多沖量軌道交會問題算法研究

曾光 王露莎 李棟林

(西安衛星測控中心，西安 710043)

多沖量共面軌道交會問題是指目標星和追蹤星在同一個軌道面，經過多批次的脈沖控制使追蹤星最終與目標星的空間狀態變量(位置、速度)相等。很多航天場景中都會涉及多沖量共面軌道交會問題，例如載人航天空間交會的遠程導引段、航天器追擊問題、航天器星座組網問題、相位捕獲等。

目前相關的研究工作大多集中于多沖量交會過程中拉格朗日乘子法[1]、遺傳算法[2-3]、快速打靶法[4]、動態規劃原理[5]、梯度恢復算法[6]等優化方法的應用。還有文獻研究了遠距離、大范圍的軌道交會運動中考慮攝動因素對航天器運動的影響[7]，多圈Lambert變軌問題求解[8]，衛星編隊的多沖量優化算法[9]等問題。綜合考慮發動機單次點火時長約束、測控條件約束，兼顧控制時間和實際工程要求的多批次脈沖控制交會問題的研究文獻較少。

本文針對平面內軌道交會問題給出了一種多沖量軌道控制算法，其融合了半長軸、偏心率、近地點幅角聯合控制方法和軌道相位捕獲控制方法。基于該算法，在給定測控條件、單次最大點火時長等約束情況下，可快速計算出實現與目標航天器軌道交會的多沖量控制策略。

1 問題描述

本文所研究的多沖量共面軌道交會過程可描述為:追蹤星與目標星分別在兩個共面的橢圓或圓軌道上運動,在t0時刻，追蹤星沿其初始軌道運動到A點，目標星運動到B點。從此時開始追蹤星經過多次沖量推力作用，于tf時刻到達目標軌道上D點實現與目標星的交會，此時雙星平面內軌道參數(半長軸、偏心率、近地點幅角、平近點角)相同，交會過程如圖1所示。

控制過程中需要考慮如下的約束條件:①發動機單次點火時長Δti小于單次控制最大點火時長Δtmax;②控制過程中有連續的測控可見圈次，控制周期固定為Δtcycle(在工程實際中，控制周期一般為半天或一天，一個控制周期內完成的控制稱為一個批次控制，下文同);③控制過程僅使用切向脈沖，不做徑向脈沖控制;④在不額外增加燃料消耗前提下盡快完成交會控制過程。

待求解的參數包括多沖量作用時刻以及沖量的大小。

圖1 平面內多沖量軌道交會示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-impulse orbital rendezvous in plane

2 數學模型

2.1 基本策略

為解決上文描述交會問題，采用如下控制策略。

1)采用多批次控制

受發動機單次最大點火時長約束，如果總控制量較大，則將控制過程拆分為多個批次控制。

2)采用等點火時長控制

衛星發動機在整個控制中隨著貯箱壓力的衰減，推力也會隨之減小，在相等的控制時長內，實際控制量會逐漸減小。為盡快完成交會控制，采用等點火時長控制方案。

3)采用半長軸、偏心率和近地點幅角聯合控制

為實現平面內交會目標，將每批次控制拆分為兩次子控制，采用半長軸、偏心率和近地點幅角聯合控制方案。

4)通過調整理論控制序列來滿足測控條件約束

受測控條件約束，實際起控時刻與理論起控時刻存在差異，需要調整理論控制序列來實現平面內交會。

2.2 等點火時長計算模型

首先根據追蹤星和目標星軌道參數計算單次a、e、ω(半長軸、偏心率、近地點幅角)雙脈沖聯合控制的相位及控制量Δa1,tot、Δa2,tot(具體過程見文獻[10])，雙脈沖總控制量為Δatot=|Δa1,tot|+|Δa2,tot|。采用多批次控制方案，設每個批次點火時長相同且均為Δt，則Δatot可表示為Δt的非線性函數。

Δatot=f(Δt)

(1)

已知Δatot求解Δt的過程如下所述。

(1)給定Δt初值，依次計算每批次控制產生的半長軸增量。

(2)

式中：μ為地心引力常數；ai為衛星半長軸；Fi為發動機推力(與貯箱溫度、壓力相關)；Mi為點火前推進劑質量。

(2)計算n批次控制總半長軸改變量。

(3)

(3)使用牛頓迭代法，迭代計算出Δatot對應的單批次點火時長Δt，同時初步分配每批次控制雙脈沖控制量。

(4)

2.3 理論起控時刻計算模型

追蹤星在控制過程中與目標星的相位關系在不斷地發生變化，為最終達到交會，需要追蹤星在控制過程結束后與目標星相位保持一致，通過式(4)規劃的控制量，可以計算出控制過程中追蹤星和目標星累積的相位差，結合初軌歷元時刻的相位差，可計算出理論起控時刻，具體算法如下。

(1)計算理論控制過程積累的相位差。

(5)

式中：ai1為第i批次中第1次脈沖控制后追蹤星的半長軸值；ai2為第i批次中第2次脈沖控制后追蹤星的半長軸值；Δti1為第i批次中第1次脈沖控制起控時刻與第i批次中第2次脈沖控制起控時刻的差值；Δti2為第i批次中第2次脈沖控制起控時刻與第i+1批次第1次脈沖控制起控時刻的差值；af為目標星半長軸。

(2)計算理論起控時刻。

令

(6)

如果要求追蹤星與目標星交會，則k需為整數，進而可以確定最優的起控時刻為

Tnomal=T0+Δtm

(7)

2.4 滿足測控條件約束的控制序列調整算法

受測控條件約束，實際的起控時刻與理論起控時刻可能不同，會造成追蹤星相位與目標星最終相位無法重合，需要通過增加1個批次控制并調整控制量來保證累積的相位變化滿足

(8)

如圖2所示，按照理論控制時刻計算得到的每個脈沖控制量依次為Δa11、Δa12、Δa21、Δa22、……、Δan2，控后的半長軸依次為a11、a12、a21、a22、……、an1、af。

圖2 控制量調整示意圖Fig.2 Schematic diagram of control quantity adjustment

控制序列調整的基本思路是減少第一批次的控制量，再額外增加一個控制批次，采用逐步迭代收斂的方法，計算出滿足相位約束的實際控制量。

調整控制量的算法描述如下。

(9)

i=1,……,n+1，j=1,2

(10)

(3)計算控制量調整后變化的相位差。

(11)

(4)使用牛頓迭代法迭代求解滿足條件的控制序列，使dum滿足式(8)。

2.5 算法流程

平面內多沖量軌道交會算法流程如圖3所示，描述如下。

圖3 平面內多沖量軌道交會算法流程圖Fig.3 Flow chart of the algorithm for in-plane multi-impulse orbital rendezvous

(1)讀取追蹤星和目標星的軌道初值，轉換至瞬時平赤道坐標系，并預報至同一歷元，計算雙星相位差及相位差變化率。

(2)基于聯合控制方法計算單批次雙脈沖控制完成a、e、ω控制目標的控制量和控制點相位。

(3)假設每批次控制時長相等，基于發動機模型，使用牛頓迭代法計算滿足總控制量Δa的單批次控制時長，同時計算出每批次雙脈沖控制量初值。

(4)積分雙星軌道計算控制點相位對應的控制時刻，基于式(5)計算雙星在理論控制過程中累積的相位差。

(5)利用式(7)計算最近的控制窗口，根據測控條件選擇首次機動參考時刻。

(6)通過調整控制量迭代計算滿足目標相位的控制過程。

(7)輸出控制時間和控制量序列。

3 仿真算例

3.1 初始參數

為驗證本文算法，分4種情況建立仿真場景，給出多沖量控制時間和控制量，最后用包含機動過程的軌道預報軟件進行驗證。

初始條件為：目標星和追蹤星衛星質量100 kg，衛星迎風面積5.0 m2，光壓面積6.0 m2，光壓系數0.1，周期變率為-0.000 1。為模擬平面內控制情況，兩顆星的傾角和升交點赤經統一設置為80°和240°。

表1 仿真情況1衛星軌道參數Table 1 Satellite orbit elements in simulation 1

表2 仿真情況2衛星軌道參數Table 2 Satellite orbit elements in simulation 2

表3 仿真情況3衛星軌道參數Table 3 Satellite orbit elements in simulation 3

表4 仿真情況4衛星軌道參數Table 4 Satellite orbit elements in simulation 4

3.2 約束條件和目標

單次控制時長小于600 s；每天安排控制2次，間隔時間約4 h；僅使用切向控制；等待時間(初始歷元和起控時刻之差)和控制過程時間最短；控制結束后追蹤星與目標星交會。

3.3 仿真結果

4種仿真場景的控制序列計算結果分別見圖4、圖5、圖6、圖7，控制過程中追蹤星與目標性半長軸、偏心率、近地點幅角和緯度幅角差值的變化情況分別見圖8、圖9、圖10、圖11。

從仿真結果看，4種場景下計算出的控制序列均滿足約束條件。從控制效果看，追蹤星與目標性半長軸、偏心率、近地點幅角和緯度幅角都最終收斂到了與目標星一致。

圖4 仿真場景一控制序列計算結果Fig.4 Control sequence results in simulation 1

圖5 仿真場景二控制序列計算結果Fig.5 Control sequence results in simulation 2

圖6 仿真場景三控制序列計算結果Fig.6 Control sequence results in simulation 3

圖7 仿真場景四控制序列計算結果Fig.7 Control sequence results in simulation 4

圖8 仿真場景一追蹤星與目標星軌道根數變化過程Fig.8 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 1

圖9 仿真場景二追蹤星與目標星軌道根數變化過程Fig.9 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 2

圖10 仿真場景三追蹤星與目標星軌道根數變化過程Fig.10 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 3

圖11 仿真場景四追蹤星與目標星軌道根數變化過程Fig.11 Track satellite and target satellite orbital changes in simulation scenario 4

4 結束語

本文針對平面內軌道交會問題給出了一種多沖量軌道控制算法。基于該算法，在給定測控條件、最大點火時長等約束情況下，可快速計算出實現與目標航天器軌道交會的多沖量控制策略。通過4個軌道交會問題算例，得到如下結論：

(1)本文平面內軌道交會問題多沖量軌道控制算法有效，在滿足最大點火時長、測控條件約束的前提下可快速制定出交會控制策略；

(2)在不額外增加燃料消耗前提下，本文算法可以實現的追蹤星與目標星的盡快交會；

(3)該方法可推廣至航天器追擊、相位捕獲、星座組網控制等應用場景。