發展數學建模核心素養教學實踐

鄭林 丘遠青

2020年9月福建省高中全面實施新課程、使用新教材，數學建模的實踐和活動進入到必修教材中.在課堂上如何有效開展數學建模活動，讓高中生親身體驗數學的實際應用價值，取得在以往的數學學習中難以收獲的寶貴經驗和感受，應是高中數學教師積極探索的課題.本文分享一節開展數學建模活動課的案例.

1教學內容解析

《停車距離問題》是《普通高中數學課程標準（2017年版）》第116頁的案例7，是新教材數學建模活動課的內容.通過停車距離問題的探究，讓學生經歷提出問題、確定變量、探尋關系、建立模型、分析模型、運用模型的數學建模一般過程，從中體會到數學在實際問題中的應用價值，感悟數學與現實之間的關聯，積累獨立思考和合作交流的經驗.

2教學目標設置

（1）針對停車距離問題的分析，讓學生體會在熟悉的情境中發現問題并轉化為數學問題，能夠選擇合適的數學模型表達所要解決的問題，體驗數學建模的一般步驟;

（2）引導學生基于合理假設，構建數學模型，分析模型參數的實際意義，并以此檢驗結果、完善模型，運用數學語言表達數學建模的過程和結果，發展學生數學建模核心素養;

（3）培養學生思維的開放性和創新意識，增強交通安全意識，養成自覺遵守交通規則的良好習慣.

3教學案例實錄

3.1創設實際情景，提出問題

教師活動：看幾張高速路上汽車追尾事故的照片.如果開著車行駛在高速路上，怎么樣才能降低追尾事故發生的可能性？考慮這個問題，首先要思考導致汽車追尾事故發生的因素有哪些？

生1：車速、天氣、路面情況、汽車剎車性能、司機是否疲勞駕駛、酒駕、醉駕等.

教師活動：這些因素都會影響一輛高速行駛的汽車迅速停穩需要的距離，我們需要研究車輛的停車距離受什么因素影響最大.

設計意圖《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》（國辦發[2019]29號）中強調，在全面實施新課程、使用新教材的過程中，要“積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學”.本節課在教學實踐中，以問題導向的形式從看似與數學無關的實際生活場景中獲得本次數學建模活動的研究對象：汽車在急剎車的過程中，停車距離受什么因素影響最大，這個因素如何影響停車距離.

3.2抽象實際問題，確定變量

教師活動：課前以小組的形式布置這些問題給同學們思考和討論，誰來分享你們小組的想法？

生2：車輛的行駛速度是影響停車距離最大的因素.司機的身體狀況、天氣、路面情況、汽車性能是否正常等其他因素是隨機的，理想狀態下把它們看成是不變的量.

教師活動：大家都一致認同停車距離受車速的影響最大，其他次要因素我們暫時看成是穩定不變的.這節課來研究車速是如何影響停車距離的.我們將車速v看作解釋變量，停車距離d看作預報變量，去考察這兩者之間的相關關系.

設計意圖對現實問題進行數學抽象，用數學的語言表達問題并確定變量是用數學方法構建模型解決問題的第一步.受到高中生學習內容的局限，影響停車距離的主要因素確定為車速，忽略次要的影響因素，為學生后面成功構建距離與車速關系的數學模型奠定基礎.

3.3分析數據，探尋變量關系

教師活動：我們引用一組樣本數據來研究停車距離d和車速v的相關關系，參考北京工業出版社《數學建模》記錄的一組美國公路局公布的試驗數據，請生2繼續分享你們小組的想法.

生2：暫定d=f（v），數據可看作13個（v，d）的樣本點，利用Excel軟件上的散點圖發現樣本點大致分布在一條曲線附近，這條曲線對應的函數是單調遞增的，增加速度有越來越快的趨勢，所以不考慮一次函數和對數函數.用指數函數去擬合感覺不錯，用二次函數去擬合效果更好.

生3：試試三次函數，再比較一下擬合系數R，擬合效果比二次函數更好.

教師活動：二次函數y=0.0106x-0.4102x+16.669，它的R=0.9988，三次函數d=6x10v-0.0045v+0.7003v-7.5609，它的R=0.9998，都很接近1.對于這13組數據，為了追求最佳的擬合效果，增加最高項次數直到函數圖像經過所有的樣本點，這樣的多項式函數出現了“過擬合”現象.

設計意圖在探尋距離與車速變量間關系的時候，學生提出擬合的函數類型不唯一時，教師引導學生利用不同函數的增長特征，選擇合適的函數模型來描述樣本點的趨勢.既要考慮數據的特點，也要考慮函數類型的簡潔，將擬合函數順利過渡到二次函數模型.

3.4利用數據，建立函數模型

教師活動：二次函數和三次函數擬合效果都很好，三次函數的最高項系數6×10，非常接近于0，這一項可以忽略不計.從函數簡潔的角度選擇二次函數，大家還有不同的想法嗎？

生4：實際生活中，當v=0時，d=0.擬合函數怎么有接近17的常數項呢？直接用二次函數進行擬合看來不夠合理.

教師活動：回到最初的探尋關系，再重新考慮v與d的關系.從實際生活經驗出發：在高速公路上，司機看到前方車輛在自己的視野里變大并意識到危險，在這很短暫的時間里可以假定汽車是勻速行進的.當司機作出反應，踩下剎車，汽車才會在制動系統作用下做勻減速直線運動直至停下.所以v與d的關系分成兩個階段描述更符合實際，

生5：回到13組數據，可以得到13個a，β的估計值，取平均數得到a，β的最終估計值，從而得到函數模型d=0.21v+0.006v.這里的系數0.21刻畫了司機在緊急剎車時的反應情況，對于身體狀態穩定的司機這個值是常數.而系數0.006由汽車和地面情況決定，正常的車輛行駛狀態下這個系數也是常數.

設計意圖數學建模活動沒有現成的答案，沒有固定的求解方式，學生們要相互討論，反復鉆研并相互切磋.這個過程以“頭腦風暴”的形式進行，活動過程中師生集思廣益、群策群力，既是在建立模型，也是在改進模型，讓學生體驗到物理理論模型中各項系數背后的實際意義，深刻認識模型的結構和理解該模型穩定的原因.

3.5結合生活經驗，分析模型

教師活動：比較兩個不同角度得到的二次函數模型，大家覺得哪個更優？

生5：從物理理論推導的模型穩定.去掉表格中任意一個樣本點，模型中a，β精確到千分位的估計值沒有變化，這兩個參數的穩定性確實應該和司機狀態、輪胎路面情況相關，和車速沒有直接關系，和實際情況吻合.

生6：擬合的二次函數優點和缺點都是因為它來源于數據，從表格中13個（v，d）的數據擬合效果來看，肯定擬合出來的二次函數刻畫散點的趨勢效果更好.對于在樣本點范圍內的速度去估計停車距離，用Excel得到二次函數有優勢.而速度不在樣本數據范圍內，就可能會得到異常的估計效果，比如v=0時，d≈17.另外正是因為電腦追求最佳擬合效果，只要樣本點改變，這個二次函數的系數會隨之改變，因此這個模型不穩定也是它的缺點.

設計意圖在實際生活經驗中發現模型的不足，也在數據中認識到模型的優勢，學生在交流中將模型的優缺點辯證思考，一一呈現.學生表達出自己對本次數學建模活動內容的理解，也體驗了科學發展往前步步推進的一般過程.

3.6課堂歸納小結，課后作業

教師活動：我們來整理一下這節課的內容，大家談談自己的收獲？

生7：當面對生活中的問題時，我們首先應該確定變量，然后通過試驗或者調查得到數據，再用函數的工具去刻畫數據關系，找到合適的數學模型.

學8：通過這節課的學習我發現，數學作為工具學科可以在其他學科中發揮作用，物理學科也是一個工具學科，它也可以在數學學習中發揮作用.

教師活動：著名的統計學家喬治·博克斯說：所有的模型都是錯誤的，但是有一些模型是有用的.基于物理機理建立的模型符合客觀規律，是穩定可靠的.用這個模型為汽車的剎車系統改進提供建議，給高速路上限速警示牌和車距標識的制作提供理論支持，減少了追尾事故的發生，這就是成功的數學模型的應用價值.課后請學生以小組合作的形式，整理課堂內容，以小組為單位完成一份關于《停車距離問題》的數學建模學習報告.

4課后感悟總結

4.1數學建模活動充分落實立德樹人的育人宗旨

通過數學建模活動課的體驗，讓學生感受到學科之間的交融，理論知識與實際生活的緊密聯系.學生能深刻認識到數學的實際應用價值.本次活動通過學生對高速行車急剎車模型的建立，從數據分析的角度培養了學生安全行車的習慣，不疲勞駕駛，注意控制車速和保持車距等，在數學課堂上落實立德樹人的育人宗旨.

4.2確定數學建模活動選題的原則

數模活動課的選題內容要來源于實際生活，背景最好是學生熟悉并有一定的挑戰性，學生在課堂上才會踴躍發言，積極參與，這樣的活動課有意義有樂趣.課堂內容學生要有必要的知識儲備，讓數學建模活動也成為理解和綜合應用相關知識的過程.更能激發學生主動的學習熱情，體驗到生活處處有數學.

4.3充分發揮信息技術的輔助作用

在信息時代我們生活在無處不在的數據之中，獲得數據、篩選數據、利用數據、處理數據都離不開信息技術，學生對新鮮事物的學習和感受力很強，這對授課教師也提出了更高的要求.對于一些數學建模常用的軟件，教師應該去關注并學習使用，如Excel.MATLAB.R軟件等.

4.4建模活動重點關注“活動的過程”

數學建模課的設計應以活動形式為主，引導學生自主探究、合作學習、個性展示、協作支持、交流分享、反思拓展，這種全新的體驗是學生前所未有過的.數學建模是數學走向應用的一種方式，面對實際問題，學生要在教師的引導下確定變量、探尋關系、形成模型并分析優劣，再到實際應用，在這個過程中形成和發展了數學建模的核心素養.

數學建模活動課從實際生活的場景開始，引導學生從數學的角度去思考問題，確定合適的變量后探究變量之間的關系，從數學應用的角度感受函數是構建數學模型的有力工具.在高中階段讓學生體會數學建模讓數學走出封閉的世界，構建數學與現實世界的橋梁.