立體幾何有圖題想圖的幾個著眼點

鄧鈞方

立體幾何作為綜合考查同學們的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等核心素養的重要載體，是高考數學必考內容。近年來，隨著新課改的推進，命題原則逐漸從“以能力立意”轉向“以素養立意”，試題正在嘗試增加難度，提高能力要求。盡管如此，立體幾何試題的相對難度仍屬中等，是考生必爭之分。

我們知道，空間想象是從研究對象或問題中抽取出數量關系或空間形式，對圖形的想象主要包括有圖想象和無圖想象兩種，是空間想象能力高層次的標志。圖形作為數學表達的語言，與文字語言、符號語言配合表達數學，圖形語言在直觀呈現問題、數形結合解答問題、輔助空間想象問題等方面都發揮了不可替代的作用。

一、陌圖化熟換視位

我們在課本中見到的柱、錐、臺、球，其圖形基本上都遵循斜二測規則，但在選拔性考試中，根據數學核心素養考查的需要，給出全新視角下幾何體的直觀圖。當我們感到圖形很陌生時，可以改變角度重新畫一個自己熟悉的圖形，這樣可以快速人題。題方法。常見的圖形位置變換方法有：①移基本圖（當直觀圖較陌生，隱含在圖形內部的線、面關系就不容易看清楚，這時可將包含有線線、線面關系的基本圖形移出來觀察）;②改變視角（改變看圖的方向，畫一個熟悉的圖）;③“特寫鏡頭”（把涉及問題的圖形的關鍵部分畫出來專門研究）。如此操作常可以得到簡捷、優美的解題路徑。

二、折疊成圖盯不變

折疊問題多次成為高考題，所以研究其解題思路，掌握其解題方法是非常重要的。將一個平面圖形翻折得到一個折疊新圖，解決折疊問題的關鍵是緊扣折疊前后不變的“數量關系”和“線線關系”。保持不變的平行、垂直關系是證明空間線面平行、垂直關系的依據，保持不變的數量關系是求幾何體有關角度、距離、面積和體積的依據。

領悟：折疊問題看似變化多端，實則有規律可循。在折疊前后，抓住這個動態變化過程中不變的量，如垂直、平行關系，角的大小、線段長度等，抓準了，問題就迎刃而解。

三、動態探索坐標來

我們這里講解的立體幾何動態探索問題，涉及“點”、“線”、“面”中的動態關聯，有人把立體幾何中的動態探索性問題分為“位置探索”、“線定面動”、“線動面定”、“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”、“線面角”和“二面角”等，但是，仔細研究運動的情形都是某點的運動，因此，只要想通“點動則線動”、“點動則面動”，那么問題就不難解決了。

領悟：①注意本題“線上動點”的向量表達：b=Aa （a≠0）。②有關的存在性探索問題常利用空間向量法解決，這樣可以避開抽象、復雜的尋找角的過程。只要能夠準確理解和熟練應用夾角公式，就可以把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等問題。事實證明，空間向量法是解決立體幾何中存在性探索問題的好方法。

（責任編輯 王福華）