基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法研究

北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 北京 100029

如今的工業(yè)生產(chǎn)中，機(jī)械設(shè)備不斷向大型化、高速化和集成化的方向發(fā)展，在提高生產(chǎn)效率的同時(shí)，也帶來(lái)一系列問(wèn)題，比如設(shè)備長(zhǎng)期工作于復(fù)雜工況下，測(cè)得的振動(dòng)數(shù)據(jù)冗余。因此，如何從海量振動(dòng)數(shù)據(jù)中獲取有用的設(shè)備故障信息，成為當(dāng)前設(shè)備診斷領(lǐng)域亟待解決的問(wèn)題[1-2]。

近年來(lái)，基于l1范數(shù)正則化的稀疏表示模型在故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，其在一定程度上降低了數(shù)據(jù)的冗余度和處理難度。然而，當(dāng)故障信息非常微弱，且被淹沒(méi)于多干擾源和強(qiáng)背景噪聲中時(shí)，傳統(tǒng)的稀疏表示模型不能得出較好的效果[3-4]。因此，一些研究人員便開展了基于非凸正則化的稀疏算法研究。在引入非凸正則化的同時(shí)，又增加了新的問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)較復(fù)雜，稀疏分解規(guī)模較大，使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法 (如梯度下降法、共軛梯度法)難以得到全局最優(yōu)解[5-7]。針對(duì)這一問(wèn)題，交替方向乘子法 (Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)提供了一個(gè)新的解決思路[8-9]。

ADMM 算法早在 20 世紀(jì) 70 年代就已經(jīng)被提出，2010 年被 Boyd 等人[10]證明適用于具有可分離變量的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。ADMM 算法首先依據(jù)原始優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)造一個(gè)增廣拉格朗日函數(shù)，然后通過(guò)對(duì)偶上升法交替更新變量。其本質(zhì)是將原始優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)分解為若干個(gè)低維子問(wèn)題，使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求出低維子問(wèn)題的最優(yōu)解，從而得到原始優(yōu)化問(wèn)題的全局解。多數(shù)情況下，分離得到的子問(wèn)題不需要進(jìn)行收斂性證明即可求得最優(yōu)解[11-12]。相較于一些傳統(tǒng)算法，ADMM 算法的求解速度快，收斂性能好，因此在統(tǒng)計(jì)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[13-14]。

Du 等人[15]提出了一種新型稀疏框架，即將時(shí)域波形不同，頻譜相似的多個(gè)故障信號(hào)通過(guò)冗余字典來(lái)稀疏表示，把得到的稀疏系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的正則項(xiàng)，然后通過(guò) ADMM 算法求解此優(yōu)化問(wèn)題，并使用風(fēng)電場(chǎng)齒輪箱故障信號(hào)驗(yàn)證。與現(xiàn)有技術(shù)相比，該框架在故障診斷領(lǐng)域表現(xiàn)出一定的優(yōu)越性。孫占龍等人[16]提出了一種基于 ADMM 字典學(xué)習(xí)的稀疏分解方法，該方法在字典學(xué)習(xí)階段使用 ADMM 更新字典原子，稀疏編碼階段使用正交匹配追蹤算法 (OMP)。與 K-SVD 字典學(xué)習(xí)相比，該方法構(gòu)造的字典與滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)更匹配，可以有效抑制原始信號(hào)中的高頻噪聲，準(zhǔn)確提取故障特征。Song 等人[17]提出了一種新的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏重建算法，該算法在重構(gòu)階段采用最小二乘 QR 分解 (LSQR)算法優(yōu)化 Lasso回歸模型，并且使用 ADMM 算法求解該優(yōu)化問(wèn)題。與基追蹤算法和 Lasso 回歸相比，該算法重構(gòu)誤差較小，能在較高的壓縮比下達(dá)到足夠的重構(gòu)精度。筆者將 ADMM 算法應(yīng)用于非凸稀疏正則化問(wèn)題的優(yōu)化求解，充分利用了目標(biāo)函數(shù)的可分離性，解決了目標(biāo)函數(shù)較復(fù)雜和稀疏分解規(guī)模較大的問(wèn)題。

1 ADMM 算法原理

ADMM 算法將對(duì)偶上升法的可分解性和乘子法的上界收斂性進(jìn)行了整合，最初被用來(lái)求解以下等式的約束問(wèn)題。

式中：x、z為優(yōu)化變量。

作為一種原對(duì)偶方法，ADMM 將式 (1)中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件通過(guò)一個(gè)對(duì)偶參數(shù)耦合在一起，并且為了保證構(gòu)造的函數(shù)是嚴(yán)格凸的，再增加一個(gè)懲罰項(xiàng)。于是，構(gòu)成的增廣拉格朗日函數(shù)為

2 非凸優(yōu)化稀疏表示

實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，軸承所處的工作環(huán)境往往含有大量噪聲干擾，再加上采集的振動(dòng)信號(hào)故障較微弱，導(dǎo)致采用基于l1范數(shù)正則化的傳統(tǒng)稀疏表示模型難以準(zhǔn)確提取和識(shí)別信號(hào)特征頻率。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者構(gòu)造了一個(gè)新型稀疏表示模型，即在基于l1范數(shù)正則化的基礎(chǔ)上增加非凸懲罰函數(shù)，然后利用 ADMM 算法進(jìn)行求解。

2.1 基于 l1范數(shù)正則化的稀疏表示模型

旋轉(zhuǎn)機(jī)械運(yùn)行過(guò)程中，采集到的振動(dòng)信號(hào)往往伴有大量的噪聲干擾，因此觀測(cè)信號(hào)通常表示為

式中：y為采集到的振動(dòng)信號(hào)；s為僅包含故障特征的振動(dòng)成分；w為噪聲干擾，通常假設(shè)為高斯白噪聲。

為了從采集到的振動(dòng)信號(hào)y中提取出故障特征成分s，稀疏表示特征提取方法構(gòu)造了如下無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：

式中：F(x)為目標(biāo)函數(shù)，由數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和懲罰函數(shù)項(xiàng)組成；α為正則化參數(shù)，用來(lái)調(diào)節(jié)目標(biāo)函數(shù)中 2 個(gè)部分的權(quán)重。

雖然基于l1范數(shù)的優(yōu)化方法可以使得提取出的故障特征成分呈現(xiàn)稀疏性，但是往往會(huì)低估高振幅分量，導(dǎo)致特征成分提取不夠準(zhǔn)確[18]。基于非凸懲罰函數(shù)的優(yōu)化方法可以更準(zhǔn)確地提取信號(hào)的特征成分，考慮在傳統(tǒng)稀疏表示模型基礎(chǔ)上增加非凸懲罰函數(shù)，以提高滾動(dòng)軸承故障特征提取精度。

2.2 非凸懲罰函數(shù)

筆者選用非凸懲罰函數(shù)來(lái)增強(qiáng)重構(gòu)信號(hào)的稀疏性，選用的非凸函數(shù)φ∶R→R 應(yīng)滿足以下條件：

(1)φ在 R 范圍內(nèi)連續(xù)；

(2)φ在 R≠0 范圍內(nèi)二階可微；

(3)φ在 R+范圍內(nèi)是凹函數(shù)，且是遞增的；

(4)φ是偶函數(shù)；

(5)?x≠0,。

圖1 絕對(duì)值函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像 (b=1)Fig.1 Graph of absolute function and logarithmic function (b=1)

2.3 ADMM 算法求解非凸正則化問(wèn)題

式中：b為標(biāo)量參數(shù)，可以調(diào)節(jié)懲罰函數(shù)的非凸程度[19]。

將函數(shù)F對(duì)b做微分，針對(duì)不同的x取值，選取最優(yōu)標(biāo)量參數(shù)b。

此時(shí)式 (3)變?yōu)?/p>

式中：x、z為優(yōu)化變量；D∈RN×M為稀疏字典；y∈RN為待分析信號(hào)；λ為對(duì)偶參數(shù)；α、μ為懲罰參數(shù)。

2.4 非凸優(yōu)化稀疏表示方法流程

基于上述思想，筆者提出了基于 ADMM 算法的非凸優(yōu)化稀疏表示方法。軸承微弱故障診斷流程如圖2 所示。

圖2 軸承微弱故障診斷流程Fig.2 Process flow of bearing minor fault diagnosis

3 仿真信號(hào)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，采用如下仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。

式中：A為信號(hào)幅值；ξ為衰減阻尼系數(shù)，ξ=0.1；k為周期沖擊個(gè)數(shù)，k= 0，1，2，…；τ為沖擊時(shí)間間隔，τ=0.02 s；fn為系統(tǒng)固有頻率，fn=3 kHz；v(t)為高斯白噪聲，用來(lái)模擬背景噪聲。

采樣頻率為 10 kHz，故障特征頻率為 50 Hz。

仿真加噪信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 3所示。由圖 3 可以看出，背景噪聲和信號(hào)特征成分混雜在一起，在時(shí)域圖和頻譜圖中難以區(qū)分。

圖3 仿真加噪信號(hào)Fig.3 Simulation of noisy signal

圖4 改進(jìn)算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.4 Sparse reconstructed signals obtained by applying improved algorithm

根據(jù)圖 2 所示方法流程圖，利用筆者所提方法對(duì)上述仿真加噪信號(hào)進(jìn)行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b=1.25，得到稀疏重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 4 所示。從圖 4 可以看出，原始仿真信號(hào)中的高頻噪聲得到有效剔除，稀疏效果好；對(duì)稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，從包絡(luò)頻譜圖中能夠較為清楚地辨認(rèn)出 51.3、100.1、148.9、200.2 和 249.0 Hz 等頻率成分，這與仿真加噪信號(hào)特征頻率 50 Hz 的 1～5 倍頻非常接近。說(shuō)明采用基于 ADMM 算法的非凸優(yōu)化稀疏表示方法處理仿真加噪信號(hào)，能夠剔除大量背景噪聲干擾，增強(qiáng)特征頻率成分，診斷效果較為理想。

為了驗(yàn)證筆者所提方法的優(yōu)勢(shì)，與稀疏優(yōu)化領(lǐng)域常用的 OMP 算法作對(duì)比，經(jīng) OMP 算法處理后的稀疏重構(gòu)信號(hào)如圖 5 所示。由圖 5 可以發(fā)現(xiàn)，原始仿真信號(hào)中的背景噪聲被剔除的同時(shí)，某些周期性沖擊成分也被剔除了，特征頻率增強(qiáng)效果明顯不如筆者所提方法；對(duì)此稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，包絡(luò)譜雖然能勉強(qiáng)提取到 51.3 Hz 的特征頻率，但是其倍頻成分均被淹沒(méi)，且存在大量干擾譜線，并不能確定信號(hào)故障類型。由此可見，筆者所提方法在去噪和特征增強(qiáng)方面較 OMP 算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖5 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.5 Sparse reconstructed signals obtained by applying OMP algorithm

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)條件

為了再次驗(yàn)證所提方法的有效性，采用實(shí)測(cè)的故障軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。采用型號(hào)為 NTN-N204的圓柱滾子軸承，利用線切割技術(shù)分別在軸承內(nèi)圈和外圈上加工深度為 0.05 mm、寬度為 0.3 mm 的凹槽，將此故障軸承安裝在圖 6 所示旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障模擬試驗(yàn)臺(tái)，并利用固定在軸承座 CH1 處的加速度傳感器采集軸承振動(dòng)信號(hào)。試驗(yàn)過(guò)程中，設(shè)定電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為 1 300 r/min，采樣頻率為 100 kHz，該軸承的理論內(nèi)、外圈特征頻率分別為 145.8、86.3 Hz。

圖6 軸承故障模擬試驗(yàn)臺(tái)Fig.6 Bearing failure simulation test platform

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

將上述采集到的軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)截取 0.12 s，作為試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行研究。軸承外圈原始信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 7 所示。

圖7 軸承外圈原始信號(hào)Fig.7 Original signals of bearing outer ring

從圖 7 可以看出，該原始信號(hào)含有大量噪聲和諧波干擾，波形比較雜亂，沖擊成分周期性不明顯。對(duì)其進(jìn)行包絡(luò)分析，只能提取出接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在干擾譜線 18.3 Hz，頻譜能量集中在低頻區(qū)段，轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒(méi)在干擾成分中，無(wú)法識(shí)別軸承故障類型。

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對(duì)上述采集到的信號(hào)進(jìn)行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b＝0.52，得到稀疏重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，原始振動(dòng)信號(hào)中的高頻噪聲被有效剔除，稀疏效果好；對(duì)稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，從包絡(luò)頻譜圖中能夠較為清楚地辨認(rèn)出 85.5、170.9、256.3、341.8 和 427.3 Hz 等頻率成分，與軸承理論外圈故障特征頻率 86.3 Hz 的 1～5 倍頻非常接近，說(shuō)明軸承外圈出現(xiàn)了故障。可見，非凸正則化軸承故障診斷方法能夠有效提取滾動(dòng)軸承微弱故障特征，實(shí)現(xiàn)軸承故障狀態(tài)識(shí)別。

圖8 軸承外圈改進(jìn)算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.8 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying improved algorithm

同樣采用 OMP 算法對(duì)采集到的軸承外圈信號(hào)進(jìn)行處理，得到稀疏重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 9 所示。從圖 9 可以看出，原始振動(dòng)信號(hào)中的噪聲被剔除的同時(shí)，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構(gòu)信號(hào)中恢復(fù)一部分故障沖擊成分，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；對(duì)此稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，得到如圖 9(b)所示的包絡(luò)頻譜圖，雖然提取出了接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，但是轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒(méi)在干擾成分中，并且存在干擾譜線 18.3 Hz，無(wú)法有效診斷軸承故障。可見，基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法與 OMP 算法相比，有著更好的去噪能力和特征增強(qiáng)能力。

圖9 軸承外圈 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.9 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying OMP algorithm

同樣將試驗(yàn)中采集到的軸承內(nèi)圈故障信號(hào)截取0.12 s，作為試驗(yàn)對(duì)象開展研究。軸承內(nèi)圈原始信號(hào)如圖 10 所示，時(shí)域圖的波形雜亂，沖擊成分被背景噪聲淹沒(méi)，沖擊成分周期性不明顯。這可能是由于故障尺寸較小，與噪聲成分相比能量較微弱。對(duì)其進(jìn)行包絡(luò)分析處理，只能提取出接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在較多干擾譜線，轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒(méi)在干擾成分中，無(wú)法識(shí)別軸承故障狀態(tài)。

圖10 軸承內(nèi)圈原始信號(hào)Fig.10 Original signals of bearing inner ring

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對(duì)上述試驗(yàn)采集的內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b＝0.84，得到稀疏重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 11 所示。由圖 11 可以看出，此方法能夠有效消除原始信號(hào)中的噪聲干擾，稀疏效果好。對(duì)稀疏重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析，其中 42.7、146.5 和 293.0 Hz 等頻率成分被提取出來(lái)，這分別與軸承轉(zhuǎn)頻的 2倍頻，軸承理論內(nèi)圈故障頻率 145.8 Hz 的 1、2 倍頻非常接近。雖然干擾譜線仍然存在，但是能夠辨認(rèn)出此時(shí)軸承內(nèi)圈發(fā)生了故障。軸承轉(zhuǎn)頻的 2 倍頻被提取出來(lái)的原因可能是試驗(yàn)裝置存在缺陷 (例如結(jié)構(gòu)未對(duì)中)。

圖11 軸承內(nèi)圈改進(jìn)算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.11 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying improved algorithm

為了進(jìn)一步驗(yàn)證筆者所提方法的優(yōu)勢(shì)，同樣采用OMP 算法對(duì)采集到的軸承內(nèi)圈信號(hào)進(jìn)行處理，得到稀疏重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 12 所示。由圖 12 可以看出，原始振動(dòng)信號(hào)中的噪聲被剔除的同時(shí)，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構(gòu)信號(hào)中恢復(fù)一部分故障沖擊，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；雖然包絡(luò)譜提取出了 42.7 和 146.5 Hz 頻率成分，但是干擾譜線的能量占據(jù)主導(dǎo)地位，故障特征頻率的幅值較小，無(wú)法識(shí)別軸承故障類型。可見非凸正則化軸承故障診斷方法較OMP 算法在去噪和特征增強(qiáng)方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

圖12 軸承內(nèi)圈 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號(hào)Fig.12 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying OMP algorithm

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)利用基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法對(duì)復(fù)雜工況下軸承微弱故障信號(hào)進(jìn)行提取，以仿真加噪信號(hào)和滾動(dòng)軸承實(shí)際信號(hào)作為試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明：基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法顯著消除了原始信號(hào)中的噪聲干擾，有效增強(qiáng)了微弱故障特征，并實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)信號(hào)微弱故障的準(zhǔn)確診斷。該方法在基于l1范數(shù)正則化的傳統(tǒng)稀疏模型基礎(chǔ)上增加了對(duì)數(shù)懲罰函數(shù)，增強(qiáng)了微弱故障特征，解決了傳統(tǒng)稀疏表示模型難以準(zhǔn)確提取微弱故障特征的問(wèn)題。引入 ADMM 算法，解決了加入非凸懲罰函數(shù)后目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜，無(wú)法使用單一優(yōu)化算法求解的問(wèn)題。