雙頻振動(dòng)系統(tǒng)下空心軸下料壽命模型?

化春鍵， 任皓靖， 陸云健

（1.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 無(wú)錫，214122） （2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 無(wú)錫，214122）

引 言

復(fù)合頻率振動(dòng)低應(yīng)力加載技術(shù)通過(guò)復(fù)合頻率的疊加振動(dòng)加載。低頻加載振幅較大，形成疲勞裂紋；高頻加載頻率高，振幅較小，使疲勞裂紋持續(xù)擴(kuò)展［1-2］，最終能夠加快疲勞裂紋的擴(kuò)展速率，提高斷面質(zhì)量。將此技術(shù)應(yīng)用于下料，可實(shí)現(xiàn)低周精密可控性下料，解決了常規(guī)下料方法裂紋擴(kuò)展速率低、斷面質(zhì)量差等問(wèn)題［3-4］。空心軸常用于軸類(lèi)構(gòu)件的輕量化設(shè)計(jì)，在工程實(shí)際中應(yīng)用越來(lái)越普遍［5］。基于文獻(xiàn)［2］提出的復(fù)合頻率振動(dòng)低應(yīng)力加載技術(shù)，筆者研究了復(fù)合頻率振動(dòng)下空心軸的下料壽命模型。復(fù)合頻率振動(dòng)低應(yīng)力加載技術(shù)需要建立斷裂過(guò)程的下料壽命模型，在小范圍屈服的條件下，SIF 是研究此技術(shù)的一個(gè)重要參數(shù)［6-7］。

針對(duì)復(fù)合頻率振動(dòng)下預(yù)置V 形切口的空心軸下料壽命、幾何參數(shù)及加載狀態(tài)之間的關(guān)系，筆者推導(dǎo)出復(fù)合頻率振動(dòng)下的帶V 形切口的空心軸下料裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算式，在此基礎(chǔ)上，建立雙頻振動(dòng)系統(tǒng)下帶V 形切口的空心軸下料壽命與其幾何參數(shù)的模型，分析得到影響規(guī)律，并設(shè)計(jì)試驗(yàn)驗(yàn)證了該規(guī)律。

1 帶V 形切口的空心軸裂紋尖端的SIF 值計(jì)算

如圖1 所示，帶V 形切口的空心軸的幾何參數(shù)包括切口深度h、張角α、切口處曲率半徑ρ、V 形切口處截面半徑a、空心軸外徑b、空心軸內(nèi)徑d以及切口間距L。

圖1 帶V 形切口的空心軸幾何參數(shù)示意圖Fig.1 Diagram of geometric parameters of V-groove hollow shaft

文獻(xiàn)［8］分析了空心軸V 形切口根部處于三相應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，其應(yīng)力場(chǎng)分布［8］為

其中：σx，σy，σz分別為空心軸V 形切口根部x，y，z方向上的應(yīng)力；r，θ為空心軸V 形切口根部坐標(biāo)系的極坐標(biāo)；μ為泊松比；τ為剪切應(yīng)力。

文獻(xiàn)［9］根據(jù)V 形切口根部的應(yīng)力場(chǎng)分布公式，推導(dǎo)其幾何形狀系數(shù)公式，修正后為

在本加載狀態(tài)下，空心軸主要為張開(kāi)型裂紋狀態(tài)。式（2）中，無(wú)量綱值G（b，d，h）為具有環(huán)形裂紋空心軸的修正系數(shù)，G（b，d，h）的取值［10］如圖2 所示。圖2 中，橫坐標(biāo)為空心軸V 形切口深度與軸壁厚之比為h/（b?d），其為無(wú)量綱值，針對(duì)的是平均半徑與壁厚之比不同的空心軸（b+d）/2（b?d）。

圖2 具有環(huán)形裂紋空心軸修正系數(shù)取值Fig.2 Correction coefficient value of hollow shaft with annular crack

空心軸V 形切口處SIF［11］可以表示為

其中：σ為空心軸V 形切口處所受名義應(yīng)力值。

在空心軸V 形切口處張開(kāi)型裂紋狀態(tài)下，裂紋沿著V 形切口所在截面垂直中性軸的方向擴(kuò)展。

2 復(fù)合頻率振動(dòng)下空心軸V 形切口尖端處SIF 值計(jì)算

在復(fù)合頻率振動(dòng)下，空心軸V 形切口尖端處所受應(yīng)力較為復(fù)雜，無(wú)法直接代入式（3）。筆者通過(guò)應(yīng)力譜的編制，將其所受的復(fù)雜應(yīng)力轉(zhuǎn)化為多級(jí)等幅應(yīng)力。本研究搭建的雙頻振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械部分［2］組成如圖3 所示。機(jī)械部分由2 個(gè)變頻電機(jī)分別給2 對(duì)偏心塊提供不同頻率的轉(zhuǎn)速。小變頻電機(jī)的減速比為2∶1，大變頻電機(jī)的減速比為1∶1。一對(duì)小偏心塊產(chǎn)生高頻載荷，一對(duì)大偏心塊產(chǎn)生低頻載荷。2 對(duì)上下對(duì)稱(chēng)排列的大、小偏心塊通過(guò)激振體為空心軸提供復(fù)合頻率振動(dòng)的加載。圖4 為空心軸振動(dòng)示意圖，空心軸一端在夾具上固定，激振體帶動(dòng)空心軸另一端在導(dǎo)軌上做復(fù)合頻率的振動(dòng)。

圖3 雙頻振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械部分Fig.3 Dual-frequency vibration device mechanical part

圖4 空心軸振動(dòng)示意圖Fig.4 Hollow shaft vibration diagram

空心軸受到單頻振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

其中：m為激振體的質(zhì)量；m1為小偏心塊的偏心質(zhì)量；ω1為小偏心塊轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；d1為小偏心塊的偏心距；c為系統(tǒng)阻尼；k為系統(tǒng)剛度。

瞬態(tài)解在本系統(tǒng)中沒(méi)有意義，故不做討論，僅需要討論穩(wěn)態(tài)解。

振幅歷程公式為

筆者選擇線(xiàn)性遞減單頻振動(dòng)的加載方式，單頻振動(dòng)下的線(xiàn)性遞減變頻曲線(xiàn)如圖5 所示。振幅檢測(cè)部分采用加速度傳感器，配合多功能數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和壓電傳感器，確保得到的振幅數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。在線(xiàn)性遞減的單頻加載方式下，通過(guò)振幅檢測(cè)部分得到鋁合金空心軸的振幅歷程圖，如圖6 所示。

為了得到幅頻曲線(xiàn)，在Matlab 中將振幅歷程圖進(jìn)行傅里葉變換，得到幅頻曲線(xiàn)如圖7 所示。

圖5 單頻振動(dòng)下的線(xiàn)性遞減變頻曲線(xiàn)Fig.5 Linear decreasing frequency conversion curve under single frequency vibration

圖6 單頻振動(dòng)下鋁合金空心軸的振幅歷程圖Fig.6 Amplitude history diagram of aluminum alloy hollow shaft under single frequency vibration

圖7 振幅歷程圖的傅里葉變換幅頻曲線(xiàn)Fig.7 Fourier transform of amplitude history diagram

由于本研究振幅的均值波動(dòng)不大，因而采用波動(dòng)中心法來(lái)編制適用于本研究系統(tǒng)的一維振幅譜。為了便于統(tǒng)計(jì)，采用各級(jí)振幅組中值來(lái)表示其振幅幅值，并用小波處理濾掉不產(chǎn)生疲勞損傷的次要振幅。本研究小波處理的門(mén)檻值設(shè)為0.75 mm，得到雙頻振動(dòng)系統(tǒng)一維多級(jí)振幅譜如表1 所示。

根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識(shí)，空心軸V 形切口尖端處所受名義應(yīng)力關(guān)系式為

其中：M為空心軸所受力矩；l為受力力臂的長(zhǎng)度，與本研究設(shè)備下空心軸的加載位置有關(guān)；EI為截面的抗彎剛度；x為空心軸的振幅，即雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的振幅。

表1 雙頻振動(dòng)系統(tǒng)一維多級(jí)振幅譜Tab.1 One-dimensional multi-level stress spectrum of dual-frequency vibration system

式（6）中，令φ=8EI/π(al)3，將一維多級(jí)振幅譜轉(zhuǎn)化為V 形切口尖端處所受一維多級(jí)應(yīng)力譜。

V 形切口尖端處所受等效的等幅名義應(yīng)力公式［12］為

將上述方法推廣到復(fù)合頻率振動(dòng)的加載方式，以雙頻為例，當(dāng)棒料受到雙頻振動(dòng)時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，雙頻振動(dòng)下的振幅歷程公式為

雙頻振動(dòng)加載選擇線(xiàn)性遞減的低頻振動(dòng)，并疊加恒頻的高頻振動(dòng)加載方式，雙頻振動(dòng)下的疊加變頻曲線(xiàn)如圖8 所示。通過(guò)振幅檢測(cè)設(shè)備，得到雙頻振動(dòng)下鋁合金空心軸的振幅歷程，如圖9 所示。

同理，將振幅歷程圖轉(zhuǎn)化為一維多級(jí)振幅譜，再將一維多級(jí)振幅譜轉(zhuǎn)化為V 形切口處所受一維多級(jí)應(yīng)力譜，最后得到雙頻振動(dòng)下V 形切口處所受等效的等幅名義應(yīng)力。當(dāng)同一種類(lèi)別的裂紋處于若干個(gè)載荷共同作用的情況下，可以先求解得到各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的SIF，將各個(gè)載荷作用下的SIF 值進(jìn)行相互疊加［13］，獲得多種類(lèi)型載荷共同作用下的SIF 值。復(fù)合頻率振動(dòng)下空心軸的V 形切口處SIF值計(jì)算公式為

圖8 雙頻振動(dòng)下的疊加變頻曲線(xiàn)Fig.8 Superposition conversion frequency curve under dual frequency vibration

圖9 雙頻振動(dòng)下鋁合金空心軸的振幅歷程Fig.9 Amplitude history diagram of aluminum alloy hollow shaft under dual frequency vibration

3 復(fù)合頻率振動(dòng)下帶V 形切口的空心軸下料壽命模型

筆者選用基于低周疲勞行為和Ⅰ型裂紋尖端RKE（Rice-Kujawski-Ellyin）奇異場(chǎng)，并考慮近門(mén)檻區(qū)短裂紋行為的疲勞裂紋壽命公式［14］為

其中：h0為初始裂紋尺寸；hc為臨界裂紋尺寸；ΔKth為裂紋擴(kuò)展門(mén)檻值；n'為應(yīng)變硬化指數(shù)；σc為屈服應(yīng)力。

將式（3）代入式（10），積分式采用多段插值型數(shù)值積分。由于插值型數(shù)值積分的誤差來(lái)源于對(duì)原式的二次求導(dǎo)，因而劃分段數(shù)足夠多，誤差可以忽略不計(jì)。結(jié)合式（2）和式（9），得到基于雙頻振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)合頻率振動(dòng)下的下料壽命模型為

根據(jù)K 判據(jù)［15］，當(dāng)ΔK=ΔKIC，得到下料壽命模型中的斷裂臨界裂紋尺寸（積分上限）hc為

其中：ΔKIC為斷裂韌度；式（11）中第n+1 段的裂紋深度hn+1即為式（12）中臨界裂紋尺寸hc。

式（11）建立了復(fù)合頻率振動(dòng)下下料壽命與帶V形切口空心軸的幾何參數(shù)以及加載狀態(tài)之間的模型。可以看出：下料壽命與復(fù)合頻率振動(dòng)下V 形切口尖端處所受等效名義應(yīng)力幅值有關(guān)，復(fù)合頻率振動(dòng)下V 形切口尖端處所受等效名義應(yīng)力是各個(gè)單一頻率振動(dòng)下V 形切口尖端處所受等效名義應(yīng)力的累加，由于累加后的數(shù)值一定會(huì)更大，因而復(fù)合頻率的振動(dòng)加載方式會(huì)大幅縮短下料壽命，加速裂紋的擴(kuò)展。由于空心軸的彈性模量E與V 形切口尖端處所受名義應(yīng)力正相關(guān)，因而模型中彈性模量E與下料壽命也是正相關(guān)。

在模型中，b-d為空心軸壁厚，這里b取12 mm，隨著d的減小，空心軸壁厚會(huì)增大，結(jié)合圖2，G（b，d，hi）會(huì)減小，因而下料壽命會(huì)增大。V 形切口張角α越小，下料壽命越短，這對(duì)整個(gè)模型的數(shù)值結(jié)果影響極小。由于V 形槽的張角對(duì)槽底應(yīng)力集中的影響程度很小，故一般V 形槽夾角選取90°，以適應(yīng)棒料 兩 端 車(chē) 削45°倒 角 的 需 求［16］。h對(duì) 應(yīng)V 形 切 口 深度，以b=6 mm，d=3.6 mm，ρ=0.2 mm，α=90°的空心軸為例，分析了此因素對(duì)模型的影響，此時(shí)空心軸平均半徑與壁厚之比為2，得到V 形切口深度對(duì)模型影響關(guān)系，如圖10 所示。

由圖10 可知，預(yù)置的切口深度越深，Y值會(huì)越大，因而下料壽命越短。為了分析切口處曲率半徑ρ對(duì)整個(gè)模型的影響，同樣以b=6 mm，d=3.6 mm，h=1 mm，α=90°的空心軸為例，得到V 形切口處曲率半徑對(duì)模型的影響關(guān)系，如圖11 所示。

圖10 V 形切口深度對(duì)模型影響關(guān)系Fig.10 Relation chart of effect of V-shaped incision depth on model

圖11 V 形切口處曲率半徑對(duì)模型影響關(guān)系Fig.11 Relation chart of effect of curvature radius at the Vshaped incision on model

由圖11 可知，隨著切口處曲率半徑增大，Y值減少，因而下料壽命變長(zhǎng)。hn+1（hc）為臨界裂紋尺寸，臨界裂紋尺寸受斷裂韌度ΔKIC、加載大小以及帶V 形切口空心軸的幾何形狀修正系數(shù)G(a/b)α影響，隨著偏心塊級(jí)數(shù)增大，會(huì)使下料時(shí)臨界裂紋尺寸提前到來(lái)。

4 試 驗(yàn)

為了驗(yàn)證壽命模型規(guī)律的正確性，筆者設(shè)計(jì)了雙頻振動(dòng)下料試驗(yàn)。綜合考慮低應(yīng)力加載技術(shù)［17］和雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際情況，選用45 鋼和鋁合金空心軸，b取6 mm。通過(guò)雙頻振動(dòng)系統(tǒng)的偏心塊級(jí)數(shù)，確立雙頻振動(dòng)加載大小，偏心塊級(jí)數(shù)根據(jù)裂紋萌生條件確定［3］。

對(duì)不同幾何參數(shù)的帶V 形槽空心軸進(jìn)行振動(dòng)加載試驗(yàn)。由于試驗(yàn)中頻率控制曲線(xiàn)不變，因而下料壽命可近似看作下料時(shí)間。通過(guò)試驗(yàn)得到幾何參數(shù)不同的空心軸下料時(shí)間，如圖12 所示。

從圖12（a）可以看出，對(duì)于45 鋼和鋁合金空心軸，相比于單頻振動(dòng)加載方式，雙頻振動(dòng)下的下料時(shí)間會(huì)大幅減少，不論單頻還是雙頻的加載方式，45 鋼空心軸下料時(shí)間都大約為鋁合金的3 倍。從圖12（b）可以看出，其他幾何參數(shù)不變，隨著空心軸V 形切口深度的增加，下料時(shí)間會(huì)逐漸減少，且對(duì)于V 形切口處張角分別為60°，75°，90°，105°和120°的空心軸來(lái)說(shuō)，下料時(shí)間會(huì)隨著V 形切口處張角的增大而延長(zhǎng)。從圖12（c）可以看出，下料時(shí)間與空心軸的壁厚和內(nèi)徑也有關(guān)系，其他幾何參數(shù)不變，當(dāng)空心軸壁厚分別設(shè)為1.4，1.8，2.2，2.6，3.0 和3.4 mm 時(shí)，下料時(shí)間與空心軸壁厚為正相關(guān)的關(guān)系。綜上可知，上述試驗(yàn)結(jié)果與筆者下料壽命模型分析得到的規(guī)律一致。

圖12 幾何參數(shù)不同的空心軸下料時(shí)間Fig.12 Cutting time of hollow shaft with different parameters

5 結(jié) 論

1）將復(fù)合頻率振動(dòng)下空心軸的V 形切口尖端處所受的復(fù)雜應(yīng)力轉(zhuǎn)化為一維多級(jí)應(yīng)力譜，通過(guò)式（7）轉(zhuǎn)化為V 形切口尖端處所受等效的等幅名義應(yīng)力。

2）通過(guò)復(fù)合頻率振動(dòng)下V 形切口尖端處SIF值與空心軸幾何參數(shù)之間關(guān)系，建立復(fù)合頻率振動(dòng)下的下料壽命模型，分析該模型規(guī)律并設(shè)計(jì)試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)結(jié)果與模型規(guī)律一致。