任意階高運算恒定性分抗逼近電路
——標度格型級聯雙口網絡

張月榮 袁曉

(四川大學電子信息學院, 成都 610065)

標度拓展經典負半階分抗逼近電路, 可實現具有任意分數階微積算子運算功能的分抗逼近電路, 但犧牲了運算恒定性.從電路網絡的角度分析具有恒定運算性能的負半階Carlson 分形格分抗逼近電路.根據標度分形格分抗逼近電路的等效無源雙口網絡, 探討該雙口網絡右側端口的運算有效性, 設計具有高運算恒定性的任意階標度分形格分抗逼近電路.結合負實零極點對基元系統的零極點分布及其局域化特性, 闡述具有任意實數階微積算子運算功能的標度分形格分抗逼近電路運算振蕩現象的物理本質, 并從理論上分析有效抑制頻域運算振蕩現象的方法.結合對稱阻容T 型節電路優化理論及方法, 對任意階對稱格型級聯雙口網絡的頻域逼近性能進行優化, 獲得具有高逼近效益的任意階標度分形格分抗逼近電路.具有低振蕩幅度的任意階對稱格型級聯雙口網絡為高運算恒定性的分抗逼近電路設計及應用提供了一種新方法及思路.

1 引 言

分數階微積分適用于描述自然界中大多數非線性, 非整數維物理現象及過程.由于階次取值更加靈活, 分數階系統更能準確刻畫非線性問題及其物理本質, 例如電化學分析[1,2]、擴散過程[3–5]、信號處理[6–8]等.分數階微積分廣泛應用于非線性控制系統[9,10]、分數階混沌系統[11,12]及神經網絡[13]等各種非整數維物理過程的研究.分數階微積分用于擴散、概率、粘彈性動力學、遺傳結構等非整數維物理現象的建模分析等.分數階電路元件或分抗逼近電路是實現分數階電路與系統的關鍵組成部分,現有的非整數階分抗逼近電路幾乎都具有不恒定的運算性能, 這勢必會影響分數階電路等物理系統的理論與應用研究的真實性[14].

最簡單的具有兩根引出端線的分數階元器件稱為分抗元, 早期也曾稱恒相元[15].理想 μ 階分抗元的阻抗函數為

其中s 表示復頻率變量也稱運算變量, F(μ)為理想分抗元的集總特征參量, 簡稱分抗量.理想分抗元的具體實現還存在困難, 目前常用的方法是設計一個物理可實現的有理阻抗函數序列 { Zk(s)} 逼近理想分抗元的阻抗函數 I(μ)(s).即

其中k 表示分抗逼近電路的規模或迭代逼近次數,nk和 dk分別為阻抗函數 Zk(s) 的分子分母多項式的次數, βki和 αki分別表示分子分母多項式系數.現有的經典分抗逼近電路如負半階Oldham 分形鏈分抗逼近電路[16,17], 任意階梯形分抗逼近電路[18],Liu-Kaplan 分形鏈分抗逼近電路[19]等, 都能在一定頻段近似實現理想分抗的運算性能[20].這些電路都來自于自然界、科學與實驗研究、工程實踐中的各種物理現象與過程的分析和電路建模.

為便于數學上分析分抗逼近電路、分數階系統的運算性能和逼近性能, 將阻抗函數 Zk(s) 進行歸一化處理.對于 R C 分抗逼近電路取歸一化復頻率變量 w =τs , 其中 τ =RC 表示時間常數.對(2)式中的 Zk(s) 進行歸一化, 得到歸一化阻抗函數

為便于頻域特征分析,取歸一化復頻率變量w=j10?,其中j=, ?∈R 表示歸一化頻率指數變量, 簡稱頻率變量.將 w =j10?代入歸一化阻抗函數 yk(w) , 得到幅頻、相頻、階頻、F 頻特征函數分別為:

1960 年, Carlson 在研究航空器的線性自適應伺服控制系統時, 為使得控制系統的傳輸函數具有半階積分算子運算功能, 提出了負半階Carlson 分形格分抗逼近電路, 算子 s?1/n的正則迭代逼近法.袁曉[14]將Carlson 正則迭代法推廣為任意階分數算子的有理逼近, 何秋燕等[21–23]對其運算性能與逼近性能做了詳細分析.結合標度拓展[24]理論, 負半階Carlson 分形格分抗標度拓展后可獲得具有任意實數階微積算子運算功能的標度分形格分抗逼近電路[25,26], 袁曉[14]、He 等[23]和Pu 等[27]提出任意階格型標度分憶抗元等新概念及模擬電路實現.這些成果表明, Carlson 格型結構的分抗逼近電路具有許多優良的物理性質.分析任意階標度分形分抗逼近電路的頻域特征, 發現標度拓展后的電路在頻域存在固有運算振蕩現象[27].這些典型的任意階分抗的階頻特征曲線、相頻特征曲線都有明顯的振蕩波形.運算特征曲線的波動反映分抗逼近電路的分數階運算性能的不恒定性, 振蕩現象勢必會影響分抗電路的分數算子逼近性能, 在物理應用上造成誤差, 因此必須尋找有效方法克服或抑制分抗逼近電路的運算振蕩現象.

本文針對標度拓展后的任意階格型分抗逼近電路的頻域運算振蕩現象, 發現雙口網絡兩側端口的級聯可以有效抑制運算振蕩幅度.首先分析格型級聯雙口網絡兩側端口的運算有效性, 提出抑制運算振蕩幅度的電路設計新方案.然后分析運算振蕩現象產生的本質原因, 并在理論上提出減小振蕩幅度的解決思路.結合分抗逼近電路的電路優化理論及方法, 設計具有低振蕩幅度、高運算恒定性、高逼近效益的任意階格型標度分抗逼近電路.最后進行總結, 并提出值得進一步研究的有關課題.

2 無源雙口網絡——標度分形格分抗逼近電路

經典Carlson 分形格分抗逼近電路具有負半階運算性能, 歸一化后的Carlson 分形格分抗逼近電路(圖1)是由k 個基本對稱格型節級聯而成的雙口網絡.

圖1 中虛線方框中表示單個基本對稱格型節.根據網絡的傳輸參量矩陣特點, 級聯后的分抗逼近電路仍然是對稱的雙口網絡.該分抗逼近電路的運算特征曲線如圖2.取 k =32 , 當頻率指數?2.5

圖1 有限k 節Carlson 格型分抗逼近電路 (a) 歸一化原型電路; (b) 等效雙口網絡Fig.1.Finite k-stage Carlson Lattice fractance approximation circuit: (a) Normalized prototype circuit; (b) equivalent two-port network.

文獻[25]根據標度拓展理論, 獲得可構建具有任意實分數階微積算子運算性能的標度化的Carlson 分形格分抗逼近電路—標度分形格分抗逼近電路(圖3).圖3 中, α 與 β 分別是電阻遞進比與電容遞進比, 統稱為標度特征參量, σ =αβ 是該電路的標度因子.當 1 <α,β <∞ 時為正比標度拓展, 當 0 <α,β <1 時為反比標度拓展.標度分形格分抗逼近電路歸一化電路原理圖及等效的標度雙口電路網絡如圖3.圖3(b)中分抗元 F1,F2表示分抗逼近電路的迭代次數 k →∞ 時的近似等效理想分抗元, 因此使用區別于相關文獻中的理想分抗元的電路符號.

圖3 中歸一化阻抗 yLk(w) , yRk(w) 分別表示網絡的左右側輸入阻抗函數.由標度分形格分抗逼近電路的結構形式, 其左側分抗的歸一化阻抗函數yLk(w)的代數迭代方程為

該方程為非正則標度方程, 解析求解該方程存在困難.以正比拓展為例, 此時 1 <α,β,σ <∞.在甚低頻條件 0 ←|w|?1 下, 方程(5)可簡化為正則標度方程

并有近似解析解

近似解結果表明左側端口的等效分抗 F1具有任意Liu 氏運算階, 反比拓展時甚高頻條件下具有相同的近似解結果.根據迭代方程(5)可數值求解該分抗逼近電路的阻抗函數 yL(w) 及其運算特征曲線.標度拓展后的單節格型電路是對稱的雙口網絡, 但每一節都是不同參量的無源雙口網絡, 第i 節對稱格型基本節的傳輸參量矩陣

以左側端口為例, k 節標度格形分抗逼近電路雙口網絡的傳輸參量矩陣為

由級聯雙口網絡的傳輸參量矩陣的運算關系, k 節標度格形分抗逼近電路雙口網絡的右側端口傳輸參量矩陣為

圖2 Carlson 分形格分抗逼近電路的運算特征曲線 (a) 階頻特征曲線; (b) 相頻特征曲線Fig.2.Operational characteristic curves of Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit: (a) Order-frequency characteristic curves; (b) phase-frequency characteristic curves.

圖3 k 節標度分形格分抗逼近電路 (a) 歸一化原型電路; (b) 等效雙口網絡Fig.3.k-stage scaling fractal-lattice fractance approximation circuit: (a) Normalized prototype circuit; (b) equivalent two-port network.

圖4 正比拓展時左側端口分抗與右側端口分抗的運算特征曲線( k =12,σ =5 ) (a) 階頻特征曲線; (b) 相頻特征曲線Fig.4.Operational characteristic curves of left-side port fractance and right-side port fractance in direct proportion extension (k =12, σ = 5): (a) Order-frequency characteristic curves; (b) phase-frequency characteristic curves.

圖4 中的運算特征曲線表明, 圖3 中的等效雙口網絡兩側端口都能夠逼近任意階分數算子, 且具有相同的運算階 μLiu和有效運算頻段.當運算階μLiu=?0.5時, 兩側端口分抗的運算特征曲線重合.當運算階時, 兩側端口具有不同的運算特征曲線.選擇不同端口作為輸入端口, 可以得到不同的任意階分抗逼近電路.標度拓展后, 標度分形格分抗 F1的運算特征曲線在有效運算頻段內產生了振蕩.該雙口網絡的右側分抗 F2同樣具有運算振蕩現象, 兩側分抗具有相同的運算振蕩強度與周期 W =|lgσ|.該振蕩現象勢必影響由分抗元件F 構成的分數階電路與系統的運算恒定性.因此, 要提高分數階電路與系統的運算性能, 應當消除或抑制分抗元F 的運算振蕩現象, 從而提高理論分析與實踐測試的真實性與準確性.

3 高運算恒定性對稱格型級聯雙口網絡

3.1 對稱格型級聯雙口網絡

對稱的負半階Carlson 分形格原型分抗逼近電路(圖1)的運算特征曲線在有效運算頻段內無振蕩現象, 運算特征曲線呈現恒定的負半階運算性能.電路的等效雙口網絡具有對稱性, 左右側端口完全等價.標度拓展后的等效雙口網絡(圖3)為非對稱的, 兩側端口雖然能夠有效逼近分數算子, 但在有效頻段內運算特征不恒定.由此自然想到, 如果能夠構成標度拓展后的對稱無源雙口網絡, 是否可以有效抑制頻域的運算振蕩現象, 獲得具有恒定運算性能的任意階分抗逼近電路.

考慮理想情況下, 電路規模 k →∞.根據圖3(b)中的等效雙口網絡, 將兩個相同的標度分形格分抗逼近電路的左側與右側端口級聯, 級聯后新的等效格型雙口網絡如圖5.

圖5 等效格型級聯雙口網絡NFig.5.Equivalent lattice cascaded two-port network N.

根據網絡 N1的傳輸參量矩陣

求出網絡 N2的傳輸參量矩陣為

圖5 中級聯形成的新網絡N 的傳輸參量矩陣為

圖6 標度分形格分抗與新網絡N 的運算特征曲線( k →∞,σ =5 ) (a) 階頻特征曲線; (b) 相頻特征曲線Fig.6.Operational characteristic curves of scaling fractal-lattice fractance and new network N ( k →∞,σ =5 ): (a) Order-frequency characteristic curves; (b) phase-frequency characteristic curves.

圖7 新網絡N 的歸一化電路原理圖Fig.7.Normalized circuit schematic diagram of new network N.

并有

級聯后的新網絡N 是對稱的, 新雙口網絡N 的左右兩側完全等效.負半階Carlson 分形格原型分抗的等效雙口網絡是對稱的, 且具有恒定的運算性能.級聯后的新網絡N 的運算特征曲線如圖6 中紅色曲線, 相比于標度分形格分抗(黑色曲線), 級聯后的新網絡N 的運算振蕩幅度明顯減小.

3.2 數值仿真與實驗結果分析

設計數值仿真實驗, 對比分析新網絡N 的運算性能與標度分形格分抗的運算性能.取k 節標度分形格分抗逼近電路, 級聯后的歸一化電路原理圖如圖7.當初始阻抗 y0(w)=∞ , 電路節數 k =8 時,正比拓展條件下, 由傳輸參量矩陣數值求解的新網絡N 與標度分形格分抗的運算特征曲線對比如圖8.紅色曲線表示新網絡N 的運算特征曲線, 黑色為標度分形格分抗的運算特征曲線.

相比于標度分形格分抗逼近電路的頻域曲線,新網絡N 的頻域運算振蕩現象明顯減弱, 振蕩幅度減小, 有效運算頻段更寬.實驗仿真表明, 通過標度分形格分抗逼近電路的左側與右側級聯, 雖然電路節數增加了一倍, 但可以有效抑制分抗逼近電路的運算振蕩現象, 獲得恒定的頻域運算性能.

4 運算振蕩現象及分抗逼近電路的優化

4.1 運算振蕩現象的理論分析

考慮零點頻率指數與極點頻率指數分別為 ?Zi,?Pi的零極點對組成的一次子系統 Ei(?) , 其歸一化阻抗函數為

定義零極點比

零極點的中心頻率指數(幾何中心頻率指數)

一次子系統的階頻特征函數和相頻特征函數[14]:

圖8 新網絡N 與標度分形格分抗運算特征曲線對比圖( k =8,σ =5 ) (a) 階頻特征曲線; (b) 相頻特征曲線Fig.8.Comparison diagram of operational characteristic curves of new network N and scaling fractal-lattice fractance (k = 8, σ =5): (a) Order-frequency characteristic curves; (b) phase-frequency characteristic curves.

圖9 一次子系統的運算特征曲線Fig.9.Operational characteristic curves of primary sub-system.

由不同零極點指數構成的負實零極點對基元系統的運算特征曲線如圖9.

圖9 中的運算特征曲線表明, 每個一次子系統都具有產生波峰的局域化特性, 頻域的運算振蕩現象正是由零點與極點的共同作用導致的.由運算特征函數表達式(18)式可知, l gαi取值越大, 一次子系統的運算振蕩幅度越大.標度分形格分抗同樣可以看成由多個負實零極點對基元系統 Ei(?) 組成,頻域的運算振蕩現象正是這些一次子系統的集體行為.

從零極點分布的角度分析, 如果能夠減小任意階標度分形格分抗的相鄰零極點指數間隔 l gαi, 理論上便可有效抑制運算振蕩幅度, 實現恒定的運算性能.正比拓展 σ =5 , 迭代逼近次數 k =4 時, 不同運算階下, 標度分形格分抗逼近電路等效雙口網絡的左側端口分抗 F1與右側端口分抗 F2的零極點頻率指數分布如圖10(a).左側端口分抗 F1與新網絡N 的單側端口分抗的零極點指數分布對比如圖10(b).

由圖10(a)可以看出, 標度分形格分抗等效雙口網絡的左側分抗 F1與右側分抗 F2在相同運算階下的極點頻率指數重合, 當運算階 μLiu=?0.5 時,零點頻率指數也重合.時, 零點頻率指數位置不同, 且運算階為 μLiu( ? 0.5<μLiu<0 )時,左側分抗 F1與右側分抗 F2的相鄰兩個零點頻率指數間距與運算階為( ? 1 ?μLiu)時對應的相鄰零點頻率指數間距近似相等.圖10(b)表明, 通過雙口網絡的左右側端口級聯, 新的分抗的零極點頻率指數個數增加了一倍, 從而導致相鄰的零極點頻率指數間距變小.特別是當 μLiu=?0.5 時, 相比于標度分形格分抗, 相鄰零點與極點頻率指數間距減小了一半.因此, 級聯后的新網絡N 的分數階運算振蕩幅度大幅減小.

4.2 對稱格型級聯雙口網絡N 的電路優化

圖10 (a) 正比拓展左側分抗零極點指數(黑色)與右側分抗的零極點指數(綠色)分布對比圖; (b) 正比拓展左側分抗零極點指數(黑色)與新網絡N 的零極點指數(紅色)對比圖Fig.10.(a) The distribution comparison diagram of zero-pole exponents (black) of left-side fractance and zero-pole exponents(green) of right-side fractance in direct proportion extension; (b) the distribution comparison diagram of zero-pole exponents (black)of left-side fractance and zero-pole exponents (red) of new network N.

圖11 新雙口網絡N 的電路優化原理圖 (a) 正比拓展優化; (b) 反比拓展優化Fig.11.Circuit optimization principle diagram of new two-port network N: (a) Optimization in direct proportion extension; (b) optimization in inverse proportion extension.

分析圖8 中對稱標度格型級聯雙口網絡的運算特征曲線, 在有效逼近頻段內, 當頻率指數變量? →0時, 分抗逼近電路的運算特征曲線偏離理想分抗元的運算特征直線.正比拓展時, 有效逼近頻段內較高頻率側的逼近效果有待優化.當運算階?1<μLiu

結合分抗逼近電路的優化理論及方法, 可以獲得高運算恒定性和高逼近效益的任意階分抗逼近電路.對稱阻容T 型節是較為有效的分抗逼近電路優化方法, 圖11 為級聯后的高運算恒定性分抗的電路優化原理圖.

由于格型級聯雙口網絡N 具有嚴格對稱性,右側端口分抗的優化與左側相同.優化原理圖中優化元件的取值如(19)式, (19a)式為正比拓展時的電路優化參數, (19b)式為反比拓展優化參數.以階頻特征曲線為例, 正比拓展和反比拓展下優化前后的新雙口網絡N 的運算特征曲線對比如圖12,實驗結果表明相頻特征曲線具有相同的優化效果.

當運算階 μLiu=?0.5 時, 級聯的低振幅分抗有效逼近帶寬最大, 此時不需優化.當運算階μLiu?0.5 時, 在頻率 w =1 附近(頻率指數 ? =0 )運算特征曲線偏離目標運算階的理想分抗頻域曲線, 此時優化后的階頻特征曲線顯然比優化前的新雙口網絡N 的階頻特征曲線具有更高的逼近效益.

5 實例應用——信號的分數階微分運算

選用負半階對稱格型級聯雙口網絡N, 構建半階微分運算電路.取標度因子 σ =5 , 運算階μLiu=?0.5 , 由(7)式求解的標度特征參量 α =β =2.2361.取電路節數 k =5 , 電阻阻值 R =1 k? , 電容容值C =1 μF, 對稱格型級聯雙口網絡N 逼近的理想分抗元的阻抗值為

在Multisim14.0 中搭建模擬電路進行仿真實驗,網絡N 模擬電路( 2 k =10,σ =5 )的頻域曲線與負半階標度分形格分抗( k =5,σ =5 )及Carlson 原型分形格分抗( k =10 )的頻域曲線對比如圖13.

模擬電路的仿真結果與理論分析結果一致, 級聯后的對稱格型雙口網絡N 模擬電路的運算振蕩幅度明顯減小.相同電路規模的Carlson 分形格分抗的相頻特征曲線也沒有運算振蕩現象, 但有效逼近帶寬比網絡N 的小.設計的新網絡N 相對于標度拓展前的Carlson 分形格電路, 獲得的拓展增益[26]

圖12 階頻特征曲線優化對比圖 (a) 正比拓展優化 ( k =8,σ =5 ); (b) 反比拓展優化 ( k =8,σ =1/5 )Fig.12.Optimization comparison diagram of order-frequency characteristic curves: (a) Optimization in direct proportion extension( k =8,σ =5 ); (b) optimization in inverse proportion extension ( k =8,σ =1/5 ).

圖13 模擬電路仿真的頻域曲線對比圖 (a) 幅頻特征曲線; (b) 相頻特征曲線Fig.13.Frequency-domain curves comparison diagram of analog circuits: (a) Amplitude-frequency characteristic curves; (b) phasefrequency characteristic curves.

圖14 半階微分運算電路原理圖Fig.14.Schematic diagram of half-order differential operational circuit.

使用頻域曲線如圖13 的新網絡N 作為理想分抗元F, 構建半階微分運算電路(圖14).其中R2=1 k? , Rf=10 k? , Rin=1 k? ,Rb1=Rb2=820 ? , R1使用 k =5 時的負半階新網絡N, 放大芯片A 和B 選擇Multisim14.0 中的運算放大器OP37-AZ.該分數階微分運算電路的電壓傳輸函數為(22)式.

根據圖13 中的有效逼近頻率范圍, 選擇基波角頻率 ?0=1Hz , 峰峰值 E =0.5 V 的周期對稱方波為輸入信號 uin(t).由周期對稱方波信號的半階微分運算表達式

和半階微分運算電路的電壓傳輸函數((22)式), 求解半階微分后的信號 uout(t) 如圖15(a), Multisim14.0中模擬電路仿真的運算結果如圖15(b).

分抗元也可用于構建分數階振蕩器, 使用k =5時的負半階新網絡N, 可設計分數階維恩橋振蕩器.Multisim14.0 中的模擬負半階微分運算電路仿真結果, 證實了設計的具有高運算恒定性新網絡N 的有效性.

6 結 論

圖15 周期對稱方波的半階微分運算 (a) 理論結果; (b) 模擬電路仿真結果Fig.15.The half-order differential operation of a periodic symmetrical square wave: (a) Theoretical result; (b) analog circuit simulation result.

本文提出一種實現具有高運算恒定性分抗逼近電路的設計新方法.從電路網絡的角度分析經典的標度分形格分抗逼近電路, 發現該分抗的等效雙口網絡的兩側端口都可實現任意實數階理想分抗元的運算性能.結合雙口網絡的傳輸參量矩陣, 構造標度拓展后的對稱格型級聯無源雙口網絡, 并有效抑制了任意階標度分形格分抗逼近電路的運算振蕩現象.根據零極點頻率指數的分布情況, 理論分析任意階標度分形格分抗運算振蕩現象產生的原因, 從理論上分析抑制運算振蕩幅度的方法.結合分抗逼近電路優化理論, 實現具有恒定運算性能、高逼近效益的任意分數階格型級聯雙口網絡.后續有待研究的問題是: 四類具有負半階運算性能的Oldham 分形鏈類分抗逼近電路同樣具有恒定的運算性能, 且同樣可等效為無源級聯雙口網絡,因此, 是否可以構造標度拓展后鏈式結構的對稱級聯雙口網絡, 這種結構的分抗逼近電路是否也具有任意實數階恒定的運算性能.