初中生數學學科核心素養生成路徑的探究

鄧衍生

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確指出，數學教育的最終目的是讓學生學會用數學的目光觀察現實世界、學會用數學思維思考現實世界、學會用數學語言表達現實世界，并把學生數學學科核心素養細分為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析.《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗和理解、思考與探索;課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系.”數學概念承載著數學思想與方法，構成數學知識的根基，成為數學學習的核心.而數學概念的教學應以培養學生數學意識為方針，重視數學概念產生的過程，將數學概念的學習變為“學數學、做數學、用數學”的過程.本文旨在通過初中函數概念的建構過程，探究初中生數學學科核心素養的生成路徑.

1初中函數概念的建構過程

函數是重要的數學概念，它有著極其廣泛的應用，在義務教育階段的數學課程中占有重要地位.代數教學的研究內容逐漸從“以解方程為核心”轉變到“以研究函數為核心”，揭示了數學概念在中學教學中的重要地位.然而，函數作為學生在數學學習生涯中初次遇到的具有一般意義的抽象概念，初中生對其概念理解的難度是毋庸置疑的.

（1）教材分析

人教版義務教育教科書中有關函數內容出現的先后順序依次是：八年級下冊第十九章一次函數、九年級上冊第二十二章二次函數、九年級下冊第二十二章反比例函數.

函數的一般概念，在人教版教材的第一小節中稱之為“變量與函數”（即變化與對應意義下的函數），是第19.1節的重點，在人教版教材文本占比約3頁，其中，使用問句10個，使用陳述句23個.教材所占篇幅多且文字緊密，側重對知識的講述教學.首先，變量與常量的概念引入過程是通過四個實例：汽車行駛路程與時間（填表）、票房收入與票數（銷售問題）、水中漣漪，圓的面積與圓的半徑（幾何問題，二次關系）、矩形鄰邊變化（幾何問題，一次關系）.其次，通過4個實例：水費與用水量、話費余額與用水量、水中漣漪（圓的面積與圓的半徑）、書放入兩個抽屜進行鞏固，歸納變量與常量的概念，歸納變量之間的相互聯系，思考變量之間的聯系.最后，自變量、函數、函數值的引入則通過體檢心電圖、人口數與年份這兩個圖表實例，這些實例通過函數、圖像、表格的表達形式指向變量之間的單值對應關系，同時也為后面介紹函數的多種表達方式做準備.

人教版教材通過思考、總結、練習，再思考、再總結、最后再思考等步驟，首先借由多個實例闡述變量及變量間的關系，再通過這些實例引入變量間相互關系，最后總結函數概念.

教材采取了傳統的講述型語言形式，問句句式豐富，知識呈現思路清晰明了，具有很強的說服力，娓娓道出“概念的產生既是生活實際的需要，也是數學自身發展的結果”.但文字占據較長篇幅，使文本拘于程序化，令學生在自主預習時被動接納知識，不益于培養其思維能力，限制了好奇心的產生。同時，教材缺乏對于“引入概念的意義”的剖析，缺少了引導學生思考并感悟函數概念中“核心元素及其關系”的過程.

（2）概念建構

美國數學家杜賓斯基（Dubinsky）指出，學生在學習數學概念時需要進行心理建構，這一過程主要經歷四個階段：操作階段（Action）、過程階段（P-rocess）、對象階段（Object）及圖式階段（Scheme）.

對于初中函數而言，引入概念前的良性鋪墊是十分必要的，這樣才能讓學生于現實世界中領悟函數概念的客觀存在，讓學生親身體會并能完整表述函數概念的形成過程.

教材以“萬物皆變”富有哲理地開啟了函數篇章，配之綠洲雪山的詩意畫面：“星星在宇宙中的位置隨時間而變化，氣候隨海拔而變化，樹高隨樹齡而變化……在你周圍的事物中，這種一個量隨另一個量的變化而變化的現象大量存在.”學生們在這個情境下開啟了函數概念的學習.

盡管學生在生活中有兩個量之間相互依存關系的體驗，在之前的數學學習中也了解了成正比例關系、反比例關系的兩個量之間變化依存關系，以及字母取值變化引起代數式值的變化等等，但是，他們在理解函數概念時還是會遇到相當大的困難，尤其難以歸納出“一個變量的值的確定導致另一個變量的值的唯一確定”，且變量之間是單值對應的關系，這里又包含了兩個意義：一是存在對應值，二是這個值是唯一確定的.

人教版教科書在《19.1.1變量與函數>中設計了4個問題，既引出變量與常量的概念，也為建構函數概念做準備.

首先在上述借4個實例引出函數概念的過程中，教師引導學生得出兩個變量t，s，并且s隨t的變化而變化;再引導學生取定一些t的值，求出s的對應值并列表.這是建構函數概念的第一階段：操作階段（Action）.接著引導學生分析變量t和s間的關系：當取定t的值后，s的值有且只有一個，即當t為一個確定值時，s的值由t的值完全且唯一確定.這是概念建構的第二階段：過程階段（Proc-ess）.

教材中該章節的其余內容也通過類似分析，發現這些對應關系的共同特征，首次形成函數概念的歸納總結，即用解析式表示的變量間對應關系的“樣例”.例如，學生從“體檢心電圖”中領會到，當確定其中一個變量值時，通過圖像也可以確定另一個變量的唯一的值;從“人口數與年份’中領會到，當某一變量取一個定值時，通過查表也可以確定另一個變量的唯一的值.設計兩個實際問題的目的都是為了突出函數的本質屬性——“變化”、“對應”、“唯一確定”，并剝離“用公式表示變量關系”的非本質屬性.由此，學生第二次、第三次形成函數概念歸納，即函數概念用圖像、表格表示的變量之間的對應關系的“樣例”.

教材通過分步概括，幫助學生理解并總結出函數的3種不同表現形式均指向“單值對應關系”的共同特征，從而形成函數定義：一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數，x是自變量.

2教師在培養初中生數學學科核心素養中的作用

（1）教師要尊重學生的認知規律，引導學生形成良好的學科素養

人民教育出版社編審章建躍認為：“核心數學概念的教學必須實現從工具性理解到關系性理解的過渡，這就要求在核心數學概念的教學中，重點考慮概念的來源、相關概念及其關系、概念的作用（新知識的詮釋、舊知識的翻新）等，并更要突出概念形成的過程性.特別值得注意的是，核心數學概念的形成不是一蹴而就的，常常需要幾節課或一個階段才能完成概念建構，甚至是一個長期、動態的建構過程，函數概念就是最典型的例證.”

在杜賓斯基理論的第三階段“對象階段（Object）”中，已將函數過程作為一個獨立的對象，例如函數的簡單運算和復合運算等。在函數表示式f（x）±g（x）中，f（x）和g（x）兩個函數均視為整體對象.到了第四階段“圖式階段（Scheme）”時，函數概念已占據數學知識體系中獨特且重要的地位，它以一種綜合的心理圖式存在于認知中——包含具體函數實例、抽象的建模過程和完備的定義，以及同其它概念之間的聯系與差別.在數學學習的過程中，函數部分的學習時間跨度大，對函數概念的理解無法做到一次性到位，因此教師在教學中應該尊重學生的認知規律和課程標準的具體實現.

關于函數的教學，教師曾經更關注“知識內容”與“過程方法”這兩個目標，在以“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”為終極目標的指導下，教師也應該關注學生對函數概念的認識與態度，從學習情感的角度去引導學生，幫助學生們形成良好的學科素養.

函數的概念在數學概念的分類中屬變化式數學概念，其特點為：經過逐級抽象后，在其應用時很難看出原形.這類數學概念的認知表征擁有著千變萬化的形式，學生所需認知的正是通過不斷總結各種形式的演變從而達到理解目的.在經歷“取之于概念，用之于變化”的過程后，教師要善于引導學生從這些數學概念一成不變的文字中悟出其變化的特點，最終使學生徹底理解數學概念.

（2）教師要通過教學實踐研究，引導學生在參加數學活動中領悟數學思想

函數概念體現了概括性、抽象性、精確性等幾大特性，引入概念的過程尤為重要.在函數教學的課時中，大量生活實例的運用讓學生感受到生成新概念的必要性，數學概念既能滿足實際生活的需求，又是數學學科本身自主發展的必然結果.如無法為學生建立起概念產生的背景，他們的學習就會迷失方向感，從而導致學習效果差強人意.因此，在概念建立伊始的教學課程中要注重培養學生體會概念產生的必要性，教學時要充分調動學生在現實世界中的相關經驗知識，鼓勵學生自主自發地參與到深入探究常識材料的活動中，在概念的實例和現實問題中體會數學，引導學生學習數學化，讓學生“學數學、做數學、用數學”.

依照建構主義理論，學習實際上是新舊知識互相作用的結果，學習是每個學生在已有知識和經驗的基礎之上的主動的建構過程.在函數教學的諸多課時中，學生通過反復領悟兩個變量間“對應”關系的過程，在收獲函數知識的同時，也收獲了探究過程所帶來的“隱性知識”，即數學活動經驗.課時設計的多個情境均運用了以往學習過的知識，但在教學中讓學生不斷地體會“兩個變量的對應關系”是新問題、新知識.這種讓學生在親歷函數概念的形成過程中引導他們主動建構函數概念的教學方式將讓學生終身受益.

教學科研工作者李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也.”用以解題為主的教學方式替代以概念為主的教學方式嚴重背離了數學教育的初衷，許多教師的教學任務中并沒有涵蓋“解決本章節的主要問題、基本過程和主要思想方法”，令學生失去充分了解并概括數學概念本質及特點的機會.更令人憂慮的是長此以往，部分教師不懂得如何教學生以概念，學生對數學內容、方法及意義的不了解在某種程度上解釋了目前學生花費大量時間精力在數學學習上的現象.

數學教學活動不應只將注意力聚焦在學習結果上，應更注重教學活動本身.不僅要看重學生所獲取的知識及技能，也要激發和培養學生的學習興趣，引導學生在參加數學活動中獲取基本經驗、領悟基本思想，幫助學生養成良好的學習習慣.核心素養應著重關注師生核心素養的生命價值立場，從課程理解力、開發力、實施力及研究力四方面增強教師的課程能力.教師要努力成為教學實踐研究者，不斷提升自身課程能力.

課程能力的提升則以對課程深入理解為前提.教師們應首先明晰核心素養的價值立場，才可以立足于教學質量的生命意義和價值立場來斟酌課程建設，將課程視作知識與學生成長歷程的一次相遇過程，豐富了師生經驗，促進形成教師自身獨有的教學風格.在教學模式日益繁雜的今天，教師需要更強的教育信念與教學定力，全面理解并把握學科核心素養和價值立場，而不是機械地接納，在教會學生主動鉆研的學習方式的同時提高自身教學評價能力.

教師的發展是專業的發展，是一種建立于優化自身能力結構、增強自身適應性能力基礎上的內涵發展.研究“人”是“教人”的前提條件，通過研究“人”從而掌握“人”的成長規律，這樣才可能更好地育人.因此，教師的首要任務是研究自己和學生，而后是鉆研學科本身.在鉆研學科核心素養與育人價值的同時要關注資源配置和教學情境設計.這樣，教師才能在培養學生數學學科核心素養的同時提升自身思維素養及專業能力.