基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法研究

北京化工大學機電工程學院 北京 100029

如今的工業生產中，機械設備不斷向大型化、高速化和集成化的方向發展，在提高生產效率的同時，也帶來一系列問題，比如設備長期工作于復雜工況下，測得的振動數據冗余。因此，如何從海量振動數據中獲取有用的設備故障信息，成為當前設備診斷領域亟待解決的問題[1-2]。

近年來，基于l1范數正則化的稀疏表示模型在故障診斷領域得到了廣泛應用，其在一定程度上降低了數據的冗余度和處理難度。然而，當故障信息非常微弱，且被淹沒于多干擾源和強背景噪聲中時，傳統的稀疏表示模型不能得出較好的效果[3-4]。因此，一些研究人員便開展了基于非凸正則化的稀疏算法研究。在引入非凸正則化的同時，又增加了新的問題，目標函數較復雜，稀疏分解規模較大，使用傳統的優化算法 (如梯度下降法、共軛梯度法)難以得到全局最優解[5-7]。針對這一問題，交替方向乘子法 (Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)提供了一個新的解決思路[8-9]。

ADMM 算法早在 20 世紀 70 年代就已經被提出，2010 年被 Boyd 等人[10]證明適用于具有可分離變量的大規模優化問題。ADMM 算法首先依據原始優化問題的目標函數和約束條件構造一個增廣拉格朗日函數，然后通過對偶上升法交替更新變量。其本質是將原始優化問題等價分解為若干個低維子問題，使用傳統的優化算法求出低維子問題的最優解，從而得到原始優化問題的全局解。多數情況下，分離得到的子問題不需要進行收斂性證明即可求得最優解[11-12]。相較于一些傳統算法，ADMM 算法的求解速度快，收斂性能好，因此在統計、機器學習等領域應用廣泛[13-14]。

Du 等人[15]提出了一種新型稀疏框架，即將時域波形不同，頻譜相似的多個故障信號通過冗余字典來稀疏表示，把得到的稀疏系數作為優化目標函數的正則項，然后通過 ADMM 算法求解此優化問題，并使用風電場齒輪箱故障信號驗證。與現有技術相比，該框架在故障診斷領域表現出一定的優越性。孫占龍等人[16]提出了一種基于 ADMM 字典學習的稀疏分解方法，該方法在字典學習階段使用 ADMM 更新字典原子，稀疏編碼階段使用正交匹配追蹤算法 (OMP)。與 K-SVD 字典學習相比，該方法構造的字典與滾動軸承振動信號更匹配，可以有效抑制原始信號中的高頻噪聲，準確提取故障特征。Song 等人[17]提出了一種新的滾動軸承振動信號稀疏重建算法，該算法在重構階段采用最小二乘 QR 分解 (LSQR)算法優化 Lasso回歸模型，并且使用 ADMM 算法求解該優化問題。與基追蹤算法和 Lasso 回歸相比，該算法重構誤差較小，能在較高的壓縮比下達到足夠的重構精度。筆者將 ADMM 算法應用于非凸稀疏正則化問題的優化求解，充分利用了目標函數的可分離性，解決了目標函數較復雜和稀疏分解規模較大的問題。

1 ADMM 算法原理

ADMM 算法將對偶上升法的可分解性和乘子法的上界收斂性進行了整合，最初被用來求解以下等式的約束問題。

式中：x、z為優化變量。

作為一種原對偶方法，ADMM 將式 (1)中的目標函數和約束條件通過一個對偶參數耦合在一起，并且為了保證構造的函數是嚴格凸的，再增加一個懲罰項。于是，構成的增廣拉格朗日函數為

2 非凸優化稀疏表示

實際工業生產中，軸承所處的工作環境往往含有大量噪聲干擾，再加上采集的振動信號故障較微弱，導致采用基于l1范數正則化的傳統稀疏表示模型難以準確提取和識別信號特征頻率。針對這一問題，筆者構造了一個新型稀疏表示模型，即在基于l1范數正則化的基礎上增加非凸懲罰函數，然后利用 ADMM 算法進行求解。

2.1 基于 l1范數正則化的稀疏表示模型

旋轉機械運行過程中，采集到的振動信號往往伴有大量的噪聲干擾，因此觀測信號通常表示為

式中：y為采集到的振動信號；s為僅包含故障特征的振動成分；w為噪聲干擾，通常假設為高斯白噪聲。

為了從采集到的振動信號y中提取出故障特征成分s，稀疏表示特征提取方法構造了如下無約束優化問題：

式中：F(x)為目標函數，由數據保真項和懲罰函數項組成；α為正則化參數，用來調節目標函數中 2 個部分的權重。

雖然基于l1范數的優化方法可以使得提取出的故障特征成分呈現稀疏性，但是往往會低估高振幅分量，導致特征成分提取不夠準確[18]。基于非凸懲罰函數的優化方法可以更準確地提取信號的特征成分，考慮在傳統稀疏表示模型基礎上增加非凸懲罰函數，以提高滾動軸承故障特征提取精度。

2.2 非凸懲罰函數

筆者選用非凸懲罰函數來增強重構信號的稀疏性，選用的非凸函數φ∶R→R 應滿足以下條件：

(1)φ在 R 范圍內連續；

(2)φ在 R≠0 范圍內二階可微；

(3)φ在 R+范圍內是凹函數，且是遞增的；

(4)φ是偶函數；

(5)?x≠0,。

圖1 絕對值函數和對數函數圖像 (b=1)Fig.1 Graph of absolute function and logarithmic function (b=1)

2.3 ADMM 算法求解非凸正則化問題

式中：b為標量參數，可以調節懲罰函數的非凸程度[19]。

將函數F對b做微分，針對不同的x取值，選取最優標量參數b。

此時式 (3)變為

式中：x、z為優化變量；D∈RN×M為稀疏字典；y∈RN為待分析信號；λ為對偶參數；α、μ為懲罰參數。

2.4 非凸優化稀疏表示方法流程

基于上述思想，筆者提出了基于 ADMM 算法的非凸優化稀疏表示方法。軸承微弱故障診斷流程如圖2 所示。

圖2 軸承微弱故障診斷流程Fig.2 Process flow of bearing minor fault diagnosis

3 仿真信號驗證

為了驗證所提方法的有效性，采用如下仿真信號進行試驗。

式中：A為信號幅值；ξ為衰減阻尼系數，ξ=0.1；k為周期沖擊個數，k= 0，1，2，…；τ為沖擊時間間隔，τ=0.02 s；fn為系統固有頻率，fn=3 kHz；v(t)為高斯白噪聲，用來模擬背景噪聲。

采樣頻率為 10 kHz，故障特征頻率為 50 Hz。

仿真加噪信號的時域波形圖和包絡頻譜圖如圖 3所示。由圖 3 可以看出，背景噪聲和信號特征成分混雜在一起，在時域圖和頻譜圖中難以區分。

圖3 仿真加噪信號Fig.3 Simulation of noisy signal

圖4 改進算法的稀疏重構信號Fig.4 Sparse reconstructed signals obtained by applying improved algorithm

根據圖 2 所示方法流程圖，利用筆者所提方法對上述仿真加噪信號進行處理，其中標量參數b=1.25，得到稀疏重構信號的時域波形圖和包絡頻譜圖，如圖 4 所示。從圖 4 可以看出，原始仿真信號中的高頻噪聲得到有效剔除，稀疏效果好；對稀疏重構信號進行包絡分析，從包絡頻譜圖中能夠較為清楚地辨認出 51.3、100.1、148.9、200.2 和 249.0 Hz 等頻率成分，這與仿真加噪信號特征頻率 50 Hz 的 1～5 倍頻非常接近。說明采用基于 ADMM 算法的非凸優化稀疏表示方法處理仿真加噪信號，能夠剔除大量背景噪聲干擾，增強特征頻率成分，診斷效果較為理想。

為了驗證筆者所提方法的優勢，與稀疏優化領域常用的 OMP 算法作對比，經 OMP 算法處理后的稀疏重構信號如圖 5 所示。由圖 5 可以發現，原始仿真信號中的背景噪聲被剔除的同時，某些周期性沖擊成分也被剔除了，特征頻率增強效果明顯不如筆者所提方法；對此稀疏重構信號進行包絡分析，包絡譜雖然能勉強提取到 51.3 Hz 的特征頻率，但是其倍頻成分均被淹沒，且存在大量干擾譜線，并不能確定信號故障類型。由此可見，筆者所提方法在去噪和特征增強方面較 OMP 算法具有一定的優勢。

圖5 OMP 算法的稀疏重構信號Fig.5 Sparse reconstructed signals obtained by applying OMP algorithm

4 試驗驗證

4.1 試驗條件

為了再次驗證所提方法的有效性，采用實測的故障軸承振動信號進行試驗。采用型號為 NTN-N204的圓柱滾子軸承，利用線切割技術分別在軸承內圈和外圈上加工深度為 0.05 mm、寬度為 0.3 mm 的凹槽，將此故障軸承安裝在圖 6 所示旋轉機械故障模擬試驗臺，并利用固定在軸承座 CH1 處的加速度傳感器采集軸承振動信號。試驗過程中，設定電動機轉速為 1 300 r/min，采樣頻率為 100 kHz，該軸承的理論內、外圈特征頻率分別為 145.8、86.3 Hz。

圖6 軸承故障模擬試驗臺Fig.6 Bearing failure simulation test platform

4.2 試驗結果

將上述采集到的軸承外圈故障振動信號截取 0.12 s，作為試驗對象進行研究。軸承外圈原始信號的時域波形圖和包絡頻譜圖如圖 7 所示。

圖7 軸承外圈原始信號Fig.7 Original signals of bearing outer ring

從圖 7 可以看出，該原始信號含有大量噪聲和諧波干擾，波形比較雜亂，沖擊成分周期性不明顯。對其進行包絡分析，只能提取出接近軸承轉頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在干擾譜線 18.3 Hz，頻譜能量集中在低頻區段，轉頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，無法識別軸承故障類型。

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對上述采集到的信號進行處理，其中標量參數b＝0.52，得到稀疏重構信號的時域波形圖和包絡頻譜圖，如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，原始振動信號中的高頻噪聲被有效剔除，稀疏效果好；對稀疏重構信號進行包絡分析，從包絡頻譜圖中能夠較為清楚地辨認出 85.5、170.9、256.3、341.8 和 427.3 Hz 等頻率成分，與軸承理論外圈故障特征頻率 86.3 Hz 的 1～5 倍頻非常接近，說明軸承外圈出現了故障。可見，非凸正則化軸承故障診斷方法能夠有效提取滾動軸承微弱故障特征，實現軸承故障狀態識別。

圖8 軸承外圈改進算法的稀疏重構信號Fig.8 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying improved algorithm

同樣采用 OMP 算法對采集到的軸承外圈信號進行處理，得到稀疏重構信號的時域波形圖和包絡頻譜圖如圖 9 所示。從圖 9 可以看出，原始振動信號中的噪聲被剔除的同時，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構信號中恢復一部分故障沖擊成分，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；對此稀疏重構信號進行包絡分析，得到如圖 9(b)所示的包絡頻譜圖，雖然提取出了接近軸承轉頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，但是轉頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，并且存在干擾譜線 18.3 Hz，無法有效診斷軸承故障。可見，基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法與 OMP 算法相比，有著更好的去噪能力和特征增強能力。

圖9 軸承外圈 OMP 算法的稀疏重構信號Fig.9 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying OMP algorithm

同樣將試驗中采集到的軸承內圈故障信號截取0.12 s，作為試驗對象開展研究。軸承內圈原始信號如圖 10 所示，時域圖的波形雜亂，沖擊成分被背景噪聲淹沒，沖擊成分周期性不明顯。這可能是由于故障尺寸較小，與噪聲成分相比能量較微弱。對其進行包絡分析處理，只能提取出接近軸承轉頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在較多干擾譜線，轉頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，無法識別軸承故障狀態。

圖10 軸承內圈原始信號Fig.10 Original signals of bearing inner ring

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對上述試驗采集的內圈故障信號進行處理，其中標量參數b＝0.84，得到稀疏重構信號的時域波形圖和包絡頻譜圖，如圖 11 所示。由圖 11 可以看出，此方法能夠有效消除原始信號中的噪聲干擾，稀疏效果好。對稀疏重構信號進行包絡分析，其中 42.7、146.5 和 293.0 Hz 等頻率成分被提取出來，這分別與軸承轉頻的 2倍頻，軸承理論內圈故障頻率 145.8 Hz 的 1、2 倍頻非常接近。雖然干擾譜線仍然存在，但是能夠辨認出此時軸承內圈發生了故障。軸承轉頻的 2 倍頻被提取出來的原因可能是試驗裝置存在缺陷 (例如結構未對中)。

圖11 軸承內圈改進算法的稀疏重構信號Fig.11 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying improved algorithm

為了進一步驗證筆者所提方法的優勢，同樣采用OMP 算法對采集到的軸承內圈信號進行處理，得到稀疏重構信號時域波形圖和包絡頻譜圖，如圖 12 所示。由圖 12 可以看出，原始振動信號中的噪聲被剔除的同時，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構信號中恢復一部分故障沖擊，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；雖然包絡譜提取出了 42.7 和 146.5 Hz 頻率成分，但是干擾譜線的能量占據主導地位，故障特征頻率的幅值較小，無法識別軸承故障類型。可見非凸正則化軸承故障診斷方法較OMP 算法在去噪和特征增強方面具有一定優勢。

圖12 軸承內圈 OMP 算法的稀疏重構信號Fig.12 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying OMP algorithm

5 結語

通過利用基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法對復雜工況下軸承微弱故障信號進行提取，以仿真加噪信號和滾動軸承實際信號作為試驗對象進行驗證。試驗結果表明：基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法顯著消除了原始信號中的噪聲干擾，有效增強了微弱故障特征，并實現了振動信號微弱故障的準確診斷。該方法在基于l1范數正則化的傳統稀疏模型基礎上增加了對數懲罰函數，增強了微弱故障特征，解決了傳統稀疏表示模型難以準確提取微弱故障特征的問題。引入 ADMM 算法，解決了加入非凸懲罰函數后目標函數復雜，無法使用單一優化算法求解的問題。