基于分段式雙冪次趨近律的迭代滑模航向控制

趙月林，門茂峰，孫 壯

(大連海事大學 航海學院，遼寧 大連 116026)

滑模變結構控制方法是由前蘇聯學者在20世紀提出，因滑模變結構控制設計過程簡單，對系統干擾和參數攝動具有“完全自適應”性引起了科研界的高度重視[1]。船舶運動系統復雜，其數學模型的不準確易產生攝動，因此滑模變結構控制的“完全自適應性”能很好地解決數學建模中存在的問題，十分適合用來設計航向控制器。然而，滑模變結構控制算法的抖振問題十分嚴重[2]，該問題一直是國內外學者關注的難點。

筆者選用滑模變結構控制算法對船舶航行控制器進行了設計，提出了一種分段式雙冪次趨近律來減弱滑模變結構控制的抖振問題。通過數學求解得出該分段式雙冪次趨近律的收斂時間小于快速趨近律和雙冪次趨近律。在實驗驗證中發現趨近律的參數選擇很大程度上影響著系統抖振，固定參數很難使控制器達到最佳狀態。因此筆者選用簡單而又高效的RBF神經網絡來在線估計參數，使得控制器參數時時刻刻保持在最佳狀態，提高航向控制器效率。

1 趨近律特性分析

滑模變結構控制方法在控制器設計上具有獨特的優勢，但其抖振現象也給設計者帶來了無限困擾。高為炳[3]在運用滑模方法設計控制器時，引入快速趨近律和雙冪次趨近律在抖振的削弱方面具有良好效果，但是兩者收斂時間不同。為此，筆者在用數學方法對兩種趨近律的收斂時間進行求解并進行比較的基礎上，提出了一種有效降低抖振、提高收斂速度的分段式雙冪次趨近律。

1.1 雙冪次趨近律收斂時間分析

雙冪次趨近律[4]的表達如式(1)：

(1)

式中：k1>0，k2>0，0<γ<1。

假設s(0)>1，則系統分為兩個運動階段趨近于平衡點；s(0)→s=1，此時為遠離滑模面階段，因為1+γ>1，故趨近律中第1項起主導作用，忽略第2項。

由式(1)可得式(2)：

(2)

對式(2)進行積分，可得式(3)：

(3)

由此可計算得s(0)→s=1，所用時間如式(4)：

(4)

s=1→s=0，接近滑模面階段。同理，式(1)趨近律的第2項起主導作用，忽略第1項，由式(1)可得式(5)：

(5)

對式(5)兩邊積分，可得式(6)：

sγ=-γk2t+1

(6)

由此可得s=1→s=0所用時間如式(7)：

(7)

由此可見，收斂速度為兩段收斂時間的總和，如式(8)：

(8)

假設s(0)<-1，同理系統亦分兩個階段趨近平衡點，此時收斂時間的證明可參見上述推理。根據上述證明得出收斂時間如式(9)：

(9)

1.2 快速趨近律收斂時間分析

快速趨近律表達如式(10)：

(10)

當s(0)→s=1，快速趨近律中第1項為主導項，同理忽略第2項[5]，由文獻[6]可得式(11)：

(11)

根據文獻[4]，在趨近時間上雙冪次趨近律小于快速趨近律。由上述分析可知：當s=1→s=0時，快速趨近律的主導項為等式第2項，因此第1項忽略。但該項與雙冪次趨近律的第2項相同，故為比較收斂時間長短[7]，必須分析整體時間。文獻[8]對式(10)進行求解，得式(12)、(13)：

(12)

(13)

參考文獻[9]，對式(13)積分，得式(14)：

(14)

文獻[9]通過引入高斯超幾何函數，通過作商方法計算出ts1/td1>1，得出s=1→s=0階段快速趨近律的收斂時間小于雙冪次趨近律收斂時間。

1.3 分段式雙冪次趨近律

基于上述數學分析，在s(0)>1時，在s(0)→s=1階段，趨近時間上雙冪次趨近律小于快速趨近律，因此選擇雙冪次趨近律為最佳；而在s=1→s=0階段，趨近時間上快速趨近律小于雙冪次趨近律，因此選擇快速趨近律為最佳。鑒于以上不同階段最佳選項匹配矛盾問題，筆者提出了一種分段式雙冪次趨近律來進行分段匹配。分段式雙冪次趨近律表達如式(15)：

(15)

式中：b=1+γ；ξ=1；c=1-γ；fal為一種非線性冪次組合函數。

fal的計算如式(16)：

(16)

當運動點遠離滑模面，即|s|>1時，式(15)等價于式(1)，該系統以雙冪次趨近律形式趨近于滑模面。

當|s|≤1時，式(15)可等價于式(17)：

(17)

該形式較快速趨近律少了后邊的冪次項，式(17)其實可稱為指數項，其本身可提高收斂速率，極大程度地削弱系統抖振。

為評價該趨近律綜合性能，借鑒自動控制原理中的時域分析法進行評價。該系統為一階系統無超調量，評價指標主要是調節時間。調節時間大小表征系統過渡過程進行快慢。而調節時間主要由時間常數T決定，T越小系統的快速性就越好，1/T即為系統運動最大變化率。為求最大變化率，筆者引入導數求變化率思想，即在極小范圍內兩點間變化量可等價于該點導數，也稱為斜率。因此在快速趨近律中變化趨勢最快處取A(0.008,-0.096 28)、B(0.01,-0.085)兩點，求得1/T1=5.5，故T1=0.18；同理，因雙冪次趨近律與分段式雙冪次趨近律變化趨勢相同，所以同取C(0.011,-0.099 87)、D(0.013,-0.084 1)兩點，求得1/T2=8，故T1=0.12。由T1>T2，所以分段式雙冪次趨近律與雙冪次趨近律快速性較好，如圖1、2。由圖 1、2可看出：分段式雙冪次趨近律在趨近于零點時基本無抖振，曲線平滑。

圖1 快速趨近律、雙冪次趨近律、分段式雙冪次趨近律的比較

圖2 趨近律取點

鑒于分段式雙冪次趨近律既能有效削弱抖振，又能提高收斂速度，故選擇該分段式雙冪次趨近律來設計航向控制器。

2 船舶航向控制數學模型

文獻[10]認為：應將船舶看作一個動態系統，建立一階響應型模型，該模型以舵角為輸入，艏向角或艏揺角速度作為系統輸出。在實踐中發現船舶在航行實際運動中常常呈現非線性，例如不穩定或臨界穩定性等情況，因此將一個非線性項添加到一階線性方程中，如式(18)：

(18)

式中：T為船舶操縱性指數；α為非線性項，由螺旋試驗確定；K為船舶旋回性指數。

將式(18)改寫為狀態空間表達式，如式(19)：

(19)

式中：f(r)=-1/T(α1+α3r3)；g=K/T；d(t)為外部干擾。

實際進行航向控制的舵機大多由電氣-液壓機構驅動，很難實現階躍操舵，會有一定延時。因此該舵機伺服系統可由式(20)表示：

(20)

式中：TE為伺服系統時間常數，一般取TE=2.5 s。

3 航向控制器設計

3.1 航向控制器模型

構建航向誤差如式(21)：

(21)

為使船舶向能按預期航向航行，因此引入非線性迭代滑動模態[11]，如式(22)：

(22)

迭代滑模法設計將系統控制目標轉化為對s2的鎮定問題，該系統必須保證s2,s1,e→0，因此系數需要滿足k5≥k3。

考慮到船舶模型中d(t)為未知函數，對其估計逼近難度較大，故選擇增量反饋來控制舵角的變化率。此處增量反饋選擇文中收斂速度更快的分段式雙冪次趨近律進行設計，如式(23)：

(23)

為證明該系統穩定性，特此引入李雅普諾夫判據法則，構建新型Lyapunov函數，如式(24)：

(24)

對式(23)進行求導，得式(25)：

(25)

由式(21)可得式(26)：

(26)

(27)

由此可見，該控制系統是漸進穩定的。因此e=ψ-ψd，則航向ψ→ψd，從而控制器可將實際航向跟蹤至期望航向。

3.2 分段式雙冪次趨近律的參數估計

由文獻[12]可知：調節趨近律自身參數也可有效避免抖振。因此選擇RBF神經網絡，通過仿生物學習來在線估計趨近律參數，進一步削弱抖振。筆者選取轉艏角速度和舵角作為RBF神經網絡的輸入，構成2-8-1結構，其中包含8個隱含層，輸出為在線估計的最佳參數。RBF神經網絡隱含層輸出為非線性函數[13-14]，如式(28)：

(28)

式中：x(t)為輸入參數向量；cj(t)為中心向量；‖x(t)-cj(t)‖為兩者之間的歐氏距離；bj為高斯基函數的寬度。

神經網絡輸出如式(29)：

(29)

式中：γ為在線估計的最佳參數；wij為初始權重值，文中wij=1。

定義輸出誤差指標對輸出效果進行評價，如式(30)：

(30)

式中：μ為參數γ的期望值，但其數值為未知量。

用轉艏角速度與舵角比值來替代輸出誤差。文獻[15]表明：航行過程中船舶轉艏角速度與舵角的比值接近0.035。故誤差指標重新定義如式(31)：

(31)

由此神經網絡輸出便是最佳參數。具體神經網絡輸出參數如圖3。

圖3 RBF神經網絡輸出參數γ值

4 仿真結果

筆者選用大連海事大學教學實習船“育鵬”輪作為研究對象，建立船舶仿真模型，驗證控制器效果[16]。該船的基本參數為：船長Loa=189.0 m，船寬B=27.8 m，方形系數Cb=0.72，舵葉面積為38.0 m2，排水量為30 000 t。無量綱化后的船舶模型參數為：K=0.08，T=39.09。

為驗證控制器對外界干擾魯棒性，設定初始狀態船舶航向000°。設定所需期望航向為060°。分別在無風作用海況和6級風(風速12 m/s、風向80°)干擾海況下進行仿真比對實驗；另一組實驗是在RBF神經網絡在線調節參數情況下進行。

4.1 無風作用下航向控制

該情況下的航向控制如圖4。圖4(a)中：這3種趨近律所設計的控制器均能穩定的到達預期航向060°，無超調量，無靜態誤差，船舶航向變化光滑，符合實際情況。舵角變化情況如圖4(b)，快速趨近律控制器收斂速度最快，但其舵角調節高達24°。相比于快速趨近律，分段式雙冪次趨近律優勢明顯，不僅舵角調節度數小，僅為18°；且趨近速度比雙冪次趨近律快5%。

圖4 航向控制(無風作用)

4.2 風力6級干擾下航向控制

該情況下的航向控制如圖5。圖5(a)中：在分段式雙冪次趨近律固定參數下，面對風力6級(風速12 m/s，風向80°)，該控制器表現出較強的魯棒性。舵角調節情況如圖5(b)，達到預期航向只需調節舵角最大為27°，調節度數明顯少于其他兩種控制器。最后為使船舶穩定在060°方向，舵角變化范圍為+7°～+16°。

圖5 航向控制(有風干擾)

4.3 無風海況RBF在線調節參數航向控制

在線估計參數與固定參數航向(無風)比較如圖6(a)。在無風海況下，固定參數設計的分段式雙冪次趨近律控制器比RBF在線調節參數控制器所需的上升時間要少，但最終到達穩態的時間二者相差無幾，均在180 s左右；再結合圖6(b)的神經網絡調參的控制器對舵角調節僅為0°～10°，而固定參數為0°～19°，說明明顯好于固定參數。

圖6 在線估計參數與固定參數比較(無風)

4.4 風力干擾下RBF在線調節參數航向控制

在6級風力(風速12 m/s，風向80°)干擾下，航向調節時間由無干擾下的180 s增加到220 s，如圖7(a)。圖7(b)為在線估計參數與固定參數舵角(有風作用)比較。圖7(b)中：最佳參數選擇對趨近律控制器的影響十分明顯，對舵角調節僅為0°～24°。在航向到達穩態時，RBF在線調節參數控制器對舵角調節比固定參數少10%。

圖7 在線估計參數與固定參數比較(有風干擾)

5 結 語

筆者提出的分段式雙冪次趨近律，經仿真結果驗證能有效減弱滑模變結構控制的抖振，且趨近速度快于快速趨近律。

運用一階響應型數學模型建立“育鵬”仿真模型，并以此模型為基礎設計航向控制器，分別在無風干擾和6級風干擾下進行轉舵60°仿真。結果表明：引入分段式雙冪次趨近律的控制器比其他兩種控制器抗干擾效果更強，最大操舵角度明顯減小。考慮到趨近律參數選擇亦影響模型抖振和控制效果，引入RBF神經網絡在線調節趨近律參數并進行上述兩種情況的模擬仿真比較。結果顯示：引入RBF神經網絡后，雖趨近速率減慢，但最大操舵角度在無風干擾海況下的+17°減小到+10°，6級風干擾海況下的+27°減小到+24°，控制效果明顯增強，穩態品質顯著提高。