如下所示：

將控制器（17）應用于（6），通過ei（t）＝xi（t）－s（t），則受控噪聲影響復雜網絡的誤差系統可表示為

以下定理描述了受控網絡（6）全局漸近同步的一個充分條件。

定理2 當R0＞1，傳染病模型（8）的地方病平衡點E ，它在Ω0內是全局漸近穩定的，在假設1、2下系統（4），通過控制器（17）和自適應律（18）可保證受控網絡（6）在均方意義下全局漸近同步，也就是傳染病同步模型（9）的動態行為網絡的同步流形是全局漸近穩定的。

證明：因為Si（t）＋ρi（t）＝1，i＝1，2，…，d，則傳染病模型（8）可表示為

定義如下矩陣：

對于V1（t），沿系統（8）的解對t求導，相似的分析過程可參考文獻［13］，可以得到對于函數V1（t）＝

對于

從上兩式和假設1、2下，可得

從引理1和式（24），可知

根據引理1，可知誤差動態系統（19）在均方意義下是全局漸近穩定的，網絡（4）在均方意義下實現漸近同步。

同步流形S也是全局漸近穩定的。

3 數值模擬

為了驗證上述結果，對SIS傳染病同步模型（9）進行數值研究，嵌入模型（9）中的網絡被看成大小為N＝200的BA無標度（優先連接）網絡，這個網絡是從m0＝4的初始網絡演變而來的，我們給每一個新節點添加m＝3新邊。不失一般性，假設模型（9）中的f為混沌洛倫茲振蕩，盡管從實際傳染病傳播過程的角度來看，這一假設很難證明是正確的，只是將其用于數值模擬。這種振蕩可以描述為

在這里a1＝10，a2＝28，a3＝8／3，?？醋魇菃挝痪仃嚕渌麉禐?δ＝0．001，α＝0．5，di＝0．01。噪聲強度函數矩陣gi（x）＝diag（xi1－xi＋1，1，xi2－xi＋1，2，xi3－xi＋1，3），其中xN＋1，3＝x11，i＝1，…，N。xi的狀態初值是從服從均勻分布的［0，1］中隨機選取的，初始耦合強度為ci＝0．001，初始感染密度為 ρ1＝ρ2＝0．01，ρi＝0，i＝1，…，d，初始自適應參數為ki＝di＝0．01。

圖1中（a）、（b）表示模型（9）的 λ分別等于0．2，0．8時，同步誤差E（t），感染密度 ρ（t）和耦合強度

圖1 同步誤差E（t），感染密度 ρ（t），耦合強度ci（t）分別在 λ＝0．2，0．8時的變化

從圖1（a）可知：當λ＝0．2時，傳染病不會爆發，沒有形成地方病，此時E（t）不等于0，意味著同步沒有實現，個體沒有表現出集體行為，但是從圖上可以看出當傳播過程中， （t）滿足以下條件α≤ （t）＜1， （t）＝α時，個體之間存在同步信息，此時傳染病感染密度收斂為0的速度比 （t）＝1時個體之間不存在同步信息要快，說明個體之間同步信息的存在會加速傳染病的滅絕。從圖1（b）可知：當λ＝0．8時， （t）＝1傳染病感染密度曲線表明個體之間由于不存在同步信息傳染病會爆發，但是由于模型中存在自適應控制器導致傳染病生成的規模不是很明顯，但此時可以明顯看到個體之間存在同步信息，傳染病感染密度收斂為0，同時E（t）等于0，意味著同步實現，同步信息的存在會使個體表現出集體行為，說明個體的集體行為可以抑制流行病傳播行為，反之，這種流行病傳播行為可以加速個體的集體行為。

圖2是當λ＝0．8時，自適應控制器ui的變化曲線和自適應參數ki的變化曲線。

圖3 （a）、（b）表示模型（9）的 λ分別等于1．2，2時，同步誤差E（t），感染密度 ρ（t）和耦合強度ci（t）的變化。

從圖3（a）可知：當λ＝1．2時，由于模型中存在自適應控制器ui的原因導致傳染病生成的規模不明顯，從圖3（b）可知：當λ＝2時，盡管模型中存在自適應控制器ui，若個體之間不存在同步信息，傳染病會爆發，說明模型中的自適應控制器只在感染率在一定范圍內才有效，但此時可以明顯看到若個體之間存在同步信息，傳染病感染密度收斂為0，同時E（t）等于0，意味著同步實現，同步信息的存在會使個體表現出集體行為，從而抑制傳染病的傳播。

4 結論

研究了受噪聲影響復雜網絡上由傳染病動力學引起的個體同步行為，構建了能刻畫這類現象的傳染病同步數學模型，研究了模型的感染率與同步穩定性之間的關系，得到了同步模型的全局穩定性條件。數值模擬結果表明：集體行為可以抑制傳染病的傳播行為，反之，這種傳染病的傳播行為可以加速集體行為，這一結論與實際復雜網絡上傳染病的傳播特征吻合。因此，在研究復雜網絡上的傳染病同步問題時，本研究可為更好地理解和控制這類復雜網絡系統提供基本框架。