基于數學史視角的“弧度制”概念教學設計

韓婧

1問題提出

“弧度制”在三角形的發展史中具有重要的歷史地位，前接角度制，后承三角公式，內含豐富的思想方法.同時，弧度制也是高中數學中一個相對較難理解的概念.現行不同版本的高中數學教科書在向學生介紹弧度制概念時，都是直接拋出的，并且對于弧度制中有關公式僅呈現相關結論內容，將數學知識的發生、發展和演變過程抹去，導致很多學生學習了角度制后，對為什么還要學習弧度制感到不是很理解，不清楚弧度制是如何發生發展的，對弧度制存在知其然，但不知其所以然的狀況.在實際教學過程中，如若教師再刻板的執行數學教科書上的安排，學生便感到更加索然無味，常常會有“弧度，弧度，越學越糊涂”的感覺.

數學史家克萊因（M.Kline，1908-1992）認為：“歷史上數學家所遇到的困難，這是學生也會遇到的學習障礙，因而數學史是教學的指南.”任何一門學科的教學，都離不開該學科的歷史，數學亦是如此.通過數學史的滲透，帶領學生像數學家一般親歷數學知識的發現過程，領悟和掌握隱藏在知識形成過程中的思想方法，點燃學生對數學學習的熱情，提升學習數學的能力.為此本文從數學史視角出發對弧度制概念的教學內容進行重新整合和設計，希望對現有的數學教學提供有益的借鑒.

2教學分析

依據數學史料不難看出，弧度制和角度制的形成過程十分相似，二者的共同點都是通過圓周等分得到單位弧長，進而在此基礎上定義單位角的大小，不同點在于二者劃分的方式不一樣，角度制是以度作為單位將整個圓周劃分成360個等份，而弧度制是以半徑長為度量單位將整個圓周劃分成2π個等份.根據這一特征，筆者制定了如下的教學目標和教學重難點：

2.1教學目標

知識與技能：了解弧度制概念的產生，明確1弧度角的含義;把握角度制、弧度制之間的換算公式和弧度制下的扇形面積以及弧長公式;理解在弧度制下弧與角之間可以建立一種一一對應的關系;

過程與方法：親歷探索過程，認識到弧度制和角度制都可以作為度量角的制度，二者盡管單位不同，但是相互聯系、辯證統一的，并進一步領會弧度制定義的合理性與優越性;

情感、態度與價值觀：通過展示弧度制的發展史，讓學生充分體會數學家的聰明才智，提升學習數學的興趣.

2.2教學重難點

教學重點：弧度制的概念以及角度與弧度的互化換算;

教學難點：弧度作為單位的合理性.

3教學過程

3.1溫故知新：復習角度制，感悟對應關系

問題1在平面幾何中研究角的度量，當時是用“度”做單位來度量角的，1°的角是怎樣定義的？最早的人們是怎樣定義1°的角？

歷史介紹 角度制是由古巴比倫人在公元前300年左右最先提出的.他們將整個圓的周長平均分成360個小份，把與其中每一小份相對應的圓心角稱為1度.在弧和角建立了一一對應關系后，把與每一小份相對應的圓心角稱為1度角，這便出現了角的度量.因為那時并未產生10進制，于是他們便采用60進制的計數系統，所以1度還可以再分為60分，1分還能再分為60秒.

設計意圖 與現今理解有所出入的是，歷史上，人們采用“度”、“分”、“秒”最先是來作為刻畫圓弧的長度單位，在圓心角和圓弧之間建立起一一對應關系后，才將它們作為度量角的單位.換而言之，從歷史的角度看，人們是先通過對圓弧長的度量然后才度量角的.然而，“度”、“分”、“秒”在學生的認知中就是作為度量角的單位，并不清晰圓心角與圓弧之間存有關系.所以在弧度制的教學過程中，教師需要先打破學生固有的思維定勢，讓其認識到角和弧二者存在一一對應的關系.換而言之，弧和角是同構的，學生正確認識弧及度量單位是進一步理解角及其度量制的一個非常重要的環節.

3.2概念引入：反思角度制，產生認知沖突

問題2 請說出等式sin30°=1/2中“30”和“1/2”的進位制和度量單位各是多少？在同一式子中出現兩個不同的進位制和度量單位是不是很麻煩？縱觀歷史可以發現，許多杰出的數學家為實現進位制和度量單位的統一都進行了探索，認真思考一下他們會怎樣做？

設計意圖 學生都知道在等式sin30°=1/2中30的度量單位為度，采用的是60進制，1/2的度量單位為長度單位，采用的是10進制，在同一式子中出現了進位制和度量單位不統一的問題.縱觀歷史發展，實現弧長與半徑統一的思想由開始萌芽到后來形成，經歷的時間長達數千年，故問題2的設計意圖是為了點燃學生思索問題的熱情，思索怎樣統一度量單位和進位制.

3.3概念形成：在對比中劃分圓周長，加深理解

問題3 問題1中，我們將圓的周長劃分360個等份所成的弧叫作1度弧，1度弧所對的角稱為1度角，記作“1°”.現依據1°的定義，整個圓周便是360度的弧，即圓的周長等于360度，然而1度又等于60分，你能根據上述分析，計算出半徑r等于多少分嗎？

設計意圖 這實際上是阿耶波多的思想，具體來說，阿耶波多的正弦表設計按60進制，即整個圓周長是2πr=360°=21600′，若取π的值為3.1416，根據式子2πr=360°=21600′，可以計算出半徑r的值約等于3237.74分（保留兩位小數）.在問題1中，通過對角度制的歷史介紹，我們了解到原先度、分、秒作為度量單位是用來度量圓弧的，之后才用來度量角的.此時學生在頭腦中已意識到圓弧的度量單位和半徑的度量單位從本質上來看是沒有差別的，然而在原有認知中，度、分和秒僅僅是作度量角的單位，由此引發認知沖突.

問題4 一個圓的周長不論有多么長，在角度制中我們總能將它平均分成360個小份.類比角度制中劃分圓的周長的做法，在半徑長為r的圓中，根據c=2πr，得到c/r=2π，如果以r為單位，是不是每一個圓周都可以平均劃分為2π份？

設計意圖 實際上，這是歷史上著名數學家歐拉、阿耶波多的思想.公式c/r=2π表示如果把半徑作為長度單位來度量圓的周長，那么圓的周長不論多長，都可以被分成2π個單位，這與角度制的做法是相同的，即圓的周長不管多長，都可以將其周長平均分成360個部分.假如說將圓的周長平均分成360份還存有一定的主觀成分，那么把半徑作為度量單位將圓的周長平均劃分為2π個單位，就不是以人的意識為轉移的客觀規律，從理論視角上看，這可看作弧度制比角度制更加優越的一種合理詮釋.此外，將半徑作為度量單位，采用的是十進制，如果將它作為度量圓弧的單位，圓弧的度量單位即角的度量單位也就成了十進制，這樣便實現了半徑和圓弧的進位制和度量單位的統一.

3.4概念生成：巧用類比，定義1弧度角

類比角度制，定義1弧度角：在定義1度的角時，先把整個圓的周長平均分成360份，將其中一份弧所對的圓心角稱為1度的角.類比定義1度角的方法，在定義1弧度角時，采用以半徑長作為度量單位，把圓周的周長劃分成2π等份，把與其中一小份相對應的圓心角叫作1弧度的角，它的單位是“rad”，讀作“弧度”.我們將這種用“弧度”作為單位來度量角的制度稱為弧度制.此時每一小份弧的長都等于半徑的長.如圖1，也有定義“把長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱作1弧度的角”.

設計意圖 引導學生通過類比定義1中度量角的方法嘗試對1弧度的角進行定義，使得角度制和弧度制能夠很好的銜接.從本質上看，這也和課本上所給的1弧度的角的定義是殊途同歸，實質無異.從歷史演變的角度來看，與其說角度制和弧度制是度量角的制度，還不如說兩者都是度量圓的周長的制度.弧度制引入之后，角的大小實際上就是一個實數，能夠通過與其所對應的圓弧長來表示.

歷史介紹 弧度的符號是由英文單詞radian前三個字母簡寫得來的.1875年愛爾蘭工程師湯姆森率先提出這個詞，radian其實是由“radius”（半徑）和“angle”（角）兩個英文單詞組合而成的.中國是于1935年在《數學名詞》一書中將英文單詞“radian”翻譯成了“弳（jing）”，“弳”是由漢字“弧”和“徑”組合而成的，表示圓心角的弧度數和弧長和半徑相關，由兩者一同決定.

設計意圖 通過數學史的介紹，讓學生對“弧度制”一詞的構成有所了解，對圓弧、半徑與圓心角之間的關系也有了更加深入的認識.

3.5概念深化：弧度與角度之間的互化換算

問題5 從“形”上看，圓心角有正角、負角和零角之分，相應的弧也有正弧、負弧和零弧之分，如-π，-2π.從“數”上來講，圓心角和弧的度數有正數、負數和零之分.實際上圓心角和弧的正負只是代表“角的不同方向”.根據1弧度角的定義，將圓的半徑設為r，弧長設為l，圓心角設為a，請問r，l和a這三者之間存在聯系嗎？

設計意圖 根據1弧度角的定義，分析發現半徑為r，弧長為l，還有弧度數的絕對值|a|三者存在聯系，即為|a|=1/r中，對如何應用1弧度角的定義有所領會.

問題6 根據公式|a|=1/r可以分析得到：在角度制下的周角是360度，而在弧度制下卻是2π弧度;在角度制下的平角是180度，而在弧度制下卻是π弧度.你能發現角度制和弧度制二者之間的換算關系嗎？

說明：今后在用弧度制表示角時，通常可略寫單位符號“rad”或者“弧度”兩個字，只要將這個角對應的弧度數寫出即可，如a=-5表示a是-5rad（弧度）的角;a=7表示的是7rad（弧度）的角.此外，在弧度制下，角的集合與實數集R之間可以直接建立起一一對應的關系.如圖2，每一個角都能在實數集R中找到與它對應的唯一一個實數（即這個角的弧度數）;與此同時，實數也能在任意角的集合中找到與它對應的唯一一個角（即弧度數等于這個實數的角）.

設計意圖 “我們原先所熟悉的角度制適用于初等數學以及各種實用幾何，而弧度制則適用于高等數學.這種度量角度的單位，為面積與弧長的計算以及微積分中有關三角函數的計算，帶來了很大的方便.”通過弧度制和角度制比較，讓學生更加深刻體會到引入弧度制的簡捷性和優越性.

3.7課堂小結和作業

引導學生總結本節課的新知識點、研究思路，并體會其中所蘊含的數學思想方法;合理布置課后習題作業.

4教學設計反思

在整個教學設計中，以數學問題為載體，以思維發展為主線，將數學史融入到弧度制教學設計中，引導學生親身經歷弧度制概念的發生發展過程，厘清弧度制概念的來龍與去脈，領會其發展過程中所蘊含的數學思想和方法，充分感受到弧度制引入的必要性、合理性和優越性，從而實現對“弧度制”的不“糊涂”.具體地，有以下幾點教學反思：

4.1從數學史中尋找問題，感悟數學概念的本原和發展

“問題是數學的心臟”，學生在學習數學過程中遇到的問題，往往是數學家們經過長期思考和探究后所克服的問題.數學發展史也是數學問題的解決史.因而，教師需善于從數學發展史尋找問題，并以學生現有的認知水平和知識儲備為基礎重新進行問題創設.在本案例概念引入環節，從學生習以為常的等式“sin30°=1/2”入手，由于30是60進制的度量單位和1/2是十進制的度量單位，為此出現了進位制的不統一，思考如何統一度量單位和進位制.通過這樣的概念引入方式，可以更深切的反映弧度制引入的必要性，凸顯了弧度制概念的生成.

4.2將數學史融入課堂，喚醒數學思維的生命活力

數學課堂不但要傳授基本知識、技能，還要充分調動學生學習數學的熱情，只有學生積極參與，特別是學生數學的思維參與，學生才能愛數學、想學數學、學好數學.本教學設計中，在回顧“1度角的定義”后，揭示最早人們定義“1度角”的方法，接著通過一系列的教學活動，與學生一同經歷弧度制概念的建構過程，揭示弧度制統一度量單位的歷史背景.這里并不是為了數學史而講述數學史，而是讓學生在探索弧度制的發現過程中，真實觸摸其背后的文化內涵，體會學習數學帶來的趣味和快樂.

4.3再現數學史的發展歷程，揭示數學知識的來龍去脈

數學的概念史有其深刻的歷史背景及來龍去脈，只有讓學生真正了解這些背景及來龍去脈，學生才能真正理解學習這些數學概念的必要性和重要性.本案例中以數學教材為藍本，結合數學史對弧度制概念的教學內容進行再創造.從學生熟知的角度制出發，引導學生思考如何實現等式“sin30°=1/2”的左右進位制的統一，以此激發學生思考問題的熱情，為學習弧度制在形式上和思路上做好鋪墊.再讓學生循著大數學家的足跡進行探究，從印度的阿耶波多采用弧長表示半徑的方法，到瑞士數學家歐拉采用半徑長為單位度量圓周的方法，再到愛爾蘭工程師湯姆首創“弧度”一詞，在對弧度制概念一步一步還原的過程中，使學生真切地感受到數學發展的歷史曲折性，了解數學家們在探索與創造過程中不同的思維和最初定義的原理，揭示弧度制概念的來龍、去脈，領會其中所蘊含的數學思想方法，更加深刻反映學習弧度制概念的必要性.