自適應平方根球型卡爾曼濾波下的SOC估計

劉 楠，葉望博，李 明，呂 甜，張雪霞

(1.中車唐山機車車輛有限公司，河北唐山063000；2.西南交通大學唐山研究生院，河北唐山063000)

鋰電池荷電狀態(SOC)的估算對于電池管理系統而言，是至關重要的一環。電池的SOC 代表鋰電池當前剩余容量。在有軌電車運行過程中，鋰電池作為一種電動機供能裝置，具有很高的能量密度，并且鋰電池的當前狀態與有軌電車的運行方式密切相關。因此，對鋰電池的SOC 進行估算，能較好地反映鋰電池當前剩余容量，從而預測有軌電車的運行狀態。

當前對鋰電池SOC 估算的方法主要包括安時積分法，開路電壓法，卡爾曼濾波法(KF)以及人工神經網絡法，深度學習等等[1-4]。其中安時積分法較為依靠SOC 初值的準確性，以及電流測量的精度，容易產生累計誤差。而開路電壓法，其開路電壓的獲取方法需靜置電池較長時間，無法實時獲取。人工神經網絡法則要求龐大的關于鋰電池SOC 的數據，包含各種狀況下SOC 的變化狀況，因此不太實用。針對鋰電池這種非線性系統而言，無跡卡爾曼濾波方法[5]常被用于鋰電池SOC 的估算，其計算速度以及精度均能達到較好的效果。

本文以2.7 V/20 Ah 的鈦酸鋰電池作為研究對象，通過實驗及仿真驗證，并分析其工作特性，最終建立了一階Thenevin等效模型。此模型的計算量較少，且精度較高，能夠很好地反映鋰電池的工作特性。利用MATLAB 對等效模型的各個元件參數進行辨識。最后，針對標準UT 變換中設定參數較多且難以確定，以及因噪聲統計特性未知而造成估算精度下降的兩個問題，本文提出了在傳統平方根無跡卡爾曼濾波方法下做球形變換，加入噪聲自適應因子[6-8]的估算方法，對鋰電池SOC 進行估算，提升了其估算的準確性和魯棒性，使估算的誤差不超過1%。

1 鋰電池等效模型及參數辨識

1.1 等效模型

為模擬電池充放電特性，需對鋰電池進行等效電路建模。通過不斷地測試仿真，考慮到SOC 估算的準確性及計算量，本文采用一階Thenevin 電路模型[9]作為鈦酸鋰電池的等效模型。此模型由三個部分組成：(1)電壓源Uoc；(2)歐姆內阻R0；(3)極化內阻Rp和極化電容Cp組成的并聯部分，見圖1。

圖1 一階Thenevin模型

圖1 中，極化部分可模擬鋰電池的極化效應，而在充放電時，電壓驟變過程的瞬態反應可由R0表示。通過基爾霍夫定律，得該模型電路方程式：

式中：UL為電池端電壓；I 為總電流，以電池放電方向為正；Up為極化模塊兩端電壓。

利用安時積分法，可得鋰電池SOC 計算式：

式中：η 為庫侖效率；Qa為鋰電池標稱容量。

1.2 參數辨識

鋰電池等效模型的參數辨識主要包括4 個部分：開路電壓Uoc，歐姆內阻R0，極化內阻Rp以及極化電容Cp。辨識的步驟為，將鋰電池SOC 從100%到0%分成20 等份，每隔5%，均對鋰電池進行一次HPPC 循環脈沖實驗[10]，從而獲得鋰電池電壓變化曲線，如圖2。通過式(3)～(7)可辨識出不同SOC 值下的參數值。

圖2 HPPC實驗曲線圖

鋰電池在靜置一段時間后，電壓值會逐漸趨于穩定狀態，此時電壓即電池的開路電壓值。因此，根據不同SOC 狀態下所得到開路電壓值，利用多項式擬合，可得OCV-SOC 之間的關系見式(3)：

極化模塊的辨識方法，則可根據電池在靜置時間段內，所發生零狀態響應得出：

通過MATLAB 中cftool 工具箱，利用最小二乘法，輸入每個SOC 點所對應的Ut，Uoc，It，R0值，可得到對應的極化內阻Rp以及時間常數τ 的值。最后，與開路電壓擬合方法一樣，利用多項式擬合，將R0，Rp，Cp均擬合成關于SOC 的7 次多項式，見式(6)～(7)：

式中：內阻均為mΩ級，極化電容為kF 級。

1.3 模型驗證

利用等效電路模型以及參數辨識的結果，在MATLAB/Simulink 軟件中搭建一階仿真電路。選取脈沖充放電測試實驗驗證模型的可行性。

以脈沖充放電實驗為例，以3 C 倍率對電池放電10 s，靜置40 s，然后以3 C 倍率充電10 s，靜置40 s，再以1 C 倍率放電3 min，直至放電到截止電壓，其仿真電壓曲線與實驗電壓曲線進行對比，見圖3(a)。從圖中可看出仿真端電壓與實際端電壓的區別很小，可以反映出電池在工作時電壓的變化情況。由圖3(b)誤差曲線可知，前中期模型仿真效果最好。隨著容量逐漸減少，即在后期時，其模型仿真值與實際值的差別較大，但最大誤差仍未超過0.15 V，誤差較小。因此表明，一階RC 模型滿足要求，為SOC 的估算提供了基礎。

圖3 脈沖充放電下電壓對比圖

2 鋰電池SOC 的估計算法

2.1 平方根無跡卡爾曼濾波算法(SRUKF)

SRUKF 是在傳統UKF 的基礎上，運用協方差矩陣的平方根取締原有的協方差矩陣參與到迭代的過程，通過QR 分解以及Cholesky 一階更新獲取協方差平方根，保證協方差矩陣的半正定性，并且此舉能夠提高其算法的精度。

SRUKF 的具體步驟如下：

(1)對狀態變量的均值xˉ0和協方差矩陣平方根S0進行初始化操作：

(2)對k-1 時刻的狀態變量進行sigma 化：

Sigma 化即將一個n 維的狀態變量，利用對稱采樣取點的方法，得到2n+1 個與初始狀態變量相同的統計特性。并且每個Sigma 點具有不同的權重系數，其權重值計算方法如下：

式中:λ 為縮放尺度因子，λ=α2(n+k)-n；n 為維數；α 為sigma 點以均值xˉ0為中心所分布的范圍大小，一般取范圍在10-6～1 之間的值；β 能夠減小高次項所造成的影響，一般取β=2；k 即輔助尺度參數，一般k+n≠0。適度改變α 以及k 的值可以提高估算的準確性。

(3)時間更新

利用xk-1與uk的值，利用狀態方程式對xk進行預測，首先對sigma 點進行更新，得：

依照sigma 點的預測對狀態變量的誤差協方差矩陣采取QR 分解，并利用Cholesky 分解保證誤差協方差矩陣的半正定性，從而消除由α 或k 的取值差異所導致權值系數出現負值的情況。Sx,k表征狀態變量協方差矩陣的平方根，其k 時刻具體更新方程如式(13)：

(4)量測更新

(5)狀態更新

卡爾曼增益的精確性會直接影響SOC 的估算準確度，而影響卡爾曼增益的因素主要是狀態變量和觀測量的互協方差，其計算方法為：

式中：Kk為卡爾曼增益；yk為k 時刻下所測得的端電壓值；Sk即誤差協方差的平方根。

2.2 球形UT 變換

在上述SRUKF 算法中，其UT 變換的權值計算包含過多需要設定的參數，例如α，β，k等。并且其參數的設定對最后估算結果會產生較大的影響，所以，在調整參數的環節，需要根據經驗進行不斷的嘗試后，才有可能獲得更好的結果。而這個調節的步驟一般較為復雜，為避免調整參數過程的繁復性，故選擇球型UT 變換方法。球型UT 變換可將sigma 點從2n+1個點降至為n+2個點，從而減小了計算量。具體步驟如下：

(1)確定權值系數：

式中：ωi既表示狀態變量均值的權值系數，也表示協方差矩陣的權值系數，且ω0通常取0。

(2)sigma 化：

若j=2,3,4,…,n 時，對ξ(1)

i 則可知：

利用球形UT 變換則可替代傳統SRUKF 中sigma 點的選取方式，簡化計算量。

2.3 噪聲自適應

在實際的工作狀態中，無論在計算過程或是測量過程都會帶來難以估計的噪聲，并且這些噪聲的實際分布極難獲取。因此，在一般的操作過程都會將噪聲的協方差矩陣設置為一定值，方便計算。但是，若取得的協方差矩陣不準確，則會導致精度問題，嚴重時會使迭代發散。對此，本文引入自適應因子，對噪聲的協方差自行進行匹配，并不斷更新協方差的值。

計算自適應調節因子矩陣Dk如下：

其中：

式中:ek為觀測誤差，即ek= yk- y?k|k-1。

在引入自適應調節因子后，則式(17)可改寫為：

3 仿真分析

驗證平方根球型無跡卡爾曼濾波方法對鋰電池SOC 估計的準確性。本文以2.7 V/20 Ah 規格的鈦酸鋰電池作為研究對象，其截至電壓在1.8 V。在標準條件下分別進行不同的工況測試，主要包括恒流充放，HPPC 充放電測試。并通過EKF，傳統SRUKF 與ASRUKF 進行仿真結果對比。

首先，為檢驗算法的魯棒性，分別設置SOC 初始值為1，0.8 和0.1 三種情況下的算法收斂程度，如圖4 所示。在放電初期，由于初始噪聲的設定可能與實際噪聲差別太大，導致算法的震蕩較為嚴重，但很快趨于穩定，并收斂到可接受的誤差范圍內。在放電平臺區，算法對SOC 的估算基本與實際理論值重合，并一直到放電終止。

圖4 SOC初值在不同狀態下估算結果圖

由圖4 可見，當設定的SOC 初始值與真實值較為接近時，收斂的時間較短，其最大估計誤差不超過2%，而放電平臺區至放電結束，其誤差在0.7%左右。這是由于電流較為穩定，對算法干擾較少，因此算法具有很好的效果。且即使SOC 初始值設置偏離實際值，但算法依然能夠很快地收斂到真實值附近，并保持穩定的跟隨。這說明，該算法具有很好的濾波作用，且具有較強的魯棒性，對鋰電池SOC 估算效果很好。

圖5(a)為3 C 恒流放電下，SOC 理論值與EKF，SRUKF，以及ASRUKF 的估計值對比。圖5(b)則為誤差曲線圖。由圖5 可知，EKF 的效果最差，誤差在5%左右，SRUKF 的效果在后期也逐漸變差，誤差在不斷增大，最大誤差為2.5%。而ASRUKF 方法的估計值最接近理論值，其誤差基本維持在1%左右。因此，ASRUKF 的精度較之其余兩種方法更佳。

圖5 恒流放電下SOC估計結果對比

根據圖6 HPPC 測試條件下SOC 估算結果及誤差對比，其具體操作流程可見前文參數辨識。由圖可見傳統SRUKF

圖6 HPPC 測試下SOC估計結果對比

在后期誤差明顯增大，且波動較為明顯，而EKF 雖在后期誤差也不斷增大，但其波動幅度比SRUKF 算法小。經過自適應處理后的ASRUKF 算法，基本在測試1 000 s 之內，算法趨于穩定狀態，誤差始終保持在1%之內，算法穩定性很高。

4 結論

通過實驗仿真說明，一階Thenevin 模型能夠滿足本文所用鈦酸鋰電池的等效模型要求。并且，自適應平方根球型卡爾曼濾波方法相較于傳統的SRUKF 方法而言，添加了自適應因子后，提高了SOC 的估算精度以及魯棒性，即使在極為復雜的工況下，仍能使其最大誤差不超過1%，且收斂速度較快，無論SOC 初始值偏離多少，能夠很快收斂到真實值周圍，濾波效果不錯。