考慮船位預測不確定性的船舶碰撞危險度計算方法

王少博，張英俊，胡鑫

大連海事大學 航海學院，遼寧 大連 116026

0 引 言

智能船舶的核心功能之一是自主航行能力。船舶在海上航行過程中，首先需要收集當前所處的航行場景信息；然后判斷本船與他船之間是否存在碰撞危險，如果存在，則分析兩船間的會遇態勢并制定避讓決策[1-2]。由此可見，船舶碰撞危險度的計算占有重要地位，它作為中間環節，直接決定了兩船間由自由航行局面轉變為會遇局面的時機。傳統航海中，一般采用自動雷達標繪儀（automatic radar plotting aid, ARPA)實現對碰撞危險的預警，即通過設定最近會遇時間（time to the closest point of approach, TCPA)與最近會遇距離(distance of the closest point of approach, DCPA)的安全閾值來實現對潛在碰撞危險的探測。但是，閾值的設定并沒有統一標準，如果設定值過大，則會造成頻繁的碰撞預警；如果設定值過小，則會影響船舶航行安全[3]。

多年來，國內外學者對船舶碰撞危險度計算模型進行了許多研究，根據研究思路的不同，大致分為2 類：一是指標因素法，二是船舶領域法。指標因素法就是采用多種典型的航海指標對船舶潛在的碰撞危險進行評判。Hilgert 等[4]基于兩船間的最近會遇距離將兩船之間的碰撞危險劃分為4 個等級；吳兆麟等[5]和鄭中義等[6]提出了時間與空間船舶碰撞危險度計算模型；嚴慶新[7]應用模糊數學綜合評判理論，把目標船的距離、相對方位、最近會遇距離、至最近點的時間、船速比、碰角等6 個基本參數作為碰撞危險度的判斷參數；劉茹茹等[8]在DCPA 和TCPA 的基礎上加入了船舶安全距離圈和最晚施舵時間等主觀因素；Bukhari 等[9]為了減輕船舶交通管理(VTS)值班員的工作負擔，提出了一種綜合考慮羅經方位變化、DCPA 和TCPA 的船舶碰撞危險度計算模型；文元橋等[10]選取船舶會遇方式、風速和能見度作為控制變量，運用序次Probit 模型擬合出航道船舶碰撞危險度的狀態方程；湯國瑞等[11]針對復雜水域船舶碰撞風險較高的問題，分別選取航速、航向、距離、能見度、風、浪、流等要素，設計了碰撞危險度的計算方法。而在船舶領域法方面，Fujii 等[12]首先提出了船舶領域的定義，它指的是絕大多數后繼船舶駕駛員避免進入前一艘在航船舶周圍的領域；Goodwin[13]和Coldwell[14]分別根據來船方位和會遇局面構造了不同的船舶領域模型；Szlapczynski 等[15]在船舶領域的基礎上提出了計算碰撞危險的2 個參數，即領域侵入程度(degree of domain violation, DDV)和領域侵入前剩余時間(time to domain violation, TDV)；Im 等[16]提出了基于領域的潛在風險等級劃分模型；周丹等[17]使用主成分回歸算法和粗糙集算法分析了影響船舶領域因素的重要性。

通過對上述船舶碰撞危險度研究現狀的分析發現，指標因素法使用的多種指標會共同影響船舶碰撞危險計算的結果，各指標權重的確定受人為主觀因素影響較大，計算過程不如船舶領域法直觀；而在船舶領域，大部分研究仍集中在如何進一步完善船舶領域模型，對船舶領域在計算碰撞危險度中的具體應用描述較少。考慮到智能船舶在海上航行過程中需要更加可靠且穩定的碰撞危險度計算模型，因此，本文將基于Szlapczynski等[15]提出的DDV 和TDV 的概念，分析基于船舶領域的碰撞危險參數計算方法，對船位預測不確定性進行建模，提出考慮船位預測不確定性的碰撞危險度計算模型。

1 基于船舶領域的碰撞危險參數計算模型

1.1 參數定義

學者們構造了多種形狀的船舶領域，其中大部分為多邊形和橢圓形的船舶領域[18]。本文采用藤井模型[12]，即以本船位置為中心的橢圓形領域，其中橢圓的長半軸a等 于4 倍船長，短半軸b等于1.6 倍船長，如圖1 所示。

圖1 橢圓船舶領域Fig. 1 Elliptical ship domain

根據Szlapczynski 等[15]提出的DDV 和TDV概念，TDV 被定義為本船侵入他船領域之前剩余的時間，如果TDV 有合理值，則表示DDV 存在。本文用K表示DDV，用T表示TDV。當本船侵入他船領域之后，原橢圓領域長短軸乘以縮放因子r，使得縮小后的領域邊界剛好經過本船，在本船侵入到離開他船領域期間，取最小縮放因子rmin，則K可以表示為

定義R為離開目標船領域的時間，則領域侵入時間 δ為

以上參數的定義如圖2 所示。圖中，OS 為本船，TS 為他船，兩船處于對遇狀態，OS 從t0時刻起沿相對運動速度矢量方向運動，在t1時刻到達TS 橢圓領域的邊界，并在t2時刻達到橢圓的最小縮放因子rmin，在t3時 刻離開橢圓領域，其中t0到t1時 間為T，t0到t3時 間為R，t1到t3為 領域侵入時間δ。

圖2 參數示意圖Fig. 2 Schematic diagram of parameters

根據以上參數的定義，可以得到參數變化對碰撞危險的影響（表1）。

表1 參數變化影響Table 1 Influence of parameters variation

1.2 場景分割模型

以上3 個參數的計算都是面向單船領域，考慮船舶在海上航行的真實場景：在開闊水域，船舶分布比較分散，一般只考慮本船與他船兩船之間的碰撞危險；而在狹窄水域或繁忙水域，經常會出現部分船舶分布較為密集的情況。由于這些船舶距離較近，互相之間存在一定的干擾。因此，本文嘗試將分布密集的船舶作為一個船舶群組，從整體角度考慮本船相對于此船舶群組的碰撞危險。

根據當前海面所有他船的位置關系，首先采用層次聚類法[19]對船舶進行聚類。根據層次聚類法的基本原理，通過設定距離閾值，可以得到當前場景下的船舶層次聚類結果如圖3(a)所示，聚類過程如圖3(b)所示，其中藍色表示本船，黑色表示他船。

得到虛擬船中心坐標之后，獲取Uts中所有船舶領域組合構成的最大橫向長度Llat和最大縱向長度Llong，并以此構造外圍矩形，則此矩形的內切橢圓存在且唯一，之后構造與此內切橢圓具有相同離心率的矩形外接橢圓E，則此外接橢圓的方程存在且唯一，表達式為

圖3 層次聚類結果圖Fig. 3 Hierarchical clustering results

該橢圓即為以虛擬船中心O(Ox,Oy)構建的新橢圓領域。新橢圓領域的構建過程如圖4 所示。圖4 中3 艘船舶構成一個船舶群組，每一艘船的領域范圍用黃色橢圓表示，虛擬船位置用紅色十字星表示，航向用紅色箭頭表示，根據式(4)可得組合后的新橢圓領域為圖中右側的黑色實線橢圓。

至此，將本船當前航行場景分成了本船與他船之間的單船會遇局面以及本船與他船群組的會遇局面。無論哪一種情況，每一艘船舶或者每一船舶群組都會有圍繞自己的領域。假定所有船舶均保向保速航行，如果以未來是否侵入對方領域作為判斷碰撞危險出現的指標，則可分為4 種場景[18]，如圖5 所示，其中藍色表示本船，黑色代表目標船或目標船群組。

圖4 新組合領域構建過程Fig. 4 Construction process of new ship domain

圖5 領域侵入的4 種場景Fig. 5 Four scenarios of ship domain invasion

4 種場景分別描述如下：

1） 本船與他船均未侵入對方領域；

2） 本船侵入他船領域，他船未侵入本船領域；

3） 他船侵入本船領域，本船未侵入他船領域；

4） 本船與他船互相侵入對方領域。

設定當本船侵入他船領域時的各參數用下標α 表示，當他船侵入本船領域時的各參數用下標β表示，可以分別得到4 種場景下他船相對于本船的碰撞風險參數表達式。對于場景1），由于雙方均未侵入對方領域，因此K1= 0，T1沒有合理值，δ1= 0；對于場景2），可以按照參數定義得到K2=Kα，T2=Tα， δ2= δα；對于場景3），盡管本船并未侵入他船領域，但是對于他船而言，認為與本船之間存在碰撞危險，設定本船橢圓領域的長軸為lOS，他船或他船群組的橢圓領域長軸為lTS，各參數定義如下：

對于情形4），本船與他船互相侵入對方領域，各參數表達式為：

圖6 船位預測偏差Fig. 6 Deviation of ship position prediction

2 船位預測不確定性模型

上文中給出的描述船舶碰撞危險的3 個參數K,T和 δ都是基于本船和他船當前的運動參數計算得到，它們均假定當前海上場景下的所有目標在未來一段時間內的運動狀態保持不變。但在實際航行中，盡管本船與他船保向、保速航行，但由于受到海上若干不確定性因素的影響，比如海面氣象水文條件、船舶的操縱性能等，實際船位并非完全等于預測船位，總是存在一定的偏差。因此，定義初始船位為Xo(xo,yo)，理論預測船位為Xt(xt,yt) ，實際船位為Xr(xr,yr)，則位置偏差為

如圖6 所示，將實際的船位偏差量沿船舶橢圓領域的橫縱向進行分解，偏差量的最終結果，可以看作船舶在航行過程中，沿橢圓領域橫縱向航行時，速度矢量隨時間累積的誤差值。

由此，分析得到關于實際船位偏移量 ?D的2 點性質：

1） 船位偏移量的大小與船舶沿橢圓領域長短軸向的速度分量直接相關；

2） 船位偏移量的大小與累積時間成正比，偏移增量僅與某一時間段的區間長度有關，而與初始時刻無關。

考慮到上述船位偏移量的2 點性質，用隨機過程中經典的維納過程[20]來對船位預測的不確定性進行近似建模。維納過程 {W(j),j≥0}屬于典型的獨立增量過程，對于 ?j＞s≥0，有增量：

式中：j和s代表2 個不同時間點；M為船位誤差的協方差矩陣。維納過程是一個馬爾科夫過程，對未來船位的預測所需的信息就是該過程當前的數據值。維納過程在任何有限時間上的變化服從正態分布。其中N(0,M)是由橢圓長短軸2 個方向組成的二維正態分布，其均值和協方差矩陣分別為：

式中， (μ1,σ1)和 (μ2,σ2)分別為沿橢圓長、短軸方向的船位偏移量的均值和標準差。k[x,y] 表示沿橢圓長、短軸方向船位偏移量組成的二維隨機變量。由此，可以得到維納過程遵循的二維正態分布概率密度函數:

該函數圖像示意圖如圖7(a)所示，將圖像投影到XOY 平面上可以得到一個概率橢圓，如圖7(b)所示。其中，橢圓的中心坐標為 (μ1,μ2)，橢圓方程可表示為：

式中， ε為概率橢圓的規模， ε的選擇代表所選取的置信水平。由于船位偏移量在橢圓領域長、短軸方向上的分布均為零均值的正態分布，且互相關系數為零，因此式(11)等號左側實際上代表了2 個獨立正態分布的隨機變量的平方和，其分布規律服從卡方分布(Chi-Square)[21]。根據二自由度卡方分布數據表，選取6 個置信等級，可以得到置信度與橢圓長短軸長度的對應關系（表2）。

將橢圓船舶領域與表示船位預測不確定性的置信橢圓進行疊加，即將原橢圓領域的長短半軸分別與置信橢圓的長短半軸相加，可以得到融合船位不確定性置信度的新橢圓領域。如圖8 所示，其中l表示船長。

3 考慮船位預測不確定性的碰撞危險參數計算方法

船位預測不確定性橢圓的大小與預測時長成正比，令 σ1(t)與 σ2(t)分別為沿橢圓領域長、短軸方向船位偏移量的標準差關于預測時間t的函數，可以得到融合船位不確定性置信度的新橢圓領域：

圖7 概率密度函數圖Fig. 7 Image of the probability density function

表2 置信度與橢圓長短軸的對應關系表Table 2 Table of correspondence between confidence level and ellipse's major-minor axis

圖8 疊加領域模型Fig. 8 Superposition ship domain model

式中：a和b分別為橢圓領域的長、短半軸長度；ω為對應置信系數下不確定橢圓長、短半軸的乘積因子，如在表2 中，當 γ為10%時， ω=0.46。

圖9 參數計算示意圖Fig. 9 Schematic diagram of parameter calculation

根據旋轉平移變換可得到目標船在初始位置P時的橢圓領域方程為：

該橢圓中心沿相對運動線移動，則目標船的位置方程為：

當達到T時，本船剛好過目標船橢圓領域邊界，由于本船位于坐標原點 (0,0)點，結合式(12)可得T的解為式(15)中t的計算結果：

式(15)的計算結果如果存在正實數根，則說明T有合理值，即本船侵入了他船領域，如果存在2 個不同正實數根t1和t2， 且t1＞t2， 則t1為R，t2為T，由式(2)可得領域侵入時間 δ為：

橢圓領域的縮放因子r是關于時間t的方程r(t) ，其中t∈(t2,t1)，滿足式(17)：

整理后可得r(t)表達式為：

4 結 語

本文首先將海上會遇局面分為單船會遇以及本船與船舶群組會遇的局面，并根據條件“是否侵入對方領域”將會遇局面分為4 種場景，提出了基于船舶領域侵入程度、剩余侵入時間以及領域侵入時間的船舶碰撞危險參數計算模型；同時，根據維納過程對船位預測不確定性進行建模；最后給出了考慮船位預測不確定性的碰撞危險參數的計算方法。本文考慮了船位預測不確定性給船舶碰撞危險帶來的影響，提出的模型能夠為智能船舶碰撞危險分析等相關領域的研究提供參考。