公式法計算夾具定位誤差的前提條件

天津理工大學中環信息學院 天津 300380

1 序言

機床夾具定位誤差的理論計算方法主要包括公式法（合成法）、極限法（定義法）、幾何法（圖形法）和微分法等，其中公式法應用最為普遍，雖不同資料中叫法略有差別，但原理相同，即ΔDW＝ΔWZ±ΔBC（以下簡稱“基本公式”），其中ΔDW代表夾具定位誤差，ΔWZ代表基準位移誤差，ΔBC代表基準不重合誤差。本文的研究范圍限于應用公式法求解定位誤差。

2 問題的提出

公式法計算定位誤差的思路是：先分析出定位誤差的兩個組成部分，即ΔBC和ΔWZ，然后根據二者的綜合影響將二者進行合并，當二者對ΔDW的影響趨勢相同時，基本公式取“加號”，反之取“減號”。但在實際的定位設計中，筆者發現以上思路在求解ΔDW時存在一定問題，如例1。

例1：在工件頂部銑槽，銑去尺寸的標注方法有H1、H2、H33種，如圖1所示，工件以內孔中心線作為定位基準，內孔與心軸指定邊接觸（如心軸水平放置），所選用的定位心軸直徑尺寸為，假設工件內孔與定位心軸最小間隙為0（即D＝d1），忽略幾何誤差，試分析定位誤差。

例題分析：該例題3種標注方式下ΔWZ相同，ΔWZ＝（TD＋Td1）/2；H1方式下不存在ΔBC，H2方式下ΔBC＝TD/2，H3方式下ΔBC＝Td/2。

H3方式下，ΔWZ使H3增大，ΔBC使H3減小，即ΔWZ、ΔBC對ΔDW的影響趨勢相反，故基本公式取“減號”，ΔDW＝（TD＋Td1）/2﹣Td/2。

但是按照定位誤差的定義“由定位造成的工序基準在加工尺寸方向的最大變動量”來看，ΔDW＝H3MAX﹣H3MIN，其中H3MAX＝H3＋（TD＋Td1）/2，H3MIN＝H3﹣Td/2，故ΔDW＝（TD＋Td1）/2＋Td/2。

圖1 以內孔定位時工件頂部銑槽的尺寸關系

兩種方法得到了不同的計算結果。根據定義算出的結果應該是正確的，除非重新界定定位誤差的定義。那么上述公式法的應用必然存在問題。

3 問題的分析

例1中應用公式法求解定位誤差是存在問題的，但并不是任何情況下應用公式法都是錯誤的，這說明公式法的應用是有前提條件的。

筆者查閱了上百部相關的資料或手冊，表1羅列了其中的50份資料，其中8份資料采用非公式法，采用公式法的42份資料中，27份資料對公式法的使用條件沒有任何說明，另外15份資料雖有說明但說法并不統一。筆者分析后，將15份資料中的說法匯總成一條（簡稱為“條件一”），具體如下。

若ΔBC或ΔWZ只存在一種，則ΔDW即為存在的ΔBC或ΔWZ。

若ΔBC和ΔWZ均存在，則當定位基面與設計基準不重合時或定位基面與設計基準重合且ΔBC、ΔWZ對ΔDW的影響趨勢相同時，基本公式中取“加號”；當定位基面與設計基準重合且ΔBC、ΔWZ對ΔDW的影響趨勢相反時，基本公式中取“減號”。

“條件一”說明了例1在H3方式下應用公式法計算錯誤的原因，H3方式下設計基準在外圓表面，定位基面為內孔表面，二者不重合，所以基本公式中應直接取“加號”而不能分析ΔBC和ΔWZ的影響趨勢，不能分析的原因后文中解釋。

“條件一”雖然給出了例1在H3方式下應用公式法計算錯誤的原因，但仍然有一些情況無法涵蓋，如將例1中的指定邊接觸（心軸水平）改為任意邊接觸（心軸豎直），改動后的例子稱為例2。例2在H2方式下，ΔWZ＝TD＋Td1、ΔBC＝Td/2，ΔBC和ΔWZ均存在且定位基面與設計基準重合，遵照“條件一”，ΔDW＝ΔWZ±ΔBC，但按照定義法求解，ΔDW＝H2MAX﹣H2MIN，其中H2MAX＝H2＋Td1/2，H2MIN＝H2﹣TD﹣Td1/2，故ΔDW＝TD＋Td1≠ΔWZ±ΔBC。此時公式法與定義法的計算結果又出現了不同。

表1 資料中定位誤差的相關解釋或說明

可見，依據“條件一”來應用公式法仍然存在一定問題。經分析研究，筆者在“條件一”的基礎上，提出了公式法應用的前提，總結為兩點：一是誤差關聯，二是影響單一，只有同時滿足這兩個條件，應用公式法計算定位誤差才是合適的。

1）誤差關聯。“誤差關聯”是任小中等幾位學者討論誤差計算方法時提出的概念，但是幾位學者并未對這一概念做充分說明，這里詳細解釋下“誤差關聯”。

“條件一”合并ΔWZ、ΔBC時是分兩種情況討論的，即判斷定位基面與設計基準是否重合，這個判斷的過程本質上就是確定“誤差關聯”的過程。定位基面與定位基準不重合而與設計基準重合，則定位基面相對于定位基準的尺寸變化直接導致了定位基準相對于設計基準的變化，即定位誤差的產生，這個誤差就是ΔBC；另一方面定位基面的變化又使得定位基面與限位基面間產生間隙，這一間隙則是ΔWZ產生的根本原因。故定位基面與定位基準不重合而與設計基準重合時，定位基面發生變化，同時產生了ΔBC和ΔWZ，兩個誤差是由同一因素產生的，即兩個誤差關聯；定位基面與定位基準不重合且與設計基準不重合時，定位基面的變化不會導致ΔBC，只會產生ΔWZ，ΔBC是另有原因造成的，兩個誤差不是由同一因素產生的，即兩個誤差不關聯。

“條件一”明確了誤差是否關聯時的ΔWZ、ΔBC合并方法。若誤差關聯，則ΔWZ、ΔBC同時存在，ΔDW所能達到的最大值是ΔWZ、ΔBC合并之后所能達到的最大值，合并的方法則看ΔWZ、ΔBC的影響趨勢是否相同。若誤差不關聯，則ΔWZ、ΔBC分別存在，二者相互抵消（相減）后的值一定不是最大值，即基本公式不取減號，所以在誤差不關聯時，不能分析ΔWZ和ΔBC的影響趨勢，因為分析的結果有一半的可能是錯的。

2）影響單一。例2已經證明只判斷誤差是否關聯的“條件一”不足以涵蓋所有情況，“條件一”只說明了基本公式成立時符號如何選擇，沒有說明基本公式何時成立，要判斷基本公式何時成立還需“影響單一”這一條件。

例2在H2方式下，ΔWZ＝T D＋T d1、ΔBC＝TD/2，ΔWZ與ΔBC誤差關聯，本應將ΔWZ與ΔBC進行加減合并，但由于任意邊接觸，ΔWZ對于H2的影響不明確，即ΔWZ“影響不單一，”因此無法判斷ΔWZ、ΔBC的相互關系，即雖然ΔWZ、ΔBC關聯，但具體是何種聯系無法明確，基本公式中的加減號無法確定，因此并不適合應用公式法進行計算，所以“影響單一”是公式法成立的必要不充分條件。

4 說明與建議

另有3個問題需要說明。

1）“定位基面與定位基準不重合而與設計基準重合”并非誤差關聯的唯一情況。

“定位基面與定位基準不重合而與設計基準重合”只是誤差關聯的一種常見情況，并非是唯一條件，ΔWZ與ΔBC二者由同一誤差因素引起才是誤差關聯的本質，“條件一”的描述并不全面。

2）不滿足“誤差關聯和影響單一”的情況，并不是完全不能應用公式法進行設計計算。

公式法只是“不適合”應用在“誤差不關聯或影響不單一”的情況，在大量的分析基礎上，一些“誤差不關聯或影響不單一”的情況，仍然可以用公式法靈活計算，但是這樣的分析需要設計者對定位誤差的本質、來源和影響有深入的理解并具有一定的理論分析能力，此時應用公式法會使分析復雜化。

3）用極限法或者其他方法完全取代公式法，以避免計算ΔWZ、ΔBC并不可行。

雖然明確公式法的應用條件會使公式法在一定程度上復雜化，但卻可以消除設計者對公式法的誤解，降低錯誤發生的概率，在多數情況下，公式法仍然是最簡單的方法，除此之外公式法還是唯一從誤差來源、誤差本質方面進行分析的方法，設計者可通過控制ΔWZ、ΔBC來調整定位方案，更有利于進行夾具的設計和改進。另外，其他方法有時也需計算ΔWZ和ΔBC，如在極限法中就經常需要依據ΔWZ、ΔBC的發生情況來判斷極限狀態，所以完全避免計算ΔWZ、ΔBC是不現實的。

公式法求解ΔDW是有前提條件的，但目前資料多數未有提及，少數雖有說明但條件不夠充分也未給出明確解釋，尤其是只介紹公式法的資料，沒有對比公式法和其他方法，更是可能誤導設計者，使其誤以為公式法是萬能的、是任何條件下都能使用的，造成了分析困難或設計錯誤。因此，筆者有以下幾點建議。

1）相關資料、標準或手冊在編寫修訂時，除介紹公式法外，增加極限法或其他方法求解定位誤差的內容，介紹不同方法的區別與特點，相互對比，加深設計者對于定位誤差本質的理解。

2）相關資料在描述定位誤差計算方法時若只介紹公式法，一定說明其應用的前提條件，即“誤差關聯和影響單一”，具體如下所述。

若ΔBC或ΔWZ只存在一種，則ΔDW即為存在的ΔBC或ΔWZ。

若ΔBC和ΔWZ均存在，則當“誤差關聯和影響單一”時ΔDW＝ΔWZ±ΔBC成立，公式中符號按ΔBC和ΔWZ影響趨勢判定；反之，建議嘗試其他方法進行計算。

3）由于公式法前提條件的進一步明確，建議改變原有的定位誤差分析步驟。“分析計算ΔWZ和ΔBC、判斷公式法使用條件、選擇合適方法進行計算”這一分析思路更為合理。在新的分析思路下，無論后續采用何種方法，都需要先進行ΔWZ和ΔBC的分析計算，這樣可以使設計者掌握誤差的來源和影響，及時調整設計方案，依據分析結果選擇最合適的計算方法，避免了計算錯誤和重復計算，兼顧了效率與準確性。

5 結束語

本文證明了公式法求解定位誤差存在前提條件，筆者查閱了大量資料后，在前人的研究基礎上將該前提條件總結為“誤差關聯、影響單一”，并給出了相應的理論解釋和說明；最后針對公式法應用中的一些問題，筆者提出了相應的建議。本研究對于準確應用公式法計算夾具定位誤差，指導定位設計具有重要意義。