高考試題中的應用性研究

周先華 李嶠

摘 ?要：《中國高考評價體系》中的“四翼”，即基礎性、綜合性、應用性、創新性. 應用性試題的情境具有真實性的特點，它包括跨學科情境、生產實際情境、現實生活情境三類. 應用性試題的考查內容在價值引領方面，突出健康情感，注重勞動精神;在素養培育方面，突出數學運算，強化數學模型;在關鍵能力提升方面，突出閱讀理解，深化信息處理;在必備知識方面，突出概率統計，注重函數板塊的應用.

關鍵詞：四翼;應用性;高考數學;情境

《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）中構建了“一核”“四層”“四翼”的用于指導高考改革與高考命題工作的測評體系. 其中，“四翼”是素質教育的評價維度在高考中的體現，是高考考查的要求，是回答“怎么考”的問題. 它包括四個方面，即基礎性、綜合性、應用性、創新性.

學以致用是素質教育的根本目的. 因為素質教育就是要培育德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人. 在高中數學知識、能力與素養的培育過程中，要關注與社會發展、科技進步、生活實際相關聯的內容. 而高考數學在命題時，就會選取貼近時代、社會和生活的情境，針對生產生活、國家發展及社會進步中的實際問題來考查學生運用知識與素養解決實際問題的能力.

從近幾年的高考數學全國卷來看，應用性試題所占分值基本上維持在20%左右. 以2020年高考數學全國卷理科為例，全國Ⅰ卷中，第3題、第5題和第19題為應用性試題，共22分，占總分值的14.7%;全國Ⅱ卷中，第3題、第4題、第14題和第18題為應用性試題，共27分，占總分值的18%;全國Ⅲ卷中，第4題和第18題為應用性試題，共17分，占總分值的11.3%. 而不分文、理科的全國新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷（分別供山東、海南使用）中，均有4道選擇題和1道解答題為應用性試題，共計32分，占總分值的21.33%.

下面以2020年高考數學全國卷為例，對應用性試題的特點、情境及考查內容進行詳細分析，以期對高中數學教學所有啟示.

一、應用性試題的特點

應用性試題最主要的特點就是活動情境的真實性，即試題的問題情境與學生的實際生活密切相關，是來源于生活的真實問題，以此考查學生把課堂中所學的知識同生活實際問題相聯系的能力，即理論聯系實際的水平. 在解決貼近生產生活實際的問題中，學生能體會到課內所學數學知識、數學思想與方法中所蘊含的應用價值.

例1 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生數[R0]與世代間隔[T]是新冠肺炎的流行病學基本參數. 基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間. 在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：[It=ert]描述累計感染病例數[It]隨時間[t]（單位：天）的變化規律，指數增長率[r]與[R0]，[T]近似滿足[R0=1+rT]. 有學者基于已有數據估計出[R0=3.28，T=6]. 據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（ ? ?）.（[ln2≈0.69.]）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

在2020年高考數學試卷中，根據我國抗擊新冠肺炎疫情的真實素材設計了大量問題情境. 例1用新冠肺炎疫情初始階段的研究設計了問題情境，通過統計模型，描述在疫情初始階段累計感染病例數與時間的關系. 考查對數式與指數式的關系，以及學生的信息搜索與整理能力、數學建模素養，體現應用性. 通過對例1的求解，學生了解了傳染病的初期傳播規律，并感受到了黨和國家為新冠肺炎疫情防控所做出的努力. 這種貼近生活的應用性試題，讓學生體會到了數學知識來源于生活且應用于生活.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）倡導在高中數學教學中引導學生認識數學知識的本質. 而在對數學本質的認識中，很重要的一個方面就是對數學知識應用價值的認識. 它主要包括兩個方面：一是引導學生認識數學知識在生活中的功能;二是感悟數學知識在歷史發展過程中所蘊含的豐富的情感. 例如，德國數學家康托爾創立集合論、概率論在買彩票中的應用、北斗定位系統中應用勾股定理測量距離、回歸方程的預測功能等，這些數學家的故事或者數學在現實與科學研究中的應用，都會指引學生自覺地走近數學，領悟數學并熱愛數學. 數學是一類常青的知識，是一種科學的語言，是現實生活中的有力工具，是很多學科特別是自然科學學科學習的基礎，是一門關鍵的技術和先進的文化.

例2 （全國Ⅰ卷·文 / 理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一（如圖1），它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ? ?）.

（A）[5-14] （B）[5-12]

（C）[5+14] （D）[5+12]

例2以人造建筑的世界奇跡——胡夫金字塔為背景，考查正四棱錐的相關概念，以及直觀想象素養. 我們知道，在修建金字塔的過程中，采用了大量的數學方法，更重要的是，胡夫金字塔作為人類古建筑的代表，體現了數學美. 學生能通過此題感受到黃金分割之美. 認識數學的美，也是認識數學價值的一種體現，是數學應用性的重要呈現方式.

二、應用性試題的情境

高考“四翼”考查要求的實現，通過情境和情境活動這兩類載體. 任子朝先生根據數學學科的特點，把高考數學試題的情境，按照其出處和作用分為三類，即數學課程學習情境、數學探索創新情境和生活實踐情境. 而其中的生活實踐情境就出自生活中的實際問題，主要體現為對應用性層次的要求，考查學生運用所學數學知識解釋生活中的現象、解決生產實踐中的問題的能力. 為便于教學研究，我們把應用性試題的情境細分為跨學科情境、生產實際情境、現實生活情境三類.

1. 跨學科情境

跨學科情境是指來源于數學與其他學科的關聯的情境. 例如，在一些學術科研問題中，常常通過大量實驗或觀測數據建立適當的數學模型，以達到對未來進行預測的目的. 在其問題解決過程中，數學往往作為一種基本的研究工具得以應用.

例3 （全國Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域. 有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數[It]（[t]的單位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53]，其中[K]為最大確診病例數. 當[It*=0.95K]時，標志著已初步遏制疫情，則[t*]約為（ ? ?）.（[ln19≈3.]）

（A）60 ? （B）63 ? （C）66 ? （D）69

該題結合醫學中的Logistic模型，讓學生運用數學知識解釋其意義，主要考查學生的數學閱讀能力和數學運算素養，著重體現應用性，考查指數式、對數式運算和方程的思想，以及學生分析問題和解決問題的能力. 流行病學中的數學模型建立是一個非常嚴謹而漫長的過程，對流行病的防控起著重要的作用. 該題重點關注利用數學知識解釋“初步遏制疫情”狀態下的確診病例數，即考查學生運用所學知識解釋生活中的現象的能力，是比較簡單的跨學科情境.

2. 生產實際情境

生產實際情境來源于國家經濟社會發展、科學技術進步等生產實際的內容與問題.

例4 （全國Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

（A）10名 （B）18名

（C）24名 （D）32名

同樣是與新冠肺炎疫情防控相關的試題，與例3不一樣的是，這道試題來源于生產實際. 根據新冠肺炎疫情防控期間的超市志愿者人數的計算設置問題，考查學生從真實的生產情境中提取重要信息的能力和數學推理能力、數學閱讀理解能力，以及函數、方程與不等式思想，體現應用性層次的要求.

3. 現實生活情境

現實生活類情境取材于日常生活，讓學生在對背景材料的組織過程中，感悟數學是現實生活問題的抽象，并在現實生活中大量運用. 在數學與現實生活的聯系中，體會數學學習的意義.

例5 （全國Ⅲ卷·文 / 理18）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到表1（單位：天）.

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）;

（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”;若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”. 根據所給數據，完成如表2所示的[2×2]列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d].

該題屬于現實生活情境，試題結合空氣質量與到公園鍛煉的人次關系設置數學問題情境，考查應用性. 針對現實生活中人們普遍關注的空氣質量問題和鍛煉問題，在試題中有數據、表格等數學信息，需要學生從試題的文字敘述中提取有用的信息，收集和整理數據，理解和處理數據，并獲得和解釋結論，考查學生的數學閱讀能力，以及數據分析和數學運算等素養.

在高中數學教學中，教師要引導學生理論聯系實際，密切關注日常生活、工業生產、國家發展和社會進步中的實際問題，并在實際問題的解決過程中，學習以數學抽象和直觀想象的方式觀察客觀世界，以邏輯推理和數學運算的方式思考客觀世界，以數學建模和數據處理的方式表達客觀世界，從而真正實現全面提升數學學科核心素養的高中數學課程目標.

三、應用性試題的考查內容

《體系》中規定了核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識的“四層”的考查內容. 其中，必備知識關注的是基本的數學知識;關鍵能力強調觀察、思考和解決數學問題所必備的能力;學科素養是關鍵能力和必備知識的融會貫通;核心價值起著價值引領的作用.

1. 價值引領層面：突出健康情感，注重勞動精神

與近幾年的高考試題相比，2020年的高考數學試題在落實立德樹人、倡導五育并舉方面發揮了重要的引領作用. 其中，應用性試題的表現更為突出.

例6 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·15）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖2所示. [O]為圓孔及輪廓圓弧[AB]所在圓的圓心，[A]是圓弧[AB]與直線[AG]的切點，[B]是圓弧[AB]與直線[BC]的切點，四邊形[DEFG]為矩形，[BC⊥DG]，垂足為[C]，[tan∠ODC=35]，[BH∥DG]，[EF=12 cm]，[DE=2 cm]，[A]到直線[DE]和[EF]的距離均為[7 cm]，圓孔半徑為[1 cm]，則圖5中陰影部分的面積為 ? ? ? ?.

例6以勞動實習為情境，在考查三角函數的應用、扇形與三角形的面積等必備知識的同時，也對學生應用數學知識解決生活問題的能力進行了考查，以引導學生熱愛勞動，達到勞動教育的目的.

高考要服務于德智體美勞全面培養的教育體系，特別是在教育部2020年7月印發的《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》中明確指出，要對學生進行勞動教育，要弘揚勤儉、奮斗、創新和奉獻的勞動精神. 應用性試題特別突出對健康情感和勞動精神的考查. 例如，全國Ⅱ卷文（理）科第18題以治理沙漠為素材，在考查學生數據處理能力的同時，讓學生體會到了我國在環境治理方面取得的成就，體現了立德樹人的教育導向;在全國Ⅰ卷理科第19題中，以羽毛球比賽為背景，在考查學生邏輯推理能力的過程中，體現了體育的教學功能;在上述例5中體現了美育的教育功能;等等. 這些試題，來源于真實的生產生活，展示了數學與生活的聯系，在考查學生數學學科核心素養的過程中，體現了高考立德樹人的價值導向.

2. 素養培育層面：突出數學運算，強化數學模型

（1）突出數學運算.

在數學學科核心素養的培育方面，應用性試題突出了對數學運算素養的考查. 數學運算是小學和初中數學學習的主要內容. 而在高中數學課程中，不僅要進一步提升數、式的運算能力，還要學習新的運算對象——向量與復數等. 數學運算是一種演繹推理，也是利用計算機解決一切問題的基礎. 因此，數學運算是解決數學問題的基本手段，而通過數學運算來解決數學和其他學科的問題，也是數學解決問題的基本方法. 而應用性，就是要考查學以致用的能力. 因此，應用性試題在素養培育方面，突出了對數學運算素養的考查.

例7 （全國Ⅱ卷·理4）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所（如圖3），分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ? ?）.

（A）3 699塊 （B）3 474塊

（C）3 402塊 （D）3 339塊

此題以計算北京天壇的圜丘壇所鋪設的石板數為試題背景，展示了我國古代悠久而燦爛的文明成就，考查了學生分析問題的能力和數學文化素養. 解題的關鍵是利用等差數列的通項與求和公式進行計算，突出了對運算能力的考查.

（2）強化數學建模.

數學建模是指對現實生活中的問題進行抽象，運用數學方法，對其發展變化規律建構出一般模型的一種素養. 正是由于數學模型在數學和現實世界之間搭建起了一座聯系的橋梁，所以數學模型是數學應用性的重要體現形式. 在考查應用性層面的試題中，以數學模型為素材的試題占有相當大的比例.

例8 （全國Ⅰ卷·理 / 文5）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據[xi，yi i=1，2，…，20]得到如圖4所示的散點圖.

由此散點圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ? ?）.

（A）[y=a+bx] （B）[y=a+bx2]

（C）[y=a+bex] （D）[y=a+blnx]

該題以種子的發芽率和溫度之間的關系為背景，要求學生根據散點圖的分布情況選擇最恰當的函數模型，是典型的數學模型的應用. 而上述例7，是等差數列模型的應用;全國Ⅱ卷理科第14題考查排列組合問題中典型的“先選后排”模型的應用，而第18題考查相關系數的計算和對簡單隨機抽樣模型的選擇應用.

3. 能力提升：突出閱讀理解，深化信息處理

與數學課程學習情境類試題相比，來源于生活實踐的應用性試題，其材料文字和符號更多，數據更復雜，解決問題的先決條件是要通過閱讀理解問題情境中的各種文本、符號和相關數據，并提取有效的信息進行處理. 因此，在對關鍵能力的考查中，應用性試題往往在閱讀理解和信息處理能力方面的要求更為突出.

例9 （全國Ⅱ卷·文 / 理18）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加. 為調查該地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據[xi，yi]

（[i=1，2，…，20]），其中[xi]和[yi]分別表示第[i]個樣區的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量，并計算得[i=120xi=60]，[i=120yi=1 200]，[i=120xi-x2=80]，[i=120yi-y2=9 000]，[i=120xi-xyi-y=800].

（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）;

（2）求樣本[xi，yi]（[i=1，2，…，20]）的相關系數（精確到0.01）;

（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大. 為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，試給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關系數[r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，[2≈1.414].

該題共計約350個字，文字閱讀量大. 以沙漠治理為背景，考查學生的閱讀理解能力、分析和解決問題能力、數據處理能力，以及創新應用能力，既要發揮演繹推理能力進行相關的計算，還要運用直覺思維進行抽樣方法的選擇. 實際上，閱讀理解就是基于思維的一種認知活動：它既是獲取知識的一種能力，又是影響思維和認識的一種重要能力.

4. 必備知識：突出概率統計，注重函數板塊

與關鍵能力一樣，必備知識也是學科素養的基礎性支撐. 從近三年的高考試題統計分析中發現，應用性試題所考查的知識主要圍繞函數、概率與統計兩大主線內容進行. 在前面的例題中，例1、例3均考查指數函數和對數函數，例6考查三角函數的應用，例7考查特殊的函數——數列的應用，例8考查各類遞增函數模型，而例4、例5和例9均考查概率與統計板塊的知識. 科學地調控高考試題的整體難度，命制出適合不同地區、不同學生水平的高考數學試題的一貫做法就是采用“低起點、多層次、高落差”的命題策略. 以全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷和全國Ⅲ卷為例，“低起點”體現在對選擇題的前6道題、填空題的前2道題和解答題的前2道題的設計中，一般考查數學的基本概念或常見的數學方法，從而讓絕大多數學生能順利地解決. 而函數和概率與統計這兩大板塊，均屬于《標準》中規定的高中數學課程的四大主線內容，是高中數學的基礎性內容，是高質量地認識、分析和解決數學問題所必須具備的數學知識. 因此，在教學中，要進一步提升對函數知識的理解和應用能力，并夯實概率與統計知識應用，特別要強化對各種概率與統計模型的構建和熟練應用.

四、結束語

數學從生活中來，但又廣泛應用于生活，并時時刻刻引領著我們的生活. 應用性試題對學生關鍵能力、學科素養與核心價值的考查，給師生提出了更高層次的要求. 這就需要教師在學習《標準》的同時，深入研究《體系》中“四翼”的內容. 同時，還要在做好高中數學課程內容教學的同時，與學生一起提高數學閱讀能力，包括提升知識獲取能力，特別是語言解碼能力、符號理解能力、閱讀理解能力、信息搜索與整理能力等，讓學生積累解決應用性問題的經驗，提升解決應用性問題的能力.

參考文獻：

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