把握學科本質 積淀數學素養

陳鳳偉

【摘?要】進行“數的認識”教學，一以貫之的核心概念是位值、十進位值制，培養的關鍵能力是數感、符號意識。“千的認識”一課，圍繞“1000究竟什么樣”展開了對“千”的數學化的認識。從1000豐富的現實原型再現，到去掉具體的量抽象出數，認識千的單位、位值，千以內數的復合表示和關系，再返回生活中發現、確認數學化的1000。學生經歷了從感性具體到理性具體，從認識數量、數量之間的關系，到理解抽象出的數、數之間的關系，返回現實加以運用，這是一個完整的數的認識過程。數學核心素養的發展需要這樣的過程積淀。

【關鍵詞】數的認識 符號意識 位值 數感

小學階段學生對數的認識經歷兩次重要的突破。第一次是從感性具體到理性具體，也就是從具體的情境、數量中抽象出數，用符號進行表示，在認識數量之間關系的基礎上，理解抽象出來的數之間的關系，其核心是十進位值制。第二次是從理性具體到理性抽象，也就是用字母表示數，這是在數的抽象性基礎上進行概括性的認識，是代數思維的起始。

“千的認識”一課正好具有承上啟下的重要作用。它是大數理性具體認識的開始，教材中出現了十進位制的數位順序表，是對數的抽象、數位、十進位值制的理解與升華，為后續學生學習數的再認識和數域的擴展奠定基礎。

基于此，教師可以在教學中沿著“十進位值制”本質概念的認知進程，引導學生從再現1000豐富的現實原型，到去掉量的具體情境抽象出數，認識千的單位、位值、千以內數的復合表示和關系，再返回生活中發現、確認數學化的1000，并加以運用。

一、認識“1000”的影子

上課了，教師先點明本節課學習的重點：“這節課我們繼續認識數，認識1000?！比缓髥枌W生是否認識1000，學生們異口同聲地回答：“認識！”

接著，教師讓學生說說他們認識的1000是什么樣的，學生們有點懵，有的說1000克，有的說1000斤。

教師追問：“1000克是什么？”

學生遲疑了一下，補充說：“2袋鹽吧？”

“那1000斤呢？”

“就是好多好多東西唄！”

教師問：“1000大不大？”

學生肯定地回答：“大！”

“那2袋鹽多不多？”

學生猶豫了。

這時，教師說：“1000究竟什么樣，我們還需要認識嗎？”

學生們紛紛點頭。

教師說：“那我們就一起來看看1000究竟什么樣，和你先前認識的1000有什么不同?！?/p>

有效的教學建立在對學生認知發展水平和已有知識經驗充分了解的基礎之上。從上述對話可以看出，學生脫口而出的“千”是聞其名勝于知其義。學生在“百”的認知基礎上，對“千”有模糊的經驗，直覺感知“千”是一個挺大的數。也有學生知道“千與百”的十進關系。學生對“千”的數學化認知，需要從模糊經驗轉為清晰的數學化理解，需要從帶有情境的量轉為抽象數的關系的理解，需要建立十進位值制的概念。

二、經歷“數”源于數的活動

怎樣開始認識數呢？學生有元認知，“數”從數開始。

教師拿出一把小棒，問：“有多少？”

學生很自然地脫口而出：“10！”

“眼見才能為實，一起數一數?！彪S著教師手中小棒一根根地亮相，學生順暢地數起來，到第9根的時候，“10”的讀音已經從學生口中呼之欲出，眼見沒有第10根，學生急剎車般停了下來。

這時，教師亮出第10根小棒，問：“是不是還想再添1根？”

學生迅速回應：“是！”

教師接著問：“給9添1就是10，這個過程你能表示出來嗎？”

接著，教師借助計數器讓學生演示“給9添1”“滿十進一”的動態過程，并刻意把9顆珠再添1顆，個位上滿了要向“十位進一”的撥珠動作分解開，讓學生經歷清晰地數數、進位、位置、位值的過程。

再數，改變單位，十個十個數到90，再添一個10會怎樣？

帶領學生重溫“滿十進一”。

繼續數，教師提出：“能‘一百一百地數嗎？在百位上數到最大的數?！?/p>

學生在計數器上撥出了900。

接下來怎么數呢？

教師把9、90、900合在一起，在計數器上表示出999，問：“此時添上1是多少？”

學生幾乎是搶著說：“1000！”

教師：“怎么做的？把過程在計數器上表示出來，看看你撥出的1000什么樣?！?/p>

學生在計數器上做了三次“滿十進一”后出現了“1000”。

學生真的會數數嗎？“歌謠式”的數數學生上學之前就會，但是數學課上要經歷數學化的數數，這是建立數概念的基礎。四次數數的核心是“一一對應”的數學思想、位置原則、十進制的關系。學生在看似簡單、實則形象的計數器操作活動中，建立起十進位值制的直觀模型?！皾M十進一”的關系、數位概念，“以一當千”的位值概念、符號化意識，都在學生手指撥動的小珠子中跳躍呈現。

三、1000究竟什么樣

當計數器上出現了千位上的1顆珠子，出現了符號化的“1000”，學生就接受這個“1000”了嗎？不是的。史寧中教授在《基本概念與運算法則》中表明，建立數概念，要從現實中抽象出數，將數與現實建立聯系，再在背景中運用數，感受數量的大小。

“1000究竟什么樣？想看看嗎？”教師問。

“當然想！”

學生帶著上課前對千的感知經驗，又經歷了計數器上數出1000的過程，“1000究竟什么樣？”他們真的想把之前的、當下的，還有想知道的聯系起來。

接下來，教師給學生呈現了什么樣的“1000”呢？1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元、1000個小方塊組成的大正方體。

這些有具體背景數量的“1000”，帶給學生的感覺和所起的作用不盡相同。

小棒是學生最熟悉、最常用的數數、計數、計算學具，所以教師有意地呈現出1根、10根、100根，10個100根組成了1000根。

1000人的效果是怎樣的呢？操場上1000名同學的場景和1000根小棒帶給學生的視覺沖擊完全不同，和他們先前對“千很大、很多”的經驗直覺是吻合的。

1000字呢？由20個字的古詩疊加呈現，在學生有興趣的誦讀中，又刺激了一下他們寫小作文的切身體驗，100字一篇要寫10篇，200字一篇呢？5篇。1000字是多還是不多呢？肯定摻雜了復雜的情感。這可能有利于學生學會在具體的場景下用數進行表達和交流吧！

以100張紙為標準，讓學生帶著視覺記憶觀察500張紙、1000張紙。這是單位的一種形象化，是在培養學生數學的眼光，在建立標準的意識。

“1000元和1000張紙交換一下可以嗎？”教師幽默地詢問。

學生趕忙說：“不換！”“不劃算！”“1000元可以買很多這樣的紙！”

教師再次發問：“1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元都不一樣，但是有什么是相同的？”

“數相同！”學生齊聲回應。

數的抽象教學水到渠成。

人類發明“十進位”經歷了漫長的抽象過程，學生不可能在時間有限的課堂上完全經歷數的抽象過程，教師必須借助一些具體的、生動的情景，讓學生切實地、全方位地感悟，不僅要讓學生感悟數是對數量的抽象，還應當讓學生感悟抽象出來的數與數量是有聯系的。同樣是1000，1000字和1000人是不同的，而1000元和1000張紙也是“不能換”的。但是這些不一樣的背后，卻有著本質的相同，這就是數。

數量還不能作為數學研究的對象，數學研究的對象應當是比數量更為一般的，這就是數量的關系，即多與少。由數量關系再抽象出拋開情境的數，數的關系是對數量關系的抽象，抽象的結果就是自然數。

正如皮亞杰所說：數（自然數）不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關系，表明的是一個物體在一個序列中的位置，以及這一組物體中包含了多少個物體，這種關系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動在動作中體驗、發現、創造的。

四、建立模型中培養數感

完整的數的認識需要兩個過程，由數量→數（抽象），由數→數量（數感）。這是因為數學研究的是一般的規律性，從數量到數之后，再反過來把一般性的規律性結果應用到具體的事物中。

接下來出場的是蒂娜絲方塊、點子圖、數尺。教師借助這些抽象的數學化模型，繼續深化學生對1000以內數的認識，培養學生的數感。

教師：“搭一個這樣的大立方體需要多少個小立方塊兒？”

問題一提出，學生就想到：“可能是1000吧？”

教師：“怎么知道是不是1000呢？”

數一數。

正在學生定睛數的時候，大立方體打散啦?。▓D1）

“現在怎么數呢？”教師問。

“按標準數！”學生建議。

于是教師擺出以10個為標準的動態圖。還是看不清！學生建議“一百一百地擺”。

看，先前的經驗，在這里得到運用了。

看到1000個小方塊搭成了大正方體后，計數器上的1000再次出現（圖2），教師問：“1000個小方塊，在計數器上就用這一顆珠子表示，你們服氣嗎？”學生們說：“服氣！”到這還沒有結束，教師繼續在計數器上拔出1111，并問道：“同樣的珠子，其他三顆能表示1000嗎？”學生回答：“不能，因為只有在千位上才能代表1000。”教師附和道：“哦，位置很重要！”

至此，學生形成了1000的符號化意識，明確了位值、數位間的十進關系。

當密集的點子圖出現時，學生立刻建議圈圈按標準數。

數尺的出現，教師做了一個小鋪墊：“個、十、百、千是計數的標準，把這些標準用一把尺子呈現可以嗎？”（圖3）

在這把神奇的尺子上，不僅可以找到個、十、百、千，還可找到1000以內的任意數。數的關系由眼前的尺子，投入學生的頭腦中，形成對數的感覺。

教師給學生布置作業，到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的數，電視臺的電視塔有多高，天安門廣場有多寬，故宮里究竟有多少間房子，1000粒大米做飯夠吃嗎，等等。

帶著對1000的感覺，對數有分析的意識、判斷的能力，用數學的眼光看，用數學的頭腦思考，用數學的語言表達與交流。這就是落在學生身上的數學學科核心素養。

數學學科的本質不僅包括數的概念的建立和理解，還包括思想方法的把握，以及數學學科特有的學科思維、學科品格。所以，教師要把基于數學本質的教學作為發展與培養學生數學學科核心素養的著力點。

有什么樣的思維就有什么樣的行為，發展學生的學科核心素養，教師要具有發展性的思維，然后有先提升自己學科素養、專業素養的意識，將以學科育全人的理念落實到教學的行為中。有什么樣的行為就有什么樣的狀態，教師有什么樣的狀態就會帶給學生什么樣的感受，學生有什么樣的感受就有什么樣的未來。

（作者系北京市朝陽區實驗小學潤澤分校校長、正高級教師、特級教師）

責任編輯：胡玉敏

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