最小動(dòng)壓約束下的全程軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

顏楚雄，王蘊(yùn)寶，秦緒國(guó)，童軼男，宋加洪

（1. 北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076；2. 火箭軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室，北京，100076）

0 引 言

機(jī)動(dòng)飛行器具有速度高、射程遠(yuǎn)以及機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，近年來(lái)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。這類(lèi)飛行器采用火箭發(fā)動(dòng)機(jī)助推，在一定高度獲得較高的初始速度，然后利用所獲得的動(dòng)能在大氣層能進(jìn)行機(jī)動(dòng)飛行。該飛行器在無(wú)動(dòng)力段始終可以保持機(jī)動(dòng)飛行，飛行軌跡難以預(yù)測(cè)，被攔截概率大幅降低[1]。

機(jī)動(dòng)飛行器的軌跡設(shè)計(jì)需要滿足一系列飛行終端約束和過(guò)程約束[2～4]。終端約束包括高度、速度與速度傾角等要求。飛行過(guò)程約束需要考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力、氣動(dòng)特性、熱防護(hù)限制、控制能力以及過(guò)載等約束。

除上述約束，最小動(dòng)壓約束也成為了飛行器軌跡設(shè)計(jì)中不可忽視的因素。為了保證機(jī)動(dòng)飛行器具有較高的機(jī)動(dòng)性能[5]，飛行器逐漸被設(shè)計(jì)成靜不穩(wěn)定的，這就要求飛行器在無(wú)動(dòng)力飛行段擁有足夠的氣動(dòng)力，以保持姿態(tài)穩(wěn)定控制[6]。因此，考慮最小動(dòng)壓約束是這類(lèi)機(jī)動(dòng)飛行器軌跡設(shè)計(jì)時(shí)不可忽略的問(wèn)題。

另外，傳統(tǒng)的飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)方法大多都是將飛行軌跡分為主動(dòng)段與無(wú)動(dòng)力段，然后對(duì)不同飛行段落分別進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化，最后將飛行軌跡組合得到全程設(shè)計(jì)結(jié)果。從各分段來(lái)看，其飛行軌跡與性能指標(biāo)是最優(yōu)的。然而，從全程軌跡來(lái)看，其性能未必是最優(yōu)的[7,8]。因此，綜合考慮全程軌跡，合理選擇分離點(diǎn)參數(shù)[9]，對(duì)提升飛行性能有著重要作用。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文首先建立了飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題的相關(guān)模型，同時(shí)以攻角變化率作為虛擬控制量，確保攻角變化連續(xù)且平緩。然后，建立了利用hp自適應(yīng)偽譜法的軌跡優(yōu)化問(wèn)題求解方法。利用該算法，分析最小動(dòng)壓約束對(duì)無(wú)動(dòng)力飛行軌跡中各狀態(tài)變量的影響；同時(shí)，在最小動(dòng)壓影響下，分析分離點(diǎn)參數(shù)對(duì)飛行軌跡的影響；最后，提出一種主動(dòng)段與無(wú)動(dòng)力段的全程聯(lián)合優(yōu)化方法，以提升整個(gè)飛行過(guò)程的性能指標(biāo)。

1 飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題

1.1 飛行器動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)飛行器受力情況，縱向平面內(nèi)的飛行器動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[10]

式中V為飛行器的飛行速度；α為攻角；θ為速度傾角；x為飛行器的射程；y為飛行高度；g為重力加速度；m與S分別為飛行器的質(zhì)量與參考面積；T為飛行器所受到的推力，CD和CL分別表示阻力系數(shù)和升力系數(shù)；Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；q為動(dòng)壓。

為了減輕控制系統(tǒng)負(fù)擔(dān)，使攻角變化連續(xù)且平緩，以攻角變化率作為虛擬控制量，則可以得到狀態(tài)方程dα/dt=α˙。將該式補(bǔ)充到式（1）中，則方程的狀態(tài)變量為x=[Vθxymα]T，控制變量為

1.2 性能指標(biāo)與約束條件

1.2.1 目標(biāo)函數(shù)

以機(jī)動(dòng)飛行器最大射程x作為優(yōu)化的性能指標(biāo)：

式中tf為終端時(shí)間。

1.2.2 控制約束與過(guò)程約束

對(duì)于飛行器軌跡優(yōu)化，需要滿足各類(lèi)飛行過(guò)程約束以及控制約束。對(duì)飛行器的攻角變化范圍與變化速率分別進(jìn)行限制，即

動(dòng)壓會(huì)對(duì)飛行器舵面的執(zhí)行能力以及飛行器的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。過(guò)大的動(dòng)壓會(huì)在飛行器舵面產(chǎn)生較大的鉸鏈力矩，破壞舵面執(zhí)行機(jī)構(gòu)。另一方面，對(duì)于始終在大氣層內(nèi)飛行的飛行器而言，需要滿足最小動(dòng)壓約束，使得飛行器具有足夠的控制能力。因此，動(dòng)壓約束的形式為

最大過(guò)載約束為

式中L與D分別為飛行器所受阻力與升力。

最大駐點(diǎn)熱流約束為

式中kQ為針對(duì)某一外形飛行器的比例系數(shù)；ρ為大氣密度。

1.2.3 終端狀態(tài)約束

為了滿足飛行器末制導(dǎo)交班約束，對(duì)機(jī)動(dòng)飛行器的終端高度以及速度進(jìn)行約束，即

2 hp自適應(yīng)偽譜法

為解決滿足多約束條件下的機(jī)動(dòng)飛行器軌跡優(yōu)化問(wèn)題，本文采用hp自適應(yīng)偽譜法[11,12]。該方法通過(guò)建立Legendre-Gauss-Radau配點(diǎn)，將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題。轉(zhuǎn)化后的非線性規(guī)劃問(wèn)題為

式中f，C以及φ分別為狀態(tài)方程約束、路徑約束以及終端約束；為第k個(gè)區(qū)間第i個(gè)配點(diǎn)的權(quán)重，是Radau偽譜微分矩陣，與分別為第k個(gè)子區(qū)間中第i個(gè)配點(diǎn)的狀態(tài)變量與控制變量；Nk為第k個(gè)子區(qū)間的配點(diǎn)個(gè)數(shù)[11]。

上述非線性規(guī)劃問(wèn)題可通過(guò)成熟的數(shù)值算法工具包進(jìn)行求解。當(dāng)求解該問(wèn)題精度無(wú)法滿足要求時(shí)，hp自適應(yīng)偽譜法通過(guò)調(diào)整多項(xiàng)式階數(shù)與區(qū)間劃分個(gè)數(shù)，提高求解精度，并保證計(jì)算效率[12]。

3 仿真計(jì)算與結(jié)果分析

3.1 最小動(dòng)壓約束影響下的無(wú)動(dòng)力段飛行軌跡

在無(wú)動(dòng)力飛行段，飛行器依靠從主動(dòng)段獲得的能量，并且通過(guò)氣動(dòng)力保持姿態(tài)穩(wěn)定。因此，一定的氣動(dòng)力是保證飛行器擁有足夠穩(wěn)定性的必要條件。本節(jié)首先分析在最小動(dòng)壓約束影響下的無(wú)動(dòng)力段飛行軌跡的變化。

飛行器的初始條件為：V(t0)=2500 m/s，y(t0)=30 km，θ(t0)=25 °；終端約束為：v(tf)=500 m/s，最小動(dòng)壓約束為qmin=2 kPa。

采用hp自適應(yīng)偽譜法，對(duì)飛行器在考慮最小動(dòng)壓約束條件下進(jìn)行軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)，并將優(yōu)化結(jié)果與不考慮最小動(dòng)壓約束時(shí)的優(yōu)化軌跡進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖1所示。

圖1 最小動(dòng)壓約束影響下的飛行軌跡對(duì)比Fig.1 The Comparison of Trajectory with Effect of Minimum Dynamic

由圖1可知：不考慮動(dòng)壓約束時(shí)，飛行器最大飛行高度約為87 km，射程可達(dá)到1261 km，最小動(dòng)壓約為0.02 kPa，此時(shí)，飛行器受到的氣動(dòng)力作用較弱，若出現(xiàn)擾動(dòng)，將難以保持姿態(tài)穩(wěn)定，該條件下，飛行器無(wú)需限制飛行高度，在初段可以利用正攻角以獲得更遠(yuǎn)的射程；當(dāng)考慮最小動(dòng)壓約束時(shí)，飛行器最大飛行高度為53.6 km，最小動(dòng)壓大于2 kPa，飛行器擁有足夠的氣動(dòng)力進(jìn)行姿態(tài)穩(wěn)定控制；由于考慮了最小動(dòng)壓約束，飛行器在初始段使用負(fù)攻角壓低飛行軌跡，最大飛行高度有較大程度降低，射程減小了約9%，飛行時(shí)間也隨之減少。

3.2 初始參數(shù)對(duì)飛行軌跡的影響

通過(guò)上述分析可知，最小動(dòng)壓約束對(duì)飛行軌跡，尤其是無(wú)動(dòng)力飛行初始段的軌跡，有著較大影響。

分析分離點(diǎn)參數(shù)對(duì)飛行軌跡的影響時(shí)，無(wú)動(dòng)力段初始參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 初始條件參數(shù)設(shè)置Tab.1 The Initial Condition

圖2 不同初始條件下的飛行軌跡對(duì)比Fig.2 Comparison of Trajectory with Different Initial Condition

圖2為利用hp自適應(yīng)偽譜法在不同初始條件下滿足最小動(dòng)壓約束的飛行軌跡對(duì)比曲線。

由于初始參數(shù)的不同，飛行軌跡也有所不同。由圖2中由初始條件1與條件2進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，增加初始速度可以增加射程，但其在初始階段使用了更大的負(fù)攻角下壓飛行高度；由圖2中條件1與條件3飛行曲線對(duì)比可知，條件3增加分離點(diǎn)高度后，為了滿足最小動(dòng)壓約束，飛行器采用更長(zhǎng)時(shí)間的負(fù)攻角飛行，其射程反而減小。這說(shuō)明由于最小動(dòng)壓約束的影響，增加初始點(diǎn)飛行高度未必能增加射程。通過(guò)條件1與條件4對(duì)比，將分離點(diǎn)速度傾角適當(dāng)減小，飛行器可避免使用負(fù)攻角以滿足最小動(dòng)壓約束，能夠有效增加射程。

3.3 全程軌跡聯(lián)合優(yōu)化

傳統(tǒng)的飛行器全程軌跡采用分段設(shè)計(jì)方法，通常是將主動(dòng)段和無(wú)動(dòng)力飛行段分別進(jìn)行設(shè)計(jì)的。主動(dòng)段的終端條件被設(shè)置為無(wú)動(dòng)力飛行段的初始條件，主動(dòng)段的終端條件將很大程度上影響飛行軌跡的形式和射程。一般情況下，主動(dòng)段終端條件的機(jī)械能越大，其射程越遠(yuǎn)。在這種設(shè)計(jì)思路下的飛行軌跡從每一段看性能指標(biāo)都是最優(yōu)的。

但是，由于最小動(dòng)壓約束的限制，飛行器會(huì)在無(wú)動(dòng)力段初始采用負(fù)攻角，避免較大的飛行高度，以致無(wú)法滿足動(dòng)壓約束。這樣將會(huì)消耗一部分飛行器能量。傳統(tǒng)分段優(yōu)化方法無(wú)法得到對(duì)于整條飛行軌跡為最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果，而且，分離點(diǎn)參數(shù)對(duì)無(wú)動(dòng)力段飛行軌跡有著較大影響。因此，本文提出在滿足包括最小動(dòng)壓約束在內(nèi)的各項(xiàng)約束情況下，將主動(dòng)段與無(wú)動(dòng)力段放在一起進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，合理設(shè)計(jì)無(wú)動(dòng)力飛行段的初始參數(shù)，以得到最大的射程。

為了對(duì)比分析兩種設(shè)計(jì)方法，以最大射程作為性能指標(biāo)，分別利用分段設(shè)計(jì)方法與全程優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)。

分段設(shè)計(jì)時(shí)，主動(dòng)段性能指標(biāo)函數(shù)為

無(wú)動(dòng)力段依然選為

飛行器初始條件為：V(t0)=0 m/s，θ(t0)=0°，y(t0)=0 m；飛行器終端狀態(tài)為：V(tf)=最大動(dòng)壓約束qmax=400 kPa，最小動(dòng)壓約束為qmin=2 kPa，最大過(guò)載約束為nmax=6g，最大駐點(diǎn)熱流約束為=500 km/m2，主動(dòng)段控制量約束為-15°≤≤15°、-2 (°)/s≤≤2 (°)/s，無(wú)動(dòng)力飛行段控制量約束為-30°≤≤30°、-5 (°)/s≤≤5 (°)/s。為減小攝動(dòng)，主動(dòng)段與無(wú)動(dòng)力段交接點(diǎn)的攻角約束為0。

圖3給出了飛行器在滿足各項(xiàng)約束情況時(shí)，全程優(yōu)化與分段優(yōu)化的對(duì)比曲線。

圖3 全程優(yōu)化與分段優(yōu)化對(duì)比Fig3 The Comparison of Whole and Seperate Phase Optimization

由圖3中可以看出，應(yīng)用兩種設(shè)計(jì)方法，飛行器飛行狀態(tài)變化趨勢(shì)基本一致，且都能夠滿足過(guò)程約束與終端約束。由圖3b可知，分段優(yōu)化方法得到的射程為888.3 km，全程優(yōu)化射程為959.9 km，相較于分段優(yōu)化方法，全程優(yōu)化方法射程提升8.1%，飛行時(shí)間也隨之增加，這說(shuō)明在考慮多約束的飛行軌跡設(shè)計(jì)時(shí)，全程優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)于分段設(shè)計(jì)方法。結(jié)合圖3d可以看出，全程優(yōu)化方法在主動(dòng)段飛行時(shí)采用了更長(zhǎng)時(shí)間的負(fù)攻角飛行，分離點(diǎn)的速度傾角更小，在無(wú)動(dòng)力段沒(méi)有采用負(fù)攻角飛行，而采用分段優(yōu)化方法時(shí)，在無(wú)動(dòng)力段初始階段采用負(fù)攻角壓低飛行高度，增加了飛行器能量的消耗，射程隨之減小。由圖3a、3c與3e中可以看出，在無(wú)動(dòng)力段起始點(diǎn)，分段優(yōu)化高度為26.51 km，速度為2237 m/s，速度傾角為31.0°，全程優(yōu)化高度為28.89 km，速度為2222 m/s，速度傾角為24.75°。從能量的角度來(lái)說(shuō)，無(wú)動(dòng)力段初始時(shí)刻的機(jī)械能大于全程優(yōu)化，但其終端射程小于全程優(yōu)化結(jié)果，這說(shuō)明分段優(yōu)化方法在無(wú)動(dòng)力段初始點(diǎn)有著最大機(jī)械能，其僅考慮了高度與速度的最優(yōu)組合，未考慮速度傾角對(duì)射程的影響；全程優(yōu)化能夠?qū)χ鲃?dòng)段與無(wú)動(dòng)力段約束聯(lián)合考慮，不僅對(duì)無(wú)動(dòng)力段初始高度、速度進(jìn)行了尋優(yōu)，同時(shí)還對(duì)速度傾角進(jìn)行了優(yōu)化，保證了其在無(wú)動(dòng)力段的長(zhǎng)時(shí)間滑翔，避免了在無(wú)動(dòng)力段為滿足過(guò)程約束而產(chǎn)生的能量損耗，故射程較遠(yuǎn)。分段設(shè)計(jì)方法以最大機(jī)械能為指標(biāo)，僅考慮了無(wú)動(dòng)力段的初始高度與速度，未考慮速度傾角的影響，所以其射程小于全程設(shè)計(jì)方法。

4 結(jié) 論

本文利用hp自適應(yīng)偽譜法針對(duì)最小動(dòng)壓約束影響的飛行軌跡進(jìn)行了分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。在最小動(dòng)壓約束下，飛行器飛行高度、速度、射程以及飛行時(shí)間等狀態(tài)變量都會(huì)受到較大影響。無(wú)動(dòng)力段的初始速度增加及速度傾角適當(dāng)減小都能達(dá)到提升射程的目標(biāo)，而增加初始高度未必能夠提高射程。利用提出的全程軌跡聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，進(jìn)行了包括最小動(dòng)壓約束在內(nèi)的多約束條件下的機(jī)動(dòng)飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)與分段設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，該方法能夠綜合考慮主動(dòng)段與無(wú)動(dòng)力段，對(duì)分離點(diǎn)高度、速度與速度傾角同時(shí)優(yōu)化，達(dá)到提高性能指標(biāo)的目的。