真空聯(lián)合堆載預壓下基于指數(shù)形式滲流的砂井地基非線性固結(jié)解

江文豪，詹良通

(浙江大學巖土工程研究所，杭州310058)

真空預壓法是工程上常用的軟土地基加固方法[1]，真空預壓法通常與砂井(目前多為塑料排水板)結(jié)合使用。在工程設計中，常采用砂井地基固結(jié)理論來研究真空預壓下土體的固結(jié)過程[2-6]。董志良[2]建立了真空預壓下砂井地基的固結(jié)方程，并得到了砂井地基徑向固結(jié)的解析解。Indraratna等[3]假定砂井內(nèi)真空負壓沿豎向深度呈線性衰減分布，求得了整個地基的平均固結(jié)度公式。周琦等[4]假定砂井下邊界的真空負壓隨時間變化，獲得了真空預壓下砂井地基的Hansbo固結(jié)解。韓文君等[5]基于雙對數(shù)壓縮模型，求得了真空預壓下砂井地基的非線性固結(jié)解。張玉國等[6]考慮了徑向滲透系數(shù)的變化，對真空預壓下砂井地基的固結(jié)問題展開了分析。

為提高砂井地基真空預壓法的加固效果，工程上常采用真空聯(lián)合堆載預壓法進行地基加固[7-8]。Rujikiatkamjorn 等[7]考慮了砂井地基徑向和豎向的組合滲流，研究了真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基的固結(jié)問題。郭彪等[8]通過考慮堆載所引起的附加應力隨時間和深度變化，求得了真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基固結(jié)的一個普遍解析解。胡亞元[9]考慮到砂井地基的實際排水邊界為半透水邊界，獲得了真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基的固結(jié)解。郭霄等[10]通過假定孔隙比和有效應力、滲透系數(shù)之間為半對數(shù)線性關(guān)系，推導得到了適用于真空聯(lián)合堆載預壓法的通用解析解。

在上述砂井地基的固結(jié)理論中，其滲流定律均基于Darcy 定律。然而，室內(nèi)和現(xiàn)場試驗表明，Darcy 定律對滲透性較弱的軟黏土卻不一定適用[11-16]。齊添等[13]和孫麗云等[14]對軟黏土展開滲透試驗指出，土中的滲流規(guī)律采用指數(shù)形式滲流規(guī)律進行擬合的效果更好。Slepicka[16]提出了指數(shù)形式的滲流定律，即：

式中，v為滲流速度；k為土體的滲透系數(shù)；i為水力坡降；m為滲流指數(shù)。

對于指數(shù)形式滲流定律下砂井地基的固結(jié)問題，Hansbo[17-18]考慮到土體的滲流規(guī)律為指數(shù)形式滲流定律，求解得到了砂井地基固結(jié)的一個解析解。Kianfar 等[19]通過考慮真空預壓和指數(shù)形式滲流定律，推導得到了砂井地基的徑向固結(jié)解。劉忠玉等[20]基于指數(shù)形式滲流定律，采用數(shù)值方法對理想砂井地基的性狀進行了固結(jié)分析。Indraratna等[21]通過考慮土體的大變形固結(jié)特性、真空預壓和指數(shù)形式滲流定律，研究了砂井地基的大變形固結(jié)問題。然而，上述研究中均未考慮真空負壓向下傳遞過程存在的損失，且對于真空聯(lián)合堆載預壓下，砂井地基的非線性固結(jié)問題，目前相關(guān)研究較少。

基于此，本文基于Slepicka[16]所提出的指數(shù)形式滲流定律，同時考慮土體的非線性固結(jié)特性和真空負壓沿深度呈線性衰減的特性，求解得到了真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基的非線性固結(jié)解。通過將本文解析解答與已有的解析解進行比較分析，對本文解答的正確性進行了驗證?；诒疚慕獯?，對影響砂井地基固結(jié)性狀的一些因素展開了分析。

1 砂井地基的計算模型

1.1 計算簡圖

以單井為研究對象，考慮真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基非線性固結(jié)的計算簡圖如圖1。

圖1 砂井地基的計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of sand-drained ground

這里假定砂井地基的頂面為排水邊界，底面為不排水邊界。圖1中：砂井地基的厚度為H；r、z分別為徑向坐標和豎向坐標；qu為上表面作用的瞬時均布荷載；p0為作用于地基表面的真空負壓；rw、rs、re分別為砂井半徑、涂抹區(qū)半徑及砂井的影響區(qū)半徑；ks、kh分別為涂抹區(qū)和非擾動區(qū)土體的徑向滲透系數(shù)。

1.2 基本假定

在本文的推導過程中，做如下基本假定：

①等應變條件成立[10]，即砂井影響區(qū)范圍內(nèi)同一水平面上各點的豎向變形是相同的；

②考慮土體的非線性固結(jié)特性，土體的徑向滲透系數(shù)kr、孔隙比e和任一深度處徑向范圍內(nèi)的平均有效應力 σˉ′存在以下關(guān)系：

⑥在任一深度處從土體流入砂井的水量等于砂井中向上水流的增量。

1.3 控制方程及其邊界條件

式中，mv為體積壓縮系數(shù)；uˉr為砂井影響區(qū)內(nèi)任意深度處的平均孔壓；uˉr的表達式如下：

式中， Θ的表達式與滲流指數(shù)m有關(guān)。

當m=1時(Darcy 定律成立)， Θ的表達式如下：

2 計算模型的求解

在任意時刻，砂井地基的沉降量St為：

3 計算模型的驗證

從式(28)和式(29)中平均孔壓uˉr的表達式可以看出，滲流指數(shù)m=1時(Darcy 定律成立)解答的表達式與m≠1時的表達式完全不同。因此，以下將分別對m=1時和m≠1時的解答進行驗證。

3.1 m=1時的解答驗證

對于Darcy 定律下砂井地基的非線性固結(jié)問題，郭霄等[10]通過考慮外荷載隨時間的變化及真空負壓隨深度遞減，求得了不同工況下砂井地基的非線性固結(jié)解。在瞬時荷載下，郭霄等[10]求解得到平均孔壓uˉr的表達式如下：式中，pv為沿砂井深度呈線性衰減的真空負壓；σu為瞬時堆載引起的土中附加應力；λ′為與深度z有關(guān)的系數(shù)，T為與時間t有關(guān)的系數(shù)。將式(28)與式(37)進行比較分析可知，m=1時本文解答的表達式與郭霄等[10]解答的表達式形式上完全一致，系數(shù)的物理意義也基本相同，這驗證了m=1時本文解答的正確性。

3.2 m ≠1時的解答驗證

進一步，若不考慮固結(jié)過程中土體的非線性特性，則方程的解答可以轉(zhuǎn)化為：

Hansbo[18]及Kianfar 等[19]均求解得到了小應變線性固結(jié)下基于指數(shù)形式滲流的砂井地基固結(jié)解。通過比較平均孔壓uˉr的表達式可知，式(39)中uˉr的表達式與Kianfar 等[19]求解真空聯(lián)合堆載預壓下uˉr的表達式形式上一致，系數(shù)的物理意義基本相同。通過比較平均固結(jié)度的表達式可知，式(40)中平均固結(jié)度的表達式與Hansbo[18]求解堆載下平均固結(jié)度的表達式形式上較為一致，系數(shù)的物理意義也基本相同。通過將m≠1時本文退化解與已有的解析解進行對比分析可知，本文解答與已有的解析解較為一致，這驗證了m≠1時本文解答的正確性。

4 固結(jié)性狀分析

Dubin 等[12]研究了軟黏土中滲流指數(shù)m的范圍，認為m=1.5時與試驗結(jié)果較為符合。齊添等[13]利用GDS高級固結(jié)儀對蕭山黏土的滲流規(guī)律展開試驗研究，試驗分析指出m處于0.71～0.76。孫麗云等[14]對河南某地飽和黏土的非達西滲透特性進行了研究，試驗統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)m處于1.42～1.82。可以看出，不同區(qū)域處飽和黏土的m的取值有較大差異，考慮到m的取值大多應與m=1時相接近，這里僅分析取m值處于0.8～1.2。

為研究指數(shù)形式滲流定律下砂井地基的非線性固結(jié)性狀，取滲流指數(shù)m=1.1，砂井地基的計算參數(shù)以表1中的計算參數(shù)為基準，基于上述解析解答，對影響地基固結(jié)性狀的一些因素展開分析，其中包括滲流指數(shù)m、負壓傳遞系數(shù)kz、cc/ck值及外荷載qu。

圖2給出了不同滲流指數(shù)m下砂井地基的平均孔壓固結(jié)度曲線。從圖2中可以看出，滲流指數(shù)m對砂井地基固結(jié)速率的影響十分顯著，在固結(jié)初期，m越大，地基的固結(jié)速率越快；而在固結(jié)后期，m越大，地基的固結(jié)速率越慢。出現(xiàn)這一固結(jié)性狀的原因可從式(1)中得到解釋。在固結(jié)初期，土體的水力坡度較大(大于1)，從式(1)可知，指數(shù)形式滲流定律下土體的滲流速度隨著m的增大而增大；在固結(jié)后期，土體的水力坡度較小(小于1)，從式(1)可知，指數(shù)形式滲流定律下土體的滲流速度隨著m的增大而減小。

表 1砂井地基的計算參數(shù)Table1 Calculation parametersof the sand drainsfoundation

圖2 滲流指數(shù)m對平均孔壓固結(jié)度的影響Fig.2 The influence of flow index m on average pore pressure consolidation degree

圖3給出了不同負壓傳遞系數(shù)kz下砂井地基的平均固結(jié)度曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，kz的變化對砂井地基固結(jié)速率的影響較小，不同kz下砂井地基的平均固結(jié)度曲線幾乎完全重合。此外，從圖3中可以看出，固結(jié)過程中砂井地基的平均孔壓固結(jié)度始終慢于平均沉降固結(jié)度，這主要是由于非線性壓縮關(guān)系下，土體的壓縮性隨著有效應力的增大而減小。

圖3 負壓傳遞系數(shù)k z 對平均固結(jié)度的影響Fig.3 Theinfluence of negative pressuretransfer coefficient k z on average consolidation degree

圖4所示為不同負壓傳遞系數(shù)kz下砂井地基的沉降量曲線。可以看出，kz對砂井地基的沉降速率與沉降量有較大影響，土體的沉降速率與最終沉降量均隨kz的減小而降低。綜合圖3和圖4可知，盡管真空聯(lián)合堆載預壓下砂井的井阻效應對砂井地基固結(jié)速率的影響較小，但負壓傳遞系數(shù)kz的減小會使得砂井地基的沉降速率和最終沉降量減小。

圖4 負壓傳遞系數(shù)k z 對沉降量的影響Fig.4 Theinfluence of negative pressure transfer coefficient k z on settlement

根據(jù)Berry 和Wilkinson[23]等研究，土體的cc/ck值范圍大多介于0.5～2.0。這里給出了該cc/ck值范圍內(nèi)砂井地基的平均孔壓固結(jié)度曲線，如圖5。從圖5可以發(fā)現(xiàn)，cc/ck值對砂井地基的固結(jié)速率有較大影響，cc/ck值越大，砂井地基的固結(jié)速率越慢，這與Darcy 定律下砂井地基的固結(jié)特性一致。該固結(jié)性狀可直接從式(25)得到解釋，cc/ck值越大，相同工況下系數(shù)λa越小，因而減慢了砂井地基的固結(jié)速率。

圖5 c c/c k 值對平均孔壓固結(jié)度的影響Fig.5 The influence of c c/c k values on average pore pressure consolidation degree

對于Darcy 定律下(m=1時)砂井地基的非線性固結(jié)問題，郭霄等[10]研究指出，當cc/ck＜1時，外荷載越大，固結(jié)速率越快；當cc/ck=1時，固結(jié)速率不受外荷載大小的影響；當cc/ck＞1時，外荷載越大，固結(jié)速率越小。然而，對于指數(shù)形式滲流定律下砂井地基的非線性固結(jié)特性，從式(29)可知，不同外荷載下地基固結(jié)速率的發(fā)展規(guī)律還受m的影響。因此，為研究指數(shù)形式滲流定律下外荷載qu對砂井地基的固結(jié)速率，假定cc/ck=1，不同外荷載qu下砂井地基的平均孔壓固結(jié)度曲線如圖6。

圖6 外荷載q u 對平均孔壓固結(jié)度的影響Fig.6 The influence of surcharge loadings on average pore pressure consolidation degree

從圖6可以發(fā)現(xiàn)，不同外荷載qu下地基固結(jié)速率的發(fā)展規(guī)律受m的影響較大。當m＜1時，砂井地基的固結(jié)速率隨外荷載的增大而減?。划攎=1時，外荷載的變化對砂井地基的固結(jié)速率無影響；當m＞1時，砂井地基的固結(jié)速率隨外荷載的增大而增大。這主要是由于外荷載越大，固結(jié)過程中土體的水力坡度i也越大。當m＜1時，m越小，其滲流速度與達西流速的比值就越小，固結(jié)速率越慢；當m＞1時，m越大，其滲流速度與達西流速的比值就越大，固結(jié)速率越快。

結(jié)合式(25)可知，指數(shù)形式滲流定律下，外荷載對砂井地基固結(jié)速率的影響規(guī)律受cc/ck值和滲流指數(shù)m的共同影響。在相同的工況下，當cc/ck＞1且m＜1時，外荷載越大，砂井地基的固結(jié)速率越??；當cc/ck=1且m=1時，不同外荷載下砂井地基的固結(jié)速率相同；當cc/ck＜1且m＞1時，外荷載越大，砂井地基的固結(jié)速率越大。

5 結(jié)論

本文基于指數(shù)形式滲流定律，考慮了土體的非線性固結(jié)特性和真空負壓沿深度呈線性衰減的特性，對真空聯(lián)合堆載預壓下砂井地基的非線性固結(jié)問題進行了求解，推導得到了砂井地基的非線性固結(jié)解。通過將本文解析解答與已有的解析解展開比較分析，對本文解答的正確性進行了驗證。根據(jù)解析解答，對砂井地基的固結(jié)性狀展開了分析，并得到了如下結(jié)論：

(1)滲流指數(shù)m對砂井地基固結(jié)速率的影響十分顯著，在固結(jié)初期，m越大，地基的固結(jié)速率越快；而在固結(jié)后期，m越大，地基的固結(jié)速率越慢。

(2)負壓傳遞系數(shù)kz對砂井地基固結(jié)速率的影響較小，不同kz下砂井地基的平均固結(jié)度曲線幾乎完全重合，但負壓傳遞系數(shù)kz的減小會使得砂井地基的沉降速率和最終沉降量均減小。

(3)壓縮指數(shù)與滲透指數(shù)的比值(cc/ck值)對砂井地基的固結(jié)速率有較大影響，cc/ck值越大，砂井地基的固結(jié)速率越慢，這與Darcy 定律下砂井地基的固結(jié)特性一致。

(4)在相同的工況下，當cc/ck＞1且m＜1 時，外荷載越大，砂井地基的固結(jié)速率越?。划攃c/ck=1且m=1時，不同外荷載下砂井地基的固結(jié)速率相同；當cc/ck＜1且m＞1時，外荷載越大，砂井地基的固結(jié)速率越大。