用空間向量解決立體幾何問題的建系策略

黃芹

立體幾何是高中數學知識體系中的重要知識模塊，也是高考重點考查的核心內容之一?？臻g向量是求解立體幾何問題的一個重要工具，利用空間向量解答立體幾何問題，主要突破“四關”：第一關，建系;第二關，求點的坐標;第三關，求法向量;第四關，應用公式。然而如何建立恰當的空間直角坐標系并求出點的坐標是用空間向量解決立體幾何問題的關鍵所在。下面以典型的幾何體：棱柱、棱錐、多面體為載體，以典型的問題情境設計：求線面角、求二面角、探索性問題、翻折問題為背景，剖析建立空間直角坐標系的常用途徑。

途徑一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構建空間直角坐標系

分析：（1）幾何體中有三條直線兩兩垂直，直接建系。（2）空間向量非常適合于解決立體幾何中的探索性問題，只需要建立恰當的空間直角坐標系，通過坐標運算把“是否存在”的問題轉化為“點的坐標是否有解”的問題。

總結：建系的關鍵是找到垂直關系。判斷線線垂直的常用結論：正方形、矩形、直角梯形;等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直;菱形的對角線相互垂直;勾股定理逆定理;線面垂直性質定理等。

途徑三、利用面面垂直關系，構建空間直角坐標系

總結：先由面面垂直性質定理得到線面垂直，再建立空間直角坐標系。建系時讓一些點、線段盡量與坐標軸重合。在利用法向量解決線面角及二面角大小時，一定要注意正確運用公式，并判斷所求二面角是鈍角還是銳角。

立體幾何解答題通常分步設問，既考查同學們的空間想象能力與邏輯推理能力，也考查運算求解能力。問題情境千變萬化，但萬變不離其宗的是：立體幾何解答題的考查歸結為點、線、面的位置關系，以及角度、距離的求解。空間向量工具是解決立體幾何問題的“尚方寶劍”，空間直角坐標系是“定海神針”，三種建系途徑若能熟練掌握，定能提高分析問題的能力和解題速度。

（責任編輯 王福華）